过两点做圆的相切圆

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圆的概念,常识

1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。

这个定点叫做圆的圆心。

图形一周的长度，就是圆的周长。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r（radius）。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d（diameter）。

直径所在的直线是圆的对称轴。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.最长的弦是直径。

5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。

小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

圆的周长公式=C=πd=2πr≈6.28r[1]圆的面积公式=S=π×r×r[2]（以此类推，半圆的周长公式=C/2+d=πr+2r 面积=S/2=π×r×r÷2）6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形（sector）。

7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle）。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。

它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。

圆—⊙ ；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧—⌒ ；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。

1.圆的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）* r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r^2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO>r。

深圳实验学校初中部选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)

一、选择题1．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（）A ．83B 83C ．163D 1633．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=4．我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，离台风中心15km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正北20km 处，则B 城市处于危险区内的时间为（）小时. A ．0.5 B ．1 C ．1.5 D ．25．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞6．过点()2,0-引直线l 与曲线21y x =-A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（）.A 3B ．3C ．3±D 37．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l 的条数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（） A ．8 B ．4C ．24D ．169．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,1+D ．[1,3]-11．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．53,124D ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（） A ．8B ．7C ．6D ．5二、填空题13．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.14．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.15．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.16．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________. 17．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点； ④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．18．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．19．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.20．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．三、解答题21．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．22．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a bab+的最小值.23．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.24．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -；（1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为31l 的方程；25．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上.（1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.26．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()1,0A -，()1,2B . （1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）已知直线l ：1y kx =+与圆C 相交于M 、N两点，且MN =l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，又由反射光线与圆()()22321x y ++-=1=，整理得21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-.故选：D. 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．B解析：B 【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，因为2AB BP ==，所以()3,0P，设(),Q x y因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，()2224PQ QO OR =-所以()()2222341x y x y -+=+-，整理得：()221613x y ++=，所以点Q 的轨迹是以()1,0-3所以当点Q 在直线1x =-上时，3y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，所QAP 的面积最大为11834223333QAPS AP =⨯=⨯==，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.3．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=；所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.4．B解析：B 【分析】建立直角坐标系，过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF ，利用勾股定理求出BC 的值，进而求出EF 的值，再结合台风中心的运动速度即可求出B 城市处于危险区内的时间．【详解】以A 为原点，正北方向为纵轴正方向，正东方向为横轴正方向，建立如图所示直角坐标系，因为台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，所以运动轨迹所在直线AF 与坐标轴成45角,设以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF 过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，在等腰Rt ABC △中，20AB =，202BC ==，在Rt BCE中，BC =，15BE =，5CE ∴=，210EF CE ∴==，台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，且当台风中心在线段EF 上时B 城市处于危险区内，B ∴城市处于危险区内的时间为110EF=小时，故选：B ．【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离2243352543d ⨯+⨯-==+，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.6．A解析：A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程20kx y k -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解. 由于21y x =-()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB SAOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时， AOBS取得最大值，此时2AB =，点O 到直线l 的距离为22，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为3. 方法二：由21y x =-，得()2210x y y +=≥.所以曲线21y x =-表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则01k <<，直线l 的方程为(02y k x -=+，即20kx y k -+=. 则原点O 到l 的距离221k d k =+，l 被半圆截得的半弦长为222221111k k k k ⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△，当3t 4=，即21314k =+时，ABO S 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率. 7．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线，所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.8．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS SPA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r ，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.9．C解析：C 【分析】根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为13，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系. 【详解】因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆221x y +=上，根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ，因为11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13，如图所示：所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为113<，所以直线AB 与圆221x y +=的位置关系是相交，故选：C. 【点睛】思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意：（1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.10．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-，当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =--有2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD 与圆相切，由221421k k --+=+，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--，∴53,124k ⎛⎤∈⎥⎝⎦．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．12．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22ab +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==,∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.二、填空题13．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A 到直线的距离即为直线上点到点A 距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：45【分析】利用点到直线距离公式，可求得点A 到直线的距离，即为直线上点到点A 距离的最小值. 【详解】根据点到直线的距离公式可得，结合图像点()3,0A 到直线3450x y +-=的距离为2233054534⨯+-==+d ，即直线3450x y +-=上一动点P 到()3,0A 的距离的最小值为45，故答案为：45．【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P 到点A 的距离的最小值转化为点A 到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.14．【分析】根据题意设直线的方程是代入点求得的值即可求解【详解】由题意所求直线垂直于直线设直线的方程是又由直线过点代入可得解得故的方程是【点睛】与直线平行的直线方程可；与直线垂直的直线方程可解析：3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解. 【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ，设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =，故l 的方程是3270x y -+=. 【点睛】与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

