大学高等数学_17对弧长和曲线积分_对坐标曲线积分_格林公式_对面积曲面积分

y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
o
( )
L R x



R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
组成)
2
f ( x, y , z ) d s
( l 为曲线弧 的长度)
机动
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s


f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
y
3
o
2x
提示: 利用对称性
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
2 x( )
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2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) I z ( x y ) d s
2 2 L
2 0
a a2 k 2 d t
2
2 a a k
2 2
L
2 2 2
(2) L的质量 m ds 2 a k 而
a a k
2
2
0
2
cos t d t 0
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a a k
2
2 2
0 0
2
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内容小结
1. 定义
L f ( x, y) ds
f ( x, y , z ) d s
2. 性质
(1)
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) d s g ( x, y, z )ds ( , 为常数 ) L (2) f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
lim f ( k , k )sk
0 k 1
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证: 根据定义
n
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
s k
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
) 2 ( k ) t k , 2 ( k
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds

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Mk sk M k 1

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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
机动
y
2
2
o
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ds d y dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
b

• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
L f ( x, y)ds
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
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思考与练习
x2 y2 1周长为a , 求 1. 已知椭圆 L : 4 3 2 2 ( 2 xy 3 x 4 y ) ds 2
圆的形心 在原点, 故
X 0
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例6. 计算
2 2 x y 其中为球面
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2 1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z1 2 cos 2 则
1 2
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1 , 2 组成)
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3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为

则

: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
ds


( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y ds 解: d Fx k cos ( x, y ) R2 ds d Fy k sin o R R x 2 R 2k 2k sin cos Fx cos d R R 0 0 2k 2k cos sin Fy sin d R 0 R 0 故所求引力为 F 4k , 2k R R
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
机动
sin t d t 0 t d t 2 k a k
2 2 2
k a k
2
2
故重心坐标为 ( 0 , 0 , k )
作业 P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 r a, 0 及 4 所围区域的边界, 求
y
yx ra

提示: 分段积分
o
y0 a x
4
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2. L为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 在第一卦限与三个坐标 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 2 R 3 R L3 l 3 ds 3 R o L1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L1 x 1 z yx x ds l L1 L2 L3 2 1 x ds x ds x ds x ds L2 L3 l L1 l L1
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) 3
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例5. 计算
其中为球面 所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
2

2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
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因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !

f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x
4 4

0 4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
d
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例4. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:

( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
[a 2 k 2 t 2 ] d t
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思考: 例5中 改为 计算
, 如何
2 2 2 2 X x 1 X Y Z a 解: 令 Y y 1 , 则 : X 百度文库 Z 0 Z z
( X 1) 2 ds

2 X ds

2 3 a 2 X 2 a 3
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
B
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M

A
k 1
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2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
n
( k ,k , k )
f ( x, y , z ) d s f ( k ,k , k )sk 0
3 2 R sin
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
(0

4 r cos
4
)
o
分为
f ( k , k )sk L f ( x, y) ds lim 0 k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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3. 性质
(1)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
（k 为常数)
(3)
f ( x, y, z) ds
(由
1
f ( x, y , z ) d s
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
3
2
1
0
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则