平面几何问题的证明证题的一般思路证题的一般思路
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2019/7/27
轨迹问题的三种类型： 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。
2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。
3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹 图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息
2019/7/27
第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的 形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。
中学几何研究第五章
2019/7/27
1
第五章 平面几何问题的证明
第一节 证题的一般思路
证题的一般思路: 试误式思路与顿误式思路
试误式思路: 认真审题，分清条件和结论，挖掘 所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的 思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类 型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些 变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍， 缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图 来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的 证明。
用向量法证明第一节中的例1是很简捷的. 见P90
2019/7/27
2,复数法与复数法证题 请讲解P94例4
2019/7/27
第四节 几类问题的证明方法 1,关于线段,角的相等 (常见方法10种,P96) 2,关于平行与垂直 (常见方法7+7种,P97-98)
3,关于点共线与线共点 (常见方法7+60种,P99)
求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯 粹性，作出结论。
第二类轨迹题， 结论中只给出了轨迹图形的形 状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一 步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行 的工作。
整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明 完备性与纯粹性，讨论等步骤。
2019/7/27
第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙 述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时 探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的 之后，往往证明方法就附带解决了。
求解步骤与第二类轨迹题相同。
轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、 常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。
题，
2019/7/27
如果给出三者之比S1:S2:S3=μ1: μ2: μ3，且 μ1= Si/(S1+S2+S3) ( i=1,2,3)，
则称(μ1: μ2: μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。
通常（μ1: μ2: μ3)）称为M的重心坐标。 当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。
2019/7/27
常用公式见P84-85页. 证明P85例1和例2.
2019/7/27
2.消点思想与消点法证题 (见第十章)
3.面积坐标
如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是 逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为 负）就可以引入面积坐标了。
在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3，称为“坐 标三角形”。A1，A2, A3称为基点。
对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：
S1=S△MA2A3, S2=S△MA3A1, S3=S△MA1A2.
2019/7/27
把三元数组（S1,S2,S3）称为（以△A1A2A3为坐标 三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3)
S1,S2,S3称为点M的三个” 坐标分量”，且满足 S1+S2+S3=S△A1A2A3。
见P75例1.
2019/7/27
第二节 面积法与面积坐标
1,面积与面积法证题
张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课 程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣 味。
在求解平面几何问题的时候， 根据有关几何量与 涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面 积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量 之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形 面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之 为面积法。
反证法又分归谬法和穷举法; 同一法。
2019/7/27
顿误式思路
就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思 路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分 析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信 息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过 一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他 问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成 一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷 而优美的证题思路。
由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就 可以确定M,
从而可以用（S1,S2）来表示点M， 或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3, A3A1, A3A2） 之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。
如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o， 则这个仿射坐标系（A3, A3A1, A3A2）叫做笛卡儿
4,关于点共圆与圆共点 (常见方法7+3种,P100)
2019/7/27
第五节 几何轨迹与尺规作图 1,几何轨迹
具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。
轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形 （形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知 其性而不知其形。
研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的 集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一。
2,尺规作图
传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的 直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先 约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。
坐标系，也就是Biblioteka Baidu常用的直角坐标系。
2019/7/27
第三节 向量法与复数法 1,向量法与向量法证题 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方 法称之为向量方法。
向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此 向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把 综合法与坐标法有机地结合在一起。
2019/7/27
2019/7/27
试误式思路又常分为直接式和间接式。
直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理 进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。 又有“综合法”和“分析法”之分.
间接式: 有些命题，往往不易甚至不能直接证明。 这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这 种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典 型的间接式思路证题方法。
轨迹问题的三种类型： 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。
2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。
3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹 图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息
2019/7/27
第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的 形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。
中学几何研究第五章
2019/7/27
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第五章 平面几何问题的证明
第一节 证题的一般思路
证题的一般思路: 试误式思路与顿误式思路
试误式思路: 认真审题，分清条件和结论，挖掘 所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的 思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类 型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些 变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍， 缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图 来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的 证明。
用向量法证明第一节中的例1是很简捷的. 见P90
2019/7/27
2,复数法与复数法证题 请讲解P94例4
2019/7/27
第四节 几类问题的证明方法 1,关于线段,角的相等 (常见方法10种,P96) 2,关于平行与垂直 (常见方法7+7种,P97-98)
3,关于点共线与线共点 (常见方法7+60种,P99)
求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯 粹性，作出结论。
第二类轨迹题， 结论中只给出了轨迹图形的形 状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一 步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行 的工作。
整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明 完备性与纯粹性，讨论等步骤。
2019/7/27
第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙 述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时 探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的 之后，往往证明方法就附带解决了。
求解步骤与第二类轨迹题相同。
轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、 常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。
题，
2019/7/27
如果给出三者之比S1:S2:S3=μ1: μ2: μ3，且 μ1= Si/(S1+S2+S3) ( i=1,2,3)，
则称(μ1: μ2: μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。
通常（μ1: μ2: μ3)）称为M的重心坐标。 当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。
2019/7/27
常用公式见P84-85页. 证明P85例1和例2.
2019/7/27
2.消点思想与消点法证题 (见第十章)
3.面积坐标
如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是 逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为 负）就可以引入面积坐标了。
在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3，称为“坐 标三角形”。A1，A2, A3称为基点。
对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积：
S1=S△MA2A3, S2=S△MA3A1, S3=S△MA1A2.
2019/7/27
把三元数组（S1,S2,S3）称为（以△A1A2A3为坐标 三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3)
S1,S2,S3称为点M的三个” 坐标分量”，且满足 S1+S2+S3=S△A1A2A3。
见P75例1.
2019/7/27
第二节 面积法与面积坐标
1,面积与面积法证题
张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课 程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣 味。
在求解平面几何问题的时候， 根据有关几何量与 涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面 积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量 之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形 面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之 为面积法。
反证法又分归谬法和穷举法; 同一法。
2019/7/27
顿误式思路
就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思 路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分 析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信 息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过 一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他 问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成 一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷 而优美的证题思路。
由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就 可以确定M,
从而可以用（S1,S2）来表示点M， 或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3, A3A1, A3A2） 之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。
如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o， 则这个仿射坐标系（A3, A3A1, A3A2）叫做笛卡儿
4,关于点共圆与圆共点 (常见方法7+3种,P100)
2019/7/27
第五节 几何轨迹与尺规作图 1,几何轨迹
具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。
轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形 （形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知 其性而不知其形。
研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的 集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一。
2,尺规作图
传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的 直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先 约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。
坐标系，也就是Biblioteka Baidu常用的直角坐标系。
2019/7/27
第三节 向量法与复数法 1,向量法与向量法证题 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方 法称之为向量方法。
向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此 向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把 综合法与坐标法有机地结合在一起。
2019/7/27
2019/7/27
试误式思路又常分为直接式和间接式。
直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理 进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。 又有“综合法”和“分析法”之分.
间接式: 有些命题，往往不易甚至不能直接证明。 这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这 种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典 型的间接式思路证题方法。