圆的切线性质的教学反思

圆的切线性质的教学反思圆的切线的性质与判定专题复习教学反思教了什么怎么教的其中道理是什么一是能预测学生在学习某一教学内容时，可能会遇到哪些问题；二是能设想出解决这些问题的策略和方法。

三是能按照学生的接受能力不同，编排梳理知识内容。

2、课中反思课中反思是及时发现问题，并提出解决问题的方法，教师要有较强的调控应变能力，及时反思自己的教学行为、教学方法，采取有效的教学策略和措施，顺应学生的发展需要，这种反思能使教学高质高效地进行，这是教学反思的重要环节。

圆的切线长定理是什么最低0.27元\/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容>原发布者:中小学教育资料切线长定理主讲人麻屯二中贾航宇问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形AP·OP·OP·O问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线A。

POB思考：假设切线PA已作出，A为切点，则∠OAP为直角,连接OP，可知A在怎样的圆上?用尺规作图：过⊙O外一点做⊙O的切线AOO·PB在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长A·OPB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论并证明你所发现的结论。

BPA=PB∠OPA=∠OPBO。

PA证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°试用文字语言叙述你所发现的结论∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

B。

OPA几何语言:PA、PB分别切⊙O于A、B供了新的方法。

高联二试难度几何100题(带图、已精排适合打印、预留做题空间)

高联难度平面几何100题二〇一七年八月目录第一题：证明角平分5第二题：证明四点共圆6第三题：证明角的倍数关系7第五题：证明垂直9第六题：证明线段相等10第七题：证明线段为比例中项11 第八题：证明垂直12第九题：证明线段相等13第十题：证明角平分14第十一题：证明垂直15第十二题：证明线段相等16第十三题：证明角相等17第十四题：证明中点18第十五题：证明线段的二次等式19 第十六题：证明角平分20第十七题：证明中点21第十八题：证明角相等22第十九题：证明中点23第二十题：证明线段相等24第二十一题：证明垂直25第二十二题：证明角相等26第二十三题：证明四点共圆27第二十四题：证明两圆相切28第二十五题：证明线段相等29 第二十六题：证明四条线段相等30 第二十七题：证明线段比例等式31 第二十八题：证明角的倍数关系32 第二十九题：证明三线共点33 第三十题：证明平行34 第三十一题：证明线段相等35第三十二题：证明四点共圆36 第三十三题：证明三角形相似37 第三十四题：证明角相等38第三十五题：证明内心39第三十六题：证明角平分40第三十七题：证明垂直41第三十八题：证明面积等式42第三十九题：证明角平分43第四十题：证明角相等44第四十一题：证明中点45第四十二题：证明中点46第四十三题：证明角相等47第四十四题：证明垂直48第四十五题：证明角相等49第四十六题：证明垂直50第四十七题：证明四点共圆51第四十八题：证明四点共圆52第四十九题：证明四点共圆53第五十题：证明角平分54第五十三题：证明垂直57第五十四题：证明垂直58第五十五题：证明垂直59第五十六题：证明垂直60第五十七题：证中点61第五十八题：证明角相等61第五十九题：证明角相等63第六十题：证明四点共圆64第六十一题：证明四点共圆65第六十二题：证明四点共圆66第六十三题：证明角相等67第六十四题：证明角的倍数关系68第六十五题：证明中点69第六十六题：伪旁切圆70第六十七题：证明垂直71第六十八题：证明平行72第六十九题：证明圆心在某线上73第七十题：证明三线共点74第七十一题：证明垂直75第七十二题：证明垂直76第七十三题：证明中点77第七十四题：证明垂直78第七十五题：证明垂直79第七十六题：证明三线共点80第七十七题：证明平行81第七十八题：证明平行82第七十九题：证明三线共点、证明垂直83 第八十题：证明三点共线（牛顿定理）84 第八十一题：证明角平分85第八十二题：证明角相等86第八十三题：证明三点共线87第八十四题：证明四圆共点88第八十五题：证明角平分89第八十六题：证明线段相等90第八十七题：证明角相等91第八十八题：证明线段相等92第八十九题：证明线段相等93第九十题：证明线段相等94第九十一题：证明中点95第九十二题：证明四点共圆96第九十三题：证明西姆松定理及逆定理97 第九十四题：证明线段的和差关系等式98 第九十五题：证明角相等99第九十六题：证明托勒密定理及逆定理100 第九十七题：证明线段的和差关系等式101第一百题：证明两三角形共内心104第一题：证明角平分第二题：证明四点共圆切线，点共圆。

