人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.3.1 函数的单调性与
高中数学3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1
函数与导函数的图象
[例 1] 已知函数 y＝xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)
的导函数)，下列四个图象中为 y＝f(x)的大致图象的是
()
[活学活用] 函数 f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )
判断(或证明)函数的单调性
[例 2] 证明函数 f(x)＝sinx x在π2，π上单调递减．
3．3
导数在研究函数中的应用
3．3.1 函数的单调性与导数
[提出问题] 已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝1x的图象如图所示．
[导入新知] 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与其导函数有如 下关系：
导函数 f′(x)>0 f′(x)<0
函数的单调性 单调_递__增___ 单调_递__减___
[解] (1)∵f′(x)＝12＋cos x， ∴令 f′(x)>0，得12＋cos x>0， 即 cos x>－12. 又∵x∈(0,2π)，∴0<x<23π 或43π<x<2π.
5.与参数有关的函数单调性问题 [典例] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.讨论 f(x)的单调性．
[随堂即时演练]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增间是( )A．(3,9)
B．(－∞，－1)，(3，＋∞)
C．(－1,3)
D．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：∵f(x)＝x3－3x2－9x， ∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)． 令 f′(x)＞0，得 x＞3 或 x＜－1. 答案：B
证明：∵f(x)＝sinx x，
∴f′(x)＝sin
高中数学选修1-1优质课件1：3.3.1 函数的单调性与导数
[点评] 构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导 数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较 函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化．
已知：x＞0，求证：x＞sinx.
[解析] 设 f(x)＝x－sinx (x＞0)， f ′(x)＝1－cosx≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立， ∴函数 f(x)＝x－sinx 在(0，＋∞)上是单调增函数， 又 f(0)＝0，∴f(x)＞0 对 x∈(0，＋∞)恒成立， ∴x＞sinx (x＞0).
第三章 导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的 多项式函数的单调区间．
本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性． 本节难点：探索发现函数的导数与单调性的关系．
b)内有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．不能确定
[答案] Aຫໍສະໝຸດ [解析] ∵在区间(a，b)内有 f ′(x)>0，且 f(a)≥0， ∴函数 f(x)在区间(a，b)内是递增的，且 f(x)>f(a)≥0.
5．函数 y＝ax3－1 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 a 的取 值范围是________．
题目类型三、已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋a， 由题意知 f′(0)＝a＝－3. 又点(0，－2)在三次函数 f(x)的图象上，∴b＝－2. ∴a＝－3，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x－2， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令 f′(x)>0，得 x >1 或 x<－1， 令 f′(x)<0，得－1<x<1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单 调递减区间为(－1,1).
人教版高中数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 课件 (共15张PPT)
函数的单调性概念: 直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x) y 在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
y f ( x)
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
a
0
b
c
x
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属 于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时， (1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子
区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数 的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范 围时,要与定义域求两者的交集.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y f ( x) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(3)解不等式: f ' ( x) 0 或解不等式f ' ( x) 0 .
由上我们可得以下的结论:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导 数,如果在 这个区间内 f ( x ) >0,那么函数y=f(x) 在这 个区间内单调递增;如果在这个区间内 f ( x ) <0,那么函 数y=f(x) 在这个区间内单调递减. y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
的大致形状。
y
y=f(x)
临界点
O 1 4 x
例2、判断下列函数的单调 性，并求出单调区间： (1) f ( x) x 3 3x; (2) f ( x) x 2 x 3; (3) f ( x) sin x x, x (0, )
人教版高中数学选修1-1教案：3.3.1函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数1、教材分析“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。
本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：2、教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。
3．教学的重点和难点教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
4、教学方法：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
5、教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
新版高中数学人教A版选修1-1课件3.3.1函数的单调性与导数
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3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
【做一做1】 若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间 上
单调递减.
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0<x<2,
所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】 若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是
π,
3π 2
上是单调递增函数.
思路点拨:(1)判断在哪个区间上 f'(x)<0 即可;(2)证明在区间
π,
3π 2
上总有 f'(x)>0.
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3.3.1 函数的单调性与导数
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课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:由于 f'(x)=(1+ln������)'·������������-2(1+ln������)·������' = -l������n2������, 当 x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以 f(x)在(1,e)上单调递减,故选 C.
