菱形的性质与判定(第一课时)

菱形的性质与判定(第一课时)

南城县凤凰学校教师：王英藩

1.新课导入

导入一:

请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:

(1)投影图片中有平行四边形吗?

(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?

【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.

【学生活动】自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.

导入二:

1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.

2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?

[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识和学习兴趣.

四边形?

【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.

【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.

二、学生活动,归纳概念

思路一

请口答下列问题.

(1)上述图形都是平行四边形吗?

(2)上述图形都有一组邻边相等吗?

(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?

小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.

【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.

【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

思路二

【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD相比较,还有不同点吗?

【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.

【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.

三、共同探究

【想一想】

(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?

【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.

(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.

【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.

【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.

【做一做】

请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:

(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?

(2)菱形中有哪些相等的线段?

【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.

【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.

【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.

[设计意图]通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫.

【验证提升】证明菱形性质

【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.

【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.

【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.

(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.

【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.

指名学生在黑板上演示证明过程.

证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,

∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).

∵AB＝AD,

∴AB＝BC＝CD＝AD.

(2)∵AB＝AD,

∴ΔABD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是菱形,

∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).

在等腰三角形ABD 中, ∵OB ＝OD , ∴AO ⊥BD , 即AC ⊥BD.

【教师活动】 展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.

【教师活动】 请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质. 【学生活动】 小组交流,共同总结. 【教师活动】 多媒体课件展示 定理:菱形的四条边相等. 定理:菱形的对角线互相垂直.

最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.

[设计意图] 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难. 四、展示交流

【教师活动】 例题讲解.

(教材例1)如图所示,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O , ∠BAD ＝60°,BD ＝6,求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.

〔解析〕 因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD ,由BD ＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB ＝3,根据勾股定理就可以求出OA 的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC ＝2OA ,求出AC.

解:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB ＝AD (菱形的四条边相等), AC ⊥BD (菱形的对角线互相垂直),

OB ＝OD ＝12BD ＝1

2×6＝3(菱形的对角线互相平分).

在等腰三角形ABD 中,∵∠BAD ＝60°, ∴ΔABD 是等边三角形.∴AB ＝BD ＝6. 在Rt ΔAOB 中,由勾股定理,得: OA 2＋OB 2＝AB 2,

∴OA ＝√AB 2-OB 2＝√62-32＝3√3, ∴AC ＝2OA ＝6√3.

[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质; (2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.

1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.