过2点与直线相切的圆的分析与图解

圈５过２点作圆与已知圆相切
假设过点Ａ，、，且与圆０相切的圆为０。
作图依据：确定ｌ共轴圆组；圆０，是该共轴圆
组中的一个圆；以定点Ａ、Ｂ，为公共点的共轴圆组中
任意圆与已知圆０的根轴（等幂轴）必通过１定点，
ＡｎａｌｙｔｉｃａｌＰｒｏｏｆａｎｄＩｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｓｆｏｒＣｉｒｃｌｅｓＰａｓｓｉｎｇＴｈｒｏｕｇｈ
ＴｗｏＧｉｖｅｎＰｏｉｎｔｓａｎｄＴａｎｇｅｎｔｔｏＡＧｉｖｅｎＬｉｎｅ
尼奥斯问题的特殊情况。当其中１圆或者多圆退化
当２点连线与已知直线倾斜时，过已知２点可作
如图３所示。此时，２圆的半成点或者直线时，又可以衍生出该问题的多种特殊２个圆与已知直线相切，
下面对这种隋况下的图解方法进行讨论。情况。某些特殊情况不能采用一般情况下的解法。径不相等，本文所探讨的解法为３圆中的２圆退化成点且另１圆退化成直线的情况。该解法丰富了阿波罗尼奥斯
该定点位于直线Ａ，曰，上（根据反演理论）；
结论：圆Ｄ，与已知圆０的根轴将与直线Ａ，Ｂ，交于ｌ点。假设该点为点Ｐ。下面求作点Ｐ。过点Ａ，、，任作１圆Ｄ，作出圆Ｄ与圆０￡

