相似三角形精选提高训练题

相似三角形精选提高训练题

例1、已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足

AB

AD

PC PQ =

（如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图中，联结AP ．当3

2

AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的

函数解析式，并写出自变量得取值范围；

（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．

例2、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；

（2）当O 为AC 边中点，2AC

AB

=时，如图2，求OF OE 的值；

（3）当O 为AC 边中点，AC

n AB

=时，请直接写出OF OE 的值．

A

D

P

C

B

Q 图1

D

A

P

C

B

（Q ） 图2

图3

C A

D

P

B Q

B

B

A

A

C

O

E D D

E

C O F 图1

图2

F

例3、已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：

（1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D. ①在图甲中，证明：PC=PD ；

②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=

2

3

PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比. （2）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA ，直线OB 分别交于点C ，E ，使以P ，D ，E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长.

（第25题）

A

B

O

M

图丙

A

B C

O

P

M

D

图乙?图甲

D M

P

O

C

B A

例4、等腰△ABC ，AB=AC=８，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．

（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ∽△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．

① 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）

② 探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．

B

C

P

B

P

例5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82

OA = cm ，

OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线21

4

y x bx c =++经过B 、P 两点，过线

段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

例6、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）. （1）当t 为何值时，PE AB ∥？

（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

B

A P x

C

Q O

y

针对性练习

1.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）

(A) S 1 > S 2 (B) S 1 = S 2 (C) S 1

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

2.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ）

A ．1∶3

B ．2∶3

C ．3∶2

D

．3∶3

3.一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A ．第4张

B ．第5张 C.第6张 D ．第7张

4.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．

5.已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积是 ．

6.如图，AB ∥DC ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点，如果四边形ABCD 的面积为24cm 2,那么CDO QPO S S ∆∆-＝ .

7.如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC=2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为 ．

8.如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 3B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．

3

2

第5题图