3.3.1 函数的单调性与导数
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3.3.1 函数的单调性与导数
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课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
学习目标
1.理解函数的单调性与 其导数之间的关系; 2.掌握利用导数判断或 证明函数单调性的方法; 3.掌握利用导数求函数 单调区间的方法; 4.理解函数图象与其导 函数图象之间的关系.
高中数学 3.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
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6
题型三 已知函数的单调性求参数 范围
例 3 已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递
增的解，析求：a f的′(x取)＝值2范x－围xa2．＝2x3x－2 a，
要使 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x3x－2 a≥0，在 x∈[2，＋∞)时恒成立， ∵x2＞0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)时恒成立， ∴a≤(2x3)min＝16， 当 a＝16 时，f′(x)＝2x3x－2 a≥0(x∈[2，＋∞))有且只有 f′(2)＝0.
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3
变式迁移
1．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝lnx
x .
解析：(1)函数的定义域为 R，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令 f′(x)＞0 得，x＜－1，或 x＞1，
令 f′(x)＜0 得，－1＜x＜1，
∴函数 f(x)的增区间是(－∞，－1)(1，＋∞)，减区间(－1，1)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1x·xx－2 ln x＝1－xl2n x，
令 f′(x)＞0，1－ln x＞0，∴0＜x＜e，
令 f′(x)＜0，得 x＞e，
∴函数 f(x)的递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．
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4
题型二 判断或证明函数的单调性
例 2 证明函数 f(x)＝lnxx在区间(0，2)上是单调递增函数．
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变式迁移 2．已知 a＞0，且 a≠1，证明函数 f(x)＝ax－xln a 在(－∞，0)内是减函数．
人教A版高中数学选修1-1 3-3-1 函数的单调性与导数 教
函数的单调性与导数一、教学目标：1、知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
2、能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
3、情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二、教学重点.难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
三、学情分析有利因素：1、已经学习了函数的单调性，会用图像法、定义法求函数的单调性；2、在物理学瞬时速度的辅助下掌握了导数概念及几何意义，会求简单函数的导函数；3、学生好奇心强，探究导数与函数单调性关系对他们而言是一个挑战，更能激发他们学习兴趣。
不利因素：学生发现能力欠缺，对于这两个知识板块的整合，学生存在很大兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合去发现规律，总结结论。
四、教学方法发现式、启发式五、教学过程新课引入1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。
）2．比如，要判断y=x2 +1的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。
）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。
）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的导数法。
六、自主学习问：函数的单调性和导数有何关系呢？教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：问：有何发现？（学生回答）问：这个结果是否具有一般性呢？我们来考察两个一般性的例子：（教师指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。
）问：能否得出什么规律？让学生归纳总结，教师简单板书：在某个区间(a，b)内，若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-1函数的单调性与导数1
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢
f′x＜0且越来越小 f′x＜0且越来越大
绝对值越来越大
绝对值越来越小
变式训练
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示(其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
【解析】 由 y＝4x2＋1x，得 y′＝8x－x12.
令 8x－x12＞0，得 x＞12.
【答案】 C
3．函数 y＝2－3x2 在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当 x∈(－1,0)时，y′＞0；当 x ∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
教学重难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象． 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结 合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生 的理解，以达到突破重点、难点的目的．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问 题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手 参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
(2)此函数的定义域为 R. y′＝3x2－4x＋1， 令 3x2－4x＋1＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)． 再令 3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．
【数学】3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)
§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。
如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。
【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。
高中数学人教A版选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数
间是
0,
5 3
.
(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=4-���1���2.
令 f'(x)>0,即 4-���1���2>0,解得 x>12或 x<-12;
令 f'(x)<0,即 4-���1���2<0,解得-12<x<12,且 x≠0.
所以函数 f(x)的单调递增区间是
-∞,-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 求下列函数的单调区间: ((12))ff((xx))==l������n���2���������+������; 4; (3)f(x)=ex-x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1-������l2n������. 令 f'(x)>0,即 1-ln x>0,解得 0<x<e; 令 f'(x)<0,即 1-ln x<0,解得 x>e. 所以函数的单调递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞). (2)函数定义域为 R, f'(x)=(������)'·(������2(+������24+)-4������)·2(������2+4)' = (������42-+������42)2. 令 f'(x)>0,即 4-x2>0,解得-2<x<2; 令 f'(x)<0,即 4-x2<0,解得 x<-2 或 x>2; 所以函数的单调递增区间是(-2,2),递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞). (3)函数定义域为 R,f'(x)=ex-1. 令 f'(x)>0,即 ex-1>0,解得 x>0; 令 f'(x)<0,即 ex-1<0,解得 x<0; 所以函数的单调递增区间是(0,+∞),递减区间是(-∞,0).