与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

关于两圆相切的问题剖析与解题探究

关于两圆相切的问题剖析与解题探究作者：罗荣昭来源：《数学教学通讯·初中版》2021年第04期[摘要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系，分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系，总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切，结合问题探讨解题策略，并提出相应的教学建议.[关键词] 圆;相切;函数;几何图形问题背景相切是几何中较为特殊的位置关系，两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题，探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系，结合圆的几何性质构建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式：一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题，需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略，这也是教学探究的重点.问题剖析1. 函数背景中的两圆相切探究以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识，常结合坐标系综合构建模型，相切时圆心距与点坐标紧密相关，两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像，可提取其中的特殊图形，结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题，结合点坐标求出.例1：在图1所示的平面直角坐标系中，已知四边形OABC为等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，试回答下列问题.（1）试求经过O，B，C三点的二次函数解析式;（2）如果点P位于第四象限，且△POC与△AOB为相似关系，试写出所有满足条件的点P的坐标;（3）在（2）问条件成立下，如果⊙P与以OC为直径的圆相切，求出⊙P的方程.整体分析：（1）二次函数经过点O，B，C，可求出点坐标，使用待定系数法求解析式.（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则可推得OA=AB=BC，即△OAB为等腰三角形，若△POC与△AOB相似，则△POC必然也为等腰三角形，故存在两种情形：PO=PC和OC=CP，后续构建具体模型，结合相似性质逐步剖析即可.（3）该问在（2）问条件的基础上深入探究，已知⊙P与直径为OC长的圆相切，需根据点P坐标判断相切情形（内切或外切）;然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.过程探究：（1）四边形OABC为等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则点O （0，0），B（6，2 ），C（8，0），可设二次函数解析式为y=ax（x-8），将点B坐标代入其中，解得a= - ，所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.（2）因为tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4，进而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC 与△AOB相似，则△POC也为等腰三角形.①当PO=PC时，如图2所示，则∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，则DP=OD·tan∠POD= ，所以点P的坐标为4，- .②当OC=CP时，如图3所示，则∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同樣过点P作x 轴的垂线，设垂足为点D，已知OC=PC=8，则∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以点P的坐标为（12，-4 ）.综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为4，- 和（12，-4 ）.（3）①当点P坐标为4，- 时，如图4所示，由于点P位于⊙D内，故⊙D与⊙P只可能是内切关系，但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP，即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时，⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时，⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2.②当点P坐标为（12，-4 ）时，如图5所示，此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形，当两者外切时，⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时，⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.综上可知，⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.解后评析：上述第（3）问探究两圆相切时圆的方程，问题突破的难点有两个，一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形，采用数形结合可避免漏解，同时有助于利用圆心距推导圆的半径.2. 几何图形背景中的两圆相切探究几何图形背景中的两圆相切，其探究重点有两个：一是圆的相切关系，二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题，可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导，也可结合三角函数进行计算.例2：已知，如图6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M在边BC上，且AB=12，BM=4，如果将△ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点D处，点O为AC 边上的一个动点，连接OB，以O圆心，OB为半径作⊙O，交线段AB于点B和点E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F，OF交线段AB于点G.（1）分别求点D到点B的距离，以及到直线AB的距离;（2）若点F平分劣弧BE，求此时线段AE的长度;（3）若△AOE为等腰三角形，以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切，求⊙A的半径.整体分析：（1）可设BD与AM的交点为N，则∠BNM=90°，BN=DN，通过解直角三角形可分别求距离.（2）求AE的長，需要求出BE的长，可先确定∠CAB的正弦值，然后设出BG=3m，OG=4m，构建关于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE长.（3）该问讨论两圆相切，可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距，然后讨论相切情形下⊙A的半径.过程探究：（1）简答，BD=2BN= ，点D到AB的距离为 .（2）过点D作AB的垂线，设垂足为H，如图7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，则sin∠CAB= .按照题意绘制如图8所示图像，其中点F平分弧BE，连接DF，与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可设BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半径”，然后讨论“两圆相切”.第一步，求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.由于△AOE为等腰三角形，则可能EO=EA，如图9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK 中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半径rO =OE=5n= ，圆心距d=OA= .第二步，讨论⊙A与⊙O的相切情形.⊙A与⊙O相切，有外切和内切两种情形.①如图10所示，若⊙A与⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;②如图11所示，若⊙A与⊙O内切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;综上可知，⊙A的半径为或20.解后评析：上述第（3）问探究几何图形背景中两圆的相切，结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点，通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质，利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识，同时涉及数形结合、分类讨论思想，是知识与方法综合的典型代表.总结思考1. 关于两圆相切的解读归纳两圆相切是一种特殊的位置关系，通常有内切和外切两种情形，即对于半径长分别为R 和R 的两个圆，当两圆为外切关系时，圆心距d=R +R ;为内切关系时，d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时，只能为内切关系，同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上，“线段和差”是两圆相切的本质，故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化，如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点，而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.另外，在实际解题时有如下解题思路：思路一：结合动点的运动方式来表示相关线段长，重点是理解动点条件.思路二：利用几何性质来表示线段间的关系，重点是提取几何特性.思路三：根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程，重点是探索特性成立的条件.思路四：把握坐标系中的点坐标，结合两点之间的距离关系直接求线段长.2. 关于相切问题教学中的建议建议一：挖掘知识本质，开展知识归纳.两圆相切是一种特殊的位置关系，在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质，结合图像归纳相切的不同的情形，归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多，但实则可归为函数与几何两大构建背景，探究教学要立足知识本质，把握求“线段”或“距离”这一本质内容，探索关联知识，串联知识体系.建议二：关注解题思想，形成解题策略.两圆相切问题中有两大难点：一是相切关系的多样性，二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关，后者关系到解题思路的构建，问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程，关注学生思维，合理渗透数学思想，充分探究审题突破的视角，形成相应的解题策略.。

