磁场4-2动感生电动势

a

R

若棒上下运动， 则棒中即有感生电动势 ，也有动生电动势。



计算较复杂。
例3、在垂直于纸面内非均匀的随时间变化的磁场 B=kxcost中，有一弯成角的金属框COD，OD与x 轴重合，一导体棒沿x方向以速度v匀速运动。设 t=0时x=0，求三角形框内的感应电动势。
解：设任意时刻t导体棒在x=l处
原因？
B变！
1
Φm
产生感应电动势的非 ε 静电性场强是什么？
2
来源于变化的 B !
R
非洛仑兹力所致
1861年Maxwell假设： 在变化磁场的周围将产生电场，这称为 用 感生电场，或有旋电场， Ei 表示。
( v B)
问题： 感生电场 Ei ?
二、感生电场与变化磁场的关系
l vt
1 33 3 2 i kv t tg sin t kv t tg cos t 3 动生 感生
动生 BLv kv t tg cos t
3 2
ε感生
d 1 3 3 kv t ωtgθ sin ω t dt 3
四、电子感应加速器
有力地证明Maxwll提出的感生电场假设
例3、已知导体运动如图，求导体中的感应电动势。 解：
vB
Id l
L
α
B
v
例4、圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动
求：动生电动势 解：
a
vB
d θ
R
b
dl
θ
θ
B
v
哪端电位高？
a端高，方向b→a
例5、一根长为L的铜棒，在均匀磁场B中以角速度 在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两 端之间的感应电动势大小。 解： a
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
讨论与说明：
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
(1) 若B均匀，匀速 ， i vBdl Bvl v 则
（2）注意两个角度关系：
请自行举例！
（3） i的方向： i 0, 与dl 同向； i 0与dl 反向
5. 感生电场与静电场的区别：
（1）激发的源不同；
思考？
B 求 E 一般较难。（仅少数对称情况） 6. 由 i t
三、感生电动势的计算
例1、在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半为0.1m 的小线圈，在小线圈所包围的面积内磁场近 似均匀。设在亥姆霍兹线圈中通以交变电流 ，产生的磁感应强度B=5.010-3sin100t. 求小 线圈中的感生电动势和感生电场强度。
B dS
s
B

y


C

kx cosω t xtgθ dx 0 1 3 kl tgθ cosω t 3
lx dx

l
D
x
1 3 kl tgθ cosω t 3 由法拉第电磁感应定律 d 1 3 2 dl εi kl tgθ ω sin ω t kl tgθ cosω t dt 3 dt
lBsindlcos
B
z

l
Bsin ldl
2
i d i Bsin ldl
2 0
L

a
r
l
b dl B
2
B L 2 sin >0 2 正号说明 电动势方向与积 分方向相同 从 a 指向b
2
思考：如何利用
（电动势方向 Oa）
（2）若为铜盘转动，视为铜棒并联。
（盘中心与边缘有电势差）
（3）用法拉第定律直接求解：
d εi dt




L N
O
设想回路OAM（如图）
t内转过θ 角, 磁通量变化



S

M
A


C
b
εiOab
d dB dS S dt dt dB dB SdS dt S dt
R

O


回路积分：

εiOab εiOa εiab εibO εiab
1 S Lh 2
则



C
b
i的方向可有楞次定律确定
1 2 BS B L θ 2 1 2 θ 1 2 εi BL BL ω t 2 t 2
方向由楞次定律单独确定（请判定电位高低！）
例6、一长直导线中通电流 I=10A，有一长为L=0.2m的 金属棒与导线垂直共面。当 棒以速度v=2m/s平行于长直 导线匀速运动时，求棒产生 的动生电动势。
1
例2、半径为R的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。 已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。问在任意 半径r处感生电场的大小以及棒AB上的感生电动势。
dB 解： 由 0可知Ei的方向 dt （如图， 如何确定？）

Ei


R
C Ei

r

本题，在C内外均有： a
I
a
v
b
解：
I
a
v
b
x
dx
d
L
（a点电势高）Va
Vb
可否用磁通量变化来做？
复杂！
例7 、在空间均匀的磁场 B Bz中
导线ab绕z轴以 匀速旋转 导线ab与z轴夹角为 设 ab L l z
求：导线ab中的电动势 解：建坐标如图
在坐标l 处取dl
B

l
d Ll
b
d dt
进行计算
二、磁场中转动的闭合线圈
考虑线圈法线与B线有 角，则 BS cos θ
d dθ ε i N NBS sin θ dt dt
N .
S
θ
设线圈以恒定角速度旋转,则: (θ ω t ) 交变电动势
（也可用动生电动势得到此结果）
关于线圈在磁场中转动问题，需指出以下点： （1）对于其它形状线圈，计算方法相同； （2）以上设线圈为刚性，即面积S为常量,而 =常量； （3）以上绕对称轴旋转，若绕某一边旋转， 总感应电动势如何？ 不变！为什么？
法拉第定律 电动势定义

B εi Ei dl dS L S t
电磁场的基本方程之一
讨论： 1. 此式反映感生电场由变化的磁场产生； 2. 式中的S是以L 为周 S 界的任意曲面; L 3. 感生电场的环流不等于 零，所以又称“有旋电场”（非保守场） 4.式中负号表示感生 B 电场与磁场增量的方 Ei t 向成左手螺旋关系。
a
Ei




C Ei
b
Ei cos dx
0
R r h
dx
r dB Ei (大小) 2 dt 2 2 R L 4 h cos θ r r
Ei
关于εi 解法（二）：
假想回路Oab
回路磁通量的变化： a
Ei dB 1 d (mv) dt eR dt R F eEi
1 d R d B Ei 2R dt 2 dt
( π R B )
2
于是： B 1 B
2
电磁铁的励磁电流随时间交变（从而B变）,如图:
0 ~ T 4 , B向上（）且增大 ， 0 T 4 T 2 3T 4 t Ei 逆时针； T 4 ~ T 2 , B向上（）且减小 ， Ei 顺时针； 加速有效 T 2 ~ 3T 4 , B向下 且减小 ， Ei 顺时针； 加速无效 3T 4 ~ T , B向下 且增大 ， Ei 逆时针； 0 ~ T 4加速足够！

L
Ei dl Ei dl Ei 2πr
L


b
Ei
逆时针为正向，则 dS 与 B反向
（1）
r R (C内)
则
（2）
r dB Ei 2 dt
Ei
r R (C外)

R dB Ei 2r dt
2
0
R
r
（3） 棒ab的感生电动势
L i Ei dx 0 L
（2）环流不同。（电场线不同）
解：
r B
2
I
3
I B
0.1 5 10 sin 314t
2
εi
L
Ei dl Ei 2π r
εi 0.05 Ei cos 314t 2π r 2 3.14 0.1
0.08 cos 314t (V m )




l Ek F ( e) v B
非静电场：

- v
F a
b端积聚+q a端积聚-q
出现电势差：



一旦接通，便有电流：ab为内电路 （Ii从低电位到高电位） 电动势：
Vb Va
§10-3 感生电 动势 感生电场
§10-3 感生电动势
d d εi (B S ) dt dt
感生电场
动生电动势
B不变 ，变(切割)或夹角变 S S不变 , 夹角也不变 ， 变 B
感生电动势
变