统计学--第十二章卡方检验1

• 1)实际数与理论数之间的差别等价于两 样本率的差别
• 2)检验假设H0：四格表的构成比相同， 等价于H0：两总体率相等
• 3)对实际数与理论数差值的假设检验， 等价于对两样本率差值的假设检验
• 6、2检验的基本思想(及计算步骤)
• 1)假设两总体率相等(构成比相同)
– HO：1＝2，即两总体阳性率相等 – H1：12，即两总体阳性率不等 – ＝0.05
– 不妨把H0看作：1＝2＝两样本合并的 阳性率
• 2)实际数与理论数的差值服从2分布,又 称pearson 2 ：
2 (O T )2
T
– 2值是以理论数为基数的相对误差， 它反映了实际数与理论数吻合的程度 (差别的程度)。若检验假设成立，则实 际数与理论数的差别不会很大，出现 大的2值的概率是很小的，若P，就 怀疑假设，因而拒绝它；若P>，则尚 无理由拒绝它
合计
94
85
179
– 为检验是否为第二种情况，无效假设 为两种治愈率本无不同，差别仅由抽 样误差所致。
• 3、理论治愈率：
– 根据两组治愈率相同的假设，合计治 疗179人，总治愈94人，得理论治愈率 为 94/179=52.51%
• 4、理论数：
– 一般溃疡患者80，按理论治愈率应治 愈80×52.51%=42.01,称theoretical value, theoretical frequency. 记为T。同理可得 其余理论数。亦可由减法求得
• 1、配对四格表中的数字为对子数
• 2、当a格与d格的数字都特别大，而b、c 格的数字都相对较小时，即使配对四格 表卡方检验结果有统计意义，其实际意 义也不大。因此，配对四格表的卡方检 验一般用于检验样本含量不太大的资料
• 二、两种以上处理方法的比较 • 见P170～171例12－15 • 仅供了解
• 7、 2值的校正、四格表2检验的条件
• 实际上2值是根据正态分布中2 ＝[(xi) /]2的定义计算出来的，用前述公式算 得的值只能说近似于2分布，在自由度 大于1，理论数皆大于5时，这种近似较 好；自由度为1，当有理论数小于5时， 需进行(连续性)校正
• 2检验条件：(四格表) – 1、当n40且所有T5时，用普通的2 检验；若所得P ，改用确切概率法。 – 2、当n40但有1T<5时，用校正2检 验 – 3、当n<40或有T<1时，不能用2检验， 改用确切概率法。
• aj为各疗效得分，n1j为第一行各疗效的频数，n1+ 为第一行合计
• 同理计算第二行平均分
• 再进行行平均得分差检验—χs2
f1
4 a j n1 j n j1 1
2 s
(nBiblioteka ( f1 )2 n1 ) /[n1 (n 1)]}
• μα为平均期望得分，να为方差
r
a jn j
j1 n
• 3)查2分布界值表确定P值并作出推论
– 2 ＝39.93,自由度为1，查附表6－7
– 2 0.05(1)=3.84; 2 0.01(1) =6.63; 2 0.001(1) =10.83
– 一般类型的治愈率高于特殊类型(结合 样本率作实际推论)
– P<0.001, 按＝0.05水准，拒绝H0接受 H1，因而认为两总体的阳性率有差别 (统计学推论)。结果说明，两组胃溃疡 病人治愈率的差别有高度统计意义，
– 可用查表法或计算机直接给出
• 双侧检验时：
• 1)单侧概率加倍
• 2)加上对侧<当前四格表的概率的所有概 率。
• 这两种方法的结果有时可能会有所不同， 教科书建议以第二种方法为准
第四节 配对计数资料的2检验
• 一、两种处理方法的比较，P169
乙培养基 生长
甲培养基
生长 不生长
36(a)
34(b)
第十二章 卡方检验(一)
用于检验：
1)两组或几组率或构成比的差异有 无显著性
2)各行的平均分间有无差异 3)行与列两个顺序分类变量之间是 否相关
4)拟合优度检验
第一节 四格表资料的2检验
• 以P153例12－1为例
• 1、四格表：将资料列成表格，表格中四 个数字是基本的：63、17、31、68，称 四格表fourfold table
2＝（O－T －0.5)2
T
• 8、四格表专用公式
• 为方便起见，当基本格子的实际数命名 为a,b,c,d；行合计写为a+b、c+d，列合计
写为a+c、b+d，n为总观察数
2＝
(ad bc)2 n
(a b)(c d )(a c)(b d )
校正公式为：
2＝ ( ad bc－n / 2)2 n
第五节 列变量为顺序变量的列联 表—行平均分差检验