圆与圆的位置关系

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）．A ．1B ．34C ．12D ．136、现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（）（A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

关于圆的切线的各种定理

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l l ⊥⊥OA OA，，点A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙切⊙O O 于点A∴l l ⊥⊥OA OA（切线性质定理）（切线性质定理）推论1 1 经过圆心且垂直于切经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 2 经过切点且垂经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴PA=PB PA=PB，∠，∠，∠APO=APO=APO=∠∠BPO BPO（切线长定理）（切线长定理）证明：连结OA OA、、OB∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴OA OA⊥⊥AP AP、、OB OB⊥⊥PB∴∠OAP=OAP=∠∠OBP=90OBP=90°°在△OPA和△OPB中：中：OAP=∠∠OBP∠OAP=OP=OPOA=OB=rHL））（HL∴△OPAOPB（OPA≌△≌△OPB∠BPOAPO=∠∴PA=PBPA=PB，∠，∠APO=弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；所在的射线；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理对的圆周角等于所夹的AC)对的圆周角等于所夹弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC弦切角定理） ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等，弧MN =MN =弧弧PQPQ ，弧，∠2所夹的是PQ几何语言：∵∠1所夹的是弧MNMN ，∠2∴∠1=∠2AD⊥EC证明：作AD⊥ECADC=90°∵∠ADC=90°ACD+∠CAD=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点CED∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD OCA=∠CAD∵OC=OA=r OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC OCA=∠OAC∴∠COA=180°COA=180°--∠OCA OCA--∠OAC=180°OAC=180°--2∠CAD 2∠CAD又∵∠ACD=90°ACD=90°--∠CAD ∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA COA=1/2=1/2弧AC 的度数的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

作一线两圆的切圆(CCL)

阿波罗尼奥斯问题之常规解答金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。

想到了就干起来。

第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。

同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。

最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。

《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。

可谓洋洋大观解法大全了。

《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在《常规解答》讨论之列，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。

书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。

《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。

需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!2019年7月于随州目录一．PPP：求作一圆经过不共线的三点 (3)二、LLL：求作一圆与不共点三线都相切 (3)三、PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 (3)四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 (4)五、LLC：求作一圆与两已知直线和已知圆都相切 (6)六、PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 (10)七、PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 (11)八、PLC：求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 (15)九、LCC：求作一圆与两定圆、一定直线都相切 (17)十、CCC：求作一圆与三个已知圆都相切 (19)简介及说明：Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。

圆与圆的位置关系(1)典型题(精选)

