第十九章含参量积分
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第十九章 含参量积分
一. 填空题
1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上_________,则
(,)(,)b d d b
a
c
c
a
dx f x y dy dy f x y dx =⎰
⎰⎰⎰
2. 含参量反常积分
2
cos 1xy
dx x +∞+⎰
在____________上一致收敛.
3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c
I x f x y dy +∞=
⎰
在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110
(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=
->>⎰
中如令 2cos x ϕ=, 则
(,)_______B p q =
6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q =
7.
(,)c
f x y dy +∞
⎰
在[,]a b 上不一致收敛是指______________.
8. 1
0lim
_________.y -→=⎰
9. 设 2(),
(1,1)(1sin )dx
F y y y x π
π-=∈-+⎰, 则 ()__________.F y '=
10. 利用Γ函数定义,4
________.x e dx +∞
--∞
=⎰
二.证明题
1. 证明
22
222
1
()
y x dx x y +∞
-+⎰
在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明
2
x y e dy +∞
-⎰
在[,](0)a b a >上一致收敛.
3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ∀∈, 有
01lim [()()]()()x
a
h f t h f t dt f x f a h →+-=-⎰
4.证明
0yx ye dx +∞
-⎰
在[0,1]y ∈上非一致收敛. 5.证明
11,0,1n
m x m x e dx n m n n +∞
-+⎛⎫=
Γ>>- ⎪⎝⎭
⎰
6.证明
sin xy
x
e dx x
+∞
-⎰
在[0,]d 上一致收敛. 7. 证明
xy xe dy +∞
-⎰
在[0,]b 上不一致收敛.
8. 证明 1
1
1()ln ,0dx x ααα-⎛⎫
Γ=> ⎪
⎝⎭
⎰
9. 证明
1
11
1(1),,0,0,0p r q p x x dx B q p q r r r --⎛⎫-=>>> ⎪⎝⎭
⎰ 10. 证明 2
()0
()x y F y e
dx +∞
--=
⎰
在R 上连续.
计算题 1. 求1
(0)ln b a
x x I dx b a x
-=
>>⎰
2. 求0
sin sin (0,)px
bx ax
I e dx p b a x
+∞
--=
>>⎰
3. 设2(),
(1,1)(1sin )dx
F y y y x π
π-=
∈-+⎰. 求()F y '
4. 求1
lim
1(1)n n
dx x n
→∞++⎰
5.用Γ函数与B 函数求积分 1
21
(1)n x dx n N +--∈⎰
6. 用Γ函数与B
函数求积分
⎰
7. 求积分
22
22
2
a x
b x
e e dx x
--+∞
-⎰
8. 从等式
ax bx b
xy
a
e e e
dy x ----=⎰
出发, 计算积分0ax bx
e e dx x
--+∞-⎰ 9. 设2
2
()x xy x
F x e
dy -=⎰
. 求()F x '
10. 求 122
0lim 1dx
x α
α
αα+→++⎰
填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. !n
5. 212120
(,)2
sin cos q p B p q d π
ϕϕϕ--=⎰
.
6. ()()
(,)(0,0)()
p q B p q p q p q ΓΓ=
>>Γ+.
7. 0000,,,[,]N c M N x a b ε∃>∀>∃>∃∈, 有 0
0(,)M f x y dy ε+∞
≥⎰
8. 1 9. 3
sin ()2
(1sin )x
F y dx y x π
π-'=-+⎰. 10. 1124⎛⎫Γ ⎪⎝⎭
. 证明题答案: 1. 证明: (1,),(,)x y ∀∈+∞∈-∞+∞, 有
222222222221
()()y x x y x y x y x
-+≤≤++, 而21dx x +∞⎰收敛, 则 22
222
1
()
y x dx x y +∞
-+⎰
在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证: [,],[0,)(0)x a b y a ∀∈∈+∞>, 有22
0x y
a y e e --<≤,
而
2
20
220
11
a y a y
e dy e a
a
+∞
--+∞=-
=
⎰
, 则
2
x y e dy +∞
-⎰
在[,](0)a b a >上一致收敛.
3证: 已知()f x 在[,]a A 连续, [,),[,],x a A t a x ∀∈∈ 使[,)t h a A +∈. 设,t h y dt dy +==, 有 ()()()x
x h
x h
a
a h
a h
f t h dt f y dy f t dt +++++==⎰
⎰
⎰
于是, ()
0011
lim
[()()]lim
()()x x
x
a a
a
h h f t h f t dt f t h dt f t dt h h
→→+-=+-⎰⎰
⎰
()()lim
lim[()()]x h
x
a h
a
h h f t dt f t dt
f x h f a h h
++→→-==+-+⎰
⎰
()()f x f a =- 4. 证: 0000
11
0,0,,[0,1]3A A A y A ε∃=
>∀>∃>∃=∈, 有
00000
0y x y x
y A A A y e dx e e +∞
---+∞
==⎰
00
1101
3
A A e
e ε-
⋅-==>
=. 即 0
yx ye dx +∞
-⎰
在[0,1]y ∈上非一致收敛.