高二数学人教A版选修1-1课件：3.3.1 函数的单调性与导数
当 x∈(-∞,-2]时,a≥32������ − 2������.
而 y=32������与 y=-2������在(-∞,-2]上都是递增函数,
证明:∵f(x)=ln������������,
∴f'(x)=(ln������)'������������-2ln������·������'
=
1������·������-ln������ ������2
=
1-������l2n������.
又∵x∈(0,2),∴ln x<ln 2<1.
故 f'(x)=1-������l2n������>0. 即函数在区间(0,2)上是单调递增函数.
当 a<0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于 Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),
①当 a=-12时,Δ=0,f'(x)=���-���12(���(������+���-11))22≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递
减.
②当 a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f'(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ③当-12<a<0 时,Δ>0.
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
(2015广东四校联考)设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是 ( )
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
答案:D 解析:由f'(x)图象可知,f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递增,(0,2)单调递减,只有D满足.
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数同步练习题【基础演练】题型一：函数单调性的定义一般地，函数的单调性与其导函数的正负有关，如在某个区间（a ，b ）内，如果()0x f >'，那么()x f 在这个区间上单调递增，如果()0x f <'，则递减，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 函数()x ax x f 3-=在R 上为减函数，则A. 0a ≤B. 1a <C. 2a <D. 31a ≤2. 函数()x sin x 1x f -+=在（0，π2）上是A. 增函数B. 减函数C. 在（0，π）上递增，在（π，π2）上递减D. 在（0，π）上递减，在（π，π2）上递增3. 已知()()0a d cx bx ax x f 23>+++=为增函数，则A. 0ac 4b 2>-B. 0b >，0c >C. 0b =，0c >D. 0ac 3b 2<-4. x ln x y =在（0，5）上是A. 单调增函数B. 单调减函数C. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是增函数D. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是减函数题型二：求函数的单调区间利用导数求函数单调区间时注意：①确定定义域；②求()0x f >'、()<'x f 0的区间从而确定增区间、减区间；③如果在多个区间上单调性相同，不能并起来，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 函数5x 2x y 24+-=的单调减区间为A. ()1,-∞-和（0，1）B. []0,1-和),1[∞+C. []1,1-D. ()1,-∞-和),1[∞+6. 函数x cos x y =在下面哪个区间是增函数A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23,2B. ()ππ2,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ25,23D. ()ππ3,27. 已知函数()d cx bx x x f 23+++=的图象过点P （0，2），且在点M （-1，()1f -）处的切线方程为07y x 6=+-， （1）求函数()x f y =的解析式；（2）求函数()x f y =的单调区间。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1《函数的单调性与导数》
当a 3a 或a 3a 时, f (x) 0;当- 3a a 3a 时, f (x) 0;
3
3
3
3
因此f (x)在(，
3a 3
)，(
3a 3
，
)上位增函数
在(
3a ， 3a )上为减函数 33
综上可知,当a 0时, f (x) 0, f (x)在(, )上为增函数
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立.
利用导函数判断原函数大致图象 例1、已知导函数的下列信息：
试画出函数f(x)图象的大致形状。
解:大体图象为
1
4
已知导函数的下列信息：
2.求出函数的导数f´(x) 3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.
利用导数判断函数单调性及求单调区间应注意的问题： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论 导数的符号,来判断函数的单调区间． （2）在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于 零的点外,还有注意在定义域内不连续点和不可导点． （3）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 这些单调区间中间不能用“ ”连接,而只能用“逗号 ”或“和”字隔开．
已知函数y x 1 , 试讨论出此函数的单调区间
x
解:
y (x
1 ) 1 x1 x2ຫໍສະໝຸດ x2 x21
(x 1)(x 1) x2
高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数
解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0， 即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减， 依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出 函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔 先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值