一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上．如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分．一、圆与圆位置关系的确定【例1】右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离【例2】如图是一个五环图案，它由五个圆组成．下排的两个圆的位置关系是（）A ．内含B ．外切C ．相交D ．外离例题知识点圆与圆的位置关系（1）【例3】右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【例4】如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆，这两个圆的位置关系是．【例5】图中圆与圆之间不同的位置关系有（）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【例6】大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切Ｃ．相交 D ．内含【例7】已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（） A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切【例8】已知1O ⊙与2O ⊙的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距127cm O O =，则两圆的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【例9】两圆的圆心坐标分别是)0，和()01，，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切【例10】已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3，O 1、O 2的坐标分别是(5，0)和(0，6)，则两圆的位置关系是（） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离【例11】分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________．【例12】如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．【例13】已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是．【例14】已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________．【例15】已知关于x 的一元二次方程()22104x R r x d -++=无实数根，其中R r 、分别是12O O ⊙、⊙的半径，d 为此两圆的圆心距，则12O O ⊙、⊙的位置关系为______________．【例16】已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程28209x x -+=的两根，且121OO =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是_________．【例17】如图，1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3，连接12O O 交2O ⊙于点P ，128O O =，若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒，则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次．【例18】如图，点A B ，在直线MN 上，11AB =厘米，A B ，的半径均为1厘米．A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥．（1）试写出点A B ，之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？【例19】如图，A B 、⊙⊙的圆心A B ，在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB =，现A B ⊙⊙，同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为秒．l【例20】如右图a ，在矩形ABCD 中，20cm AB =，4cm BC =，点P 从A 开始沿折线A B C D ---以4cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(s)t ．（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形?（2）如右图b ，如果P ⊙和Q ⊙的半径都是2cm ，那么t 为何值时，P ⊙和Q ⊙外切?图a二、圆与圆位置关系的性质【例21】已知1O 和2O 外切，它们的半径分别为2cm 和5cm ，则12O O 的长是（）A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．7cm【例22】 O 的半径为3cm ，点M 是O 外一点，4OM cm =，则以M 为圆心且与⊙O 相切的圆的半径是 cm ．【例23】1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是_________．【例24】如图，1O ，2O ，3O 两两相外切，1O 的半径11r =，2O 的半径22r =，3O 的半径33r =，则123O O O △是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形【例25】若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．【例26】已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( ) A．01d<d>d>D．01≤或5dd<<B．5d>C．01<<或5【例27】一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交)，若皮带在两只轮子切点间的距离是24，那么两轮圆心间的距离是___________．5和4cm，这两个圆的圆心距是【例28】已知相切两圆的半径分别为cm【例29】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是．A BC D。

