北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]

北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
不相同的素数.判断向量组1, n b, n b2 , , n bn−1 是否线性相关？说明理由.
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【解】向量组1, n b, n b2 , , n bn−1 是线性无关的，可用反证法证之.若不然，则存在不
全为零的 k0 , k1, , kn−1 ∈ Q ，使得
k01+ k1 n b + k2 n b2 + + kn−1 n bn−1 = 0 ，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
根.取素数 r ，利用 Eisenstein 判别法，易知 g(x) 在有理数域 Q 上不可约，这就是说，不
存在非零的次数更低( ≤ n −1)的有理系数多项式 h(x) ，使得 h(B) = 0 ，矛盾.
因此，向量组1, n b, n b2 , , n bn−1 是线性无关的. 2、设 n 阶矩阵 A, B 可交换，证明： rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) − rank(AB) .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .
给出证明.
【解】否，下面给予证明.对于任意 n 阶方阵 A, B ，若 AB − BA = E ，则两边取矩阵的 迹，并注意到 tr( AB) = tr(BA) ，得 0 = n ，矛盾.所以不存在方阵 A, B ，使 AB − BA = E .
对于线性空间V 的线性变换 A ，B ，任取V 的一个基，并设 A ，B 在这个基下的矩阵 分别为 A, B ，若 AB − BA = E ，则相应的有 AB − BA = E ，矛盾.所以不存在 n 维线性空
的 r 阶子式记为 D .假设 D = 0 ，则仅对 A 的后 r 行施行初等行变换，可得
A
→
B α
C 0
=
H
，
其中 B 是 (m −1) × (n − r) 矩阵， C 是 (m −1) × r 矩阵，α 是 n − r 维行向量.根据初等行变
换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 rank(C) = r ，且α ≠ 0 .于是有
P1
A
=
En O
，
P2
B
=
En O
，令
P
=
P2−1P1
，则
P
是可逆矩阵，且
PA
=
B
.由此容易证明，
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北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
A 与 B 的行向量组等价. （5）把实数域 R 看成有理数域 Q 上的线性空间，b = p3q 2r ，这里的 p, q, r ∈ Q 是互
【解】第
1
个结论不成立，反例如下：若
A
=
1 0
0 0
，
B
=
1 1
0 0
，则线性方程组
AX = 0 与 BX = 0 同解，但 A 与 B 的列向量组显然不等价.
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 同解，所以 rank( A) = rank(B) .记 r = n − rank( A) ，任取 AX = 0 的一个基础解系(当然也是 BX = 0
同理可证， B 的行空间WB = S . 于是有WA = WB ，这就表明 A 与 B 的行向量组等价. 【注】若 AX = 0 与 BX = 0 都仅有零解，则 rank( A) = rank(B) = n ，仍是第 1 个结论
不成立(反例从略)，第 2 个结论成立.事实上，此时存在 m 阶可逆矩阵 P1, P2 ，使得
间V 上的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E . 【注】若线性空间V 是无穷维的，则存在V 的线性变换 A ， B ，满足 AB − BA = E .
例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
rank( A) = rank(H ) ≥ rank(C) + rank(α ) = r +1，
矛盾. 所以 D ≠ 0 . （4）设 A, B 都是 m × n 矩阵，线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 同解，则 A 与 B 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.
这就是说， B = n b 是非零的有理系数多项式 f (x) = k0 + k1x +
+
kn
xn−1
−1
的根，即
f (B) = k0 + k1B + + kn−1Bn−1 = 0 .
另一方面，对于整系数多项式 g(x) = xn − b ，显然有 g(B) = 0 ，即 B 是多项式 g(x) 的
（3）设 m × n 矩阵 A 的秩为 r ，任取 A 的 r 个线性无关的行向量，再取 A 的 r 个线性 无关的列向量，组成的 r 阶子式是否一定不为 0？若是，给出证明；若否，举出反例.
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【解】 是.不妨考虑 A 的后 r 个线性无关的行向量及后 r 个线性无关的列向量，所组成