• 一、2×C表 • P163 例12-10 • Pearson 卡方只能得出两组构成是否相同
的结论，不能得出哪组疗效较好的结论 • 人为地给各疗效一个分数，如无效为1，
好转为2，显效为3，痊愈为4，计算其均 数，称行平均分row mean score
各疗效得分 各疗效合计人数 总例数
r
(a j )2 (n j )
j1
n
s2近似服从自由度为1的卡方分布
• 平均得分统计量的样本大小较容易达到： 只要主观确定一个分割点，把列分为１ ~J和J+1~r两部分，变成四格表，把新的 四格中各部分实际数相加，只要四格表 中大部分超过５即可
• 二、行为名义变量列为顺序变量的行×列表 • 1、行平均分的计算 • 行平均分可采用：整数给分法 • 2、行平均分差别统计意义检验
(a b)(c d )(a c)(b d )
组别 甲 乙
合计
阳性 a c
a+c
阴性
合计
b
a+b
d
c+d
b+d a+b+c+d= n
第二节 行×列表的2检验
• 当行或列超过2组时通称为行×列表，或 R×C表，亦称列联表contingency table。 可用于
• 1、多个率的比较 • 可用以下简化公式(无相应校正公式)
2 n( O2 1) nr nc
• 适用条件：不能有理论数小于1，并且1T5
的格子数不超过总格子数1/5。
• 条件不足时的三种处理方法：
– 1)增大样本例数使理论数变大
– 2)删除理论数太小的行或列
– 3)将理论数太小的行或列与性质相近的 邻行或邻列合并，使重新计算的理论 数增大。但是此处理可能损失信息， 也会损害样本的随机性，不同的合并 方式所得的结果也不一样，因而在不 得已时慎用
• 1、有实际数为0的情况下，只需代入公 式计算P值即可
• 2、没有实际数为0的情况时，要把更加 极端的情况都算入。
– 更加极端的情况是指：原来治愈率高 的治愈人数更要加多，治愈率低的治 愈人数更要减少，直至出现0为止，但 保持合计及总合计数字不变。见P157 例12－4
– 最后将几情况的概率相加得P值(单侧)
合计 70
不生长 0(c)
135(d)
135
合计
36
169
205
• 其中b、c为两种培养基生长情况不同的 数字，a、b两培养基相同可不考虑
2 (b c)2 , 1
bc
2 ( b c 1)2 , 1(校正公式)
bc
• 当b+c 40时可不校正，而b+c<40时，则 一定要用校正公式
• 注意：
– 2值的大小随着格子数的增加而变大， 即2分布与自由度有关。因而考虑2值 大小的意义时，要考虑到格子数。当 周边合计数固定的情况下，四个基本 数据当中只有一个可以自由取值，即 自由度为1。
• ＝(R-1)(C-1)
– R行C列时，R行中有一行数据受到列 合计的限制而不能自由变动，C列中亦 有一列数据在行合计的限制下不能自 由取值
s
(n 1) n1 (Fi )2
2 s
i 1
n
2值服从自由度为行数
s
1的卡方分布
第六节 行列变量的相关检验
• 行与列变量都是顺序变量时可检验两者是否相 关：P166例12-12
• 行c与列a都给予得分 • 用a和c计算线性函数f • 再分别计算行平均分和列平均分 • f的期望E(f)=行平均分×列平均分 • 计算f的方差var(f) • 计算卡方值，自由度为1
• 基本思想：在四格表周边合计不变的情 况下，获得某个四格表的概率为
P (a b)!(c d)!(a c)!(b d)! a!b!c!d!n!
• a!表示factorial a 或a factorial • 0!=1; 3!=3×2×1＝6 • 该方法计算出的概率为分布中单侧的概
率，故双侧时应以0.025为显著性水平。 结合实际确定采用单侧还是双侧
• 如果把数据排成等级rank，而不用整数评分法则 卡方检验与Spearman等级相关结果极为接近。 可任选其一
2 cs
rs2 (N
1)
第七节 多层列联表的分析
• 一、多层2C表 • 采用扩展的Mantel-Haenszel 平均得分统
计量—χ2SMH • 各层间效应的方向一致时，检验效果较
好。
)
• 理论上当样本量相当大时，Pearson卡方和似然比 卡方都接近卡方分布；样本不够大时都偏离卡方
分布，两者的数值不同但接近，实践中这两个统 计量可同时使用，结合起来下结论。
第三节 四格表精确检验法
• 卡方检验的基本公式和校正公式有其应 用条件，且仅为近似。当四格表中有理 论数小于1或总观察例数小于40时，需改 用四格表的确切概率法exact probabilities in 2×2 table。