新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞ 3．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（）A ．23B C ．3D 4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（） A ．9B ．4C ．12D ．147．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（） A ．8 B ．4C ．24D ．168．已知圆C 经过()4,2P -，()1,3Q -两点，且在y 轴上截得的线段的长为于5.若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则直线l 的方程为（） A ．40x y ++=或30x y +-= B ．40x y +-=或30x y ++= C ．40x y ++=或30x y ++=D ．40x y +-=或30x y +-=9．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（）A ．5B C D 11．圆心为1,32C ⎛⎫- ⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（） A ．2215()(3)22x y -+-= B ．2215()(3)22x y -++= C ．22125()(3)24x y ++-=D ．22125()(3)24x y +++=12．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．210x y --=二、填空题13．已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.15．已知圆O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，点P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为钝角，则点P 横坐标的取值范围是______. 16．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．19．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．20．ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知圆221:2440C x y x y ++--=.（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.（2）若圆222:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；23．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．24．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 65. （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.25．已知直线l ：240x y +-=，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 的距离为55. （1）求圆C 的方程；（2）直线l 上是否存在一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N 直线MN 恒过定点，并求定点坐标.26．已知圆C 方程222410x y x y +-++= （1）求圆C 的圆心，半径；（2）直线l 经过(2,0)，并且被圆C 截得的弦长为23l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去）故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ，（1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围．【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB方程，由直线AB方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P，再求出定点P与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．D解析：D【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.【详解】22640x y x+-+=，即()2235x y-+=，圆心为()3,0，半径为5，y x 的几何意义是圆上一点(),x y与()0,0连线的斜率，如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大，令此时直线的倾斜角为α，则5tanα=，yx5，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM =④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确；又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2PM =故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,AB 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.7．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d = 所以四边形PAOB的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.8．B解析：B 【分析】先求出圆C 的方程，设出直线l 的方程为y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -，与圆的方程联立消去y 可得12x x +、12x x 用m 表示，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，()21212121220OA OB x x y y x x m x x m ⋅=+=-++=将12x x +、12x x ，代入即可求出m的值，进而可得直线l 的方程. 【详解】因为()4,2P -，()1,3Q -，所以()32114PQ k --==---，所以直线PQ 的方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=，设圆心(),C a b ，半径为r ，直线PQ 的垂直平分线为：1322y x -=-，即10x y --=，所以10a b --=①，由于在y轴上截得的线段的长为(222r a =+②，又因为()()22213r a b =++-③，由①②③可得：10a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或54a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（舍），所以圆C 的方程为：()22113x y -+=，设直线l 的方程为：y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，由()22113y x m x y =-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得：()22221120x m x m -++-=，所以121x x m +=+，212122m x x -=，所以()()()2121212122OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++()221210m m m m =--++=，即2120m m --=，解得：4m =或3m =-，所以直线l 的方程为4y x =-+或3y x =--，即直线l 的方程为40x y +-=或30x y ++=，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用待定系数法求出圆的方程，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，得出OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，将直线l 的方程与圆的方程联立，即可得12x x +、12x x 用m 表示，代入()()()21212121220OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++=，即可求出m 的值，进而求解.9．B解析：B 【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论．【详解】作出曲线x =y x b =+，如图，易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-，当直线y x b =+1=，b =b =∴b 的取值范围是11b -<≤或b = 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．10．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为11123255d -⨯+==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25253255d -⨯+== 圆心到直线230x y -+=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y -+=25.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.11．C解析：C 【分析】根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】因为圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以设圆的方程为：2221()(3)2x y r ++-=，将直线方程代入圆的方程，得到228552004y y r -+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有21212174,45r y y y y +=⋅=-，因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=，所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，整理得121296()50y y y y -++=，即2179645()045r -⨯+⨯-=，求得2254r =，所以圆C 的方程为：22125()(3)24x y ++-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.12．D解析：D 【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3，又由斜率公式，可得011312PC k -==--，根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =，所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】写出线段的方程联立求得交点坐标由可求得的范围【详解】由条件得有解解得由得或故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标利用交点坐标的范围求解析：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【分析】写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围．【详解】由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.