一次函数模型

3.2.2 一次函数模型

【教学目标】

1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．

2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．

3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．

【教学重点】

一次函数的性质．

【教学难点】

对正比例函数和直线的关系的理解．

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.

环节教学内容师生互动

导入1. 一次函数的概念：

函数y＝(k，b 为常数，

k)叫做一次函数．

当b＝时，函数y＝k叫做正

比例函数．

2. 在直角坐标系中作出y＝3 x 的图象．

教师屏幕显示内容，学生合作完成．

结论：正比例函数是特殊的一次函数．

师：函数y＝3 x 的图象是一条直线吗？

新课一、正比例函数y＝k x 的图象是什么形

状？

以具体函数y＝3 x为例，

令x＝0，则y＝0，所以函数y＝3 x

的图象过点O(0，0)．又x＝1，y＝3是方

程的另一个解，作点A(1，3)，过这两个

点O，A 作直线OA．

师：你是怎么做出y＝3 x的图象的？

生：列表，描了两个点，连线．

师：由方程y＝3 x 的两个解我们做出了

直线OA，那么方程y＝3 x 的所有解都在直

线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都

满足y＝3 x 吗？

即方程y＝3 x 的解与直线OA 上的点

是一一对应的吗？

这一部分，教师结合图示，用简洁明了的

语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不

宜过多强调．

-2

-4

-3

O

2

-1

y=3x

P

A

1 x

-2 -1

1

2

3

4

y

新课y 轴的交点坐标是什么？

结论

(1) 一次函数y＝kx＋b 的图象与正

比例函数y＝k x 图象的关系：

一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直

线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看

作由直线y＝kx 沿y轴平移|b| 个单位长

度得到．(当b＞0时，向上平移；当b＜0

时，向下平移．)

(2) 一次函数y＝k x＋b 的图象是过

点(0，b)，(－

b

k，0)的一条直线．

练习1指出下列直线是由哪个正比例函

数的图象平移得到的，并求下列直线与x

轴，y 轴的交点坐标．

(1)直线y＝5 x＋1；

(2)直线y＝5x－3；

(3)直线y＝x＋5；

(4)直线y＝x－3．

三、一次函数的单调性

当k＞0时，函数f(x)＝kx＋b是增函

数．当k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函

数．

例2 证明一次函数f(x)＝kx＋b (k＞0)

在(－∞，＋∞)上是增函数．

证明设x1，x2是任意两个不相等的

实数，因为Δ x＝x2－x1，而且

Δy＝k x2＋b－k x1－b

＝k(x2－x1)＝k Δx，

所以

Δy

Δx＝x

x

k

∆

∆

＝k＞0．

所以当k＞0时，函数 f (x)＝k x＋b

在(－∞，＋∞) 上是增函数．

同理我们可以证明：当k＜0 时，函

数f(x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是减函

数．

因为∆y 是函数值的改变量，∆x 是自

变量的改变量，所以由∆y＝k ∆x 还可知：

函数值的改变量与相应自变量的改变量成

正比．

四、总结一次函数的性质

1．一次函数y＝k x＋b 的图象是过点(0，

学生抢答练习1．

师生交流练习1后，教师提出问题：一次

函数是由正比例函数平移得到的，从图象上

看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结

论吗？

师生共同解决例2，教师板书详细的解题

过程．

教师引导学生归纳得出：函数值的改变量

与相应自变量的改变量成正比．

师生共同总结得出一次函数的性质．

学生口答，师生共同点评．