圆C ：224x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，即13m <<⇒<< 0m >m <<.故答案为：【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.15．【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程设由为钝角可知由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意需舍去从而得到最终结果【详解】设垂直平分线斜率为则即又中点为垂直平分线方程为解析：(1,2)(2,3)【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程，设(),52P x x -，由OPA ∠为钝角可知0OP AP ⋅<，由此构造不等式求得x 的范围；当,,O P A 三点共线时不合题意，需舍去，从而得到最终结果. 【详解】设OA 垂直平分线斜率为k ，则1OA k k ⋅=-，即112k =- 2k ∴=- 又OA 中点为()2,1 OA ∴垂直平分线方程为：()122y x -=--，即250x y +-=OPA ∠为钝角 0OP AP ∴⋅<设(),52P x x - (),52OP x x ∴=-，()4,32AP x x =--()()()245232520150OP AP x x x x x x ∴⋅=-+--=-+<，解得：13x <<又当2x =时，,,O P A 三点共线，此时OPA π∠=，不合题意 ()()1,22,3x ∴∈故答案为：()()1,22,3⋃ 【点睛】本题考查直线方程的综合应用、平面向量夹角的运算求解问题；关键是能够通过垂直且平分的关系求得直线方程，同时利用角为钝角确定向量数量积所处的范围；易错点是忽略向量数量积小于零时，夹角有可能为平角的情况，造成增根出现.16．【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程得到斜率即可求出倾斜角【详解】由可得：所以斜率即所以倾斜角为故填【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角属于基础题解析：34π把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角. 【详解】由20180x y +-=可得：2008y x =-+ ，所以斜率1k =-，即tan 1α=-，所以倾斜角为34π，故填34π. 【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可．试题因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．2x ﹣4y+3＝0【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点所以即故解析：2x ﹣4y +3＝0 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.19．(－4－1)【分析】设对称点的坐标为根据点P 关于直线对称列出方程组即可求解【详解】设对称点的坐标为则解得所以所求对称点的坐标为【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题其中解答中根据点关于直解析：(－4，－1) 【分析】设对称点的坐标为00(,)x y ，根据点P 关于直线1x y +=对称，列出方程组，即可求解. 【详解】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，所以所求对称点的坐标为(4,1)--．【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因 21【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O 2ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O 2ax ＋by ＝1距离为22，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）①1y x =-+±②4350x y --=或2x =；（2）4. 【分析】（1）①由已知得直线l 的斜率为1-，然后利用点到直线的距离等于半径可得直线截距可得答案；②分别讨论当过P 的直线斜率不存在和存在两种情况，不存在时特殊情况可得答案；存在时利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）两个圆的方程联立求得交点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案. 【详解】（1）①圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零，故直线l 的斜率为1-.∴设直线l 的方程y x b =-+，又直线l 与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，3=，整理得1b =±∴所求直线l 的方程为1y x =-+±②圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆C 到直线的距离为3，所以直线2x =是圆C 的切线.当过P 的直线斜率存在时，设切线方程为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=3=，43k ∴=，∴切线方程4412033x y -+-⨯=，即4350x y --=，综上所述，切线方程为4350x y --=或2x =.（2）联立方程222224404x y x y x y ⎧++--=⎨+=⎩，得1155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，||4DE ∴===. 【点睛】直线和圆相切时，可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解，或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数，有时利用后面方法计算运算量比较小些. 22．（1）()()22611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=. 【分析】（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得01y =，即可得解；（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =，因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-，设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l的距离d ==，因为BC OA ===，而2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-，故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用. 23．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2）【分析】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，圆222:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，半径为则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=.（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)B ，设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d，则1||2d C B ≤==，当且仅当1l BC ⊥时，等号成立，所以弦长||AB =≥=. 所以直线l 被圆1C截得的弦长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 24．（1）22(2)2++=x y ；（2）(8,6)-Q . 【分析】（1）设出圆心坐标(,0)(0)C a a <，再根据圆心C 到直线l的距离为5，列式即可求出a ，从而得到圆C 的方程；（2）设(2,2)-Q t t ，根据圆系知识可知，直线MN 即为以QC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线，先求出以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0x x t y y t +-+-+=，于是得到直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t ，再根据其斜率为1，即可解出t ，得到点Q 的坐标．【详解】（1）依题意设圆心(,0)(0)C a a <5=，解得2a =-或10a =. 由于0a <，∴2a =-.∴圆的方程为22(2)2++=x y .（2）设(2,2)-Q t t ，以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0,+-+-+=x x t y y t 即22(22)(2)40++-+--=x y t x t y t ①，22420x y x +++=② 由②－①得直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t .又∵221,12MN tK t +=∴=-，即4t =-． ∴点Q 的坐标为(8,6)-Q .【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及圆系知识的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．圆的方程常用求法有：待定系数法，几何法；直线与圆系：设直线:0l Ax By C ++=，圆22:0C x y Dx Ey F ++++=，则经过直线l 与圆C 的交点的圆系方程可设为：()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=；圆与圆系：设圆221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=，当圆1C 与圆2C 相交时，则经过圆1C 与圆2C 交点的圆系方程可设为：()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（除去圆2C ），当1λ=-时，其表示两圆公共弦所在直线的方程：()()()1212120D x E D E y F F -+-+-=．25．（1）22(2)2++=x y ；（2）存在，52,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接利用圆心到直线的距离公式求解即可；（2）先假设存在，写出以QC 为直径的圆的方程，两圆相减得到公共弦MN 的方程，再求出定点即可. 【详解】解：（1）依题意知：圆心(,0)(0)C a a <，=，解得：2a=-或10a=，a <，2a∴=-，即圆的方程为22(2)2++=x y；（2）设存在(2,2)-Q t t，则,,,M N Q C四点共圆，即以QC为直径的圆的方程为：(2)(2)(2)0x x t y y t+-+-+=，即22(22)(2)40++-+--=x y t x t y t①22420x y x+++=②由①-②得：直线MN的方程为：(22)(2)240+--++=t x t y t，即(24)2220t x y x y-++++=，令2402220x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解得：5323xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线MN恒过定点的坐标为52(,)33-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到,,,M N Q C四点共圆，写出以QC为直径的圆的方程，利用两圆方程相减得到公共弦方程.26．（1）圆心(1,2)-；半径2；（2）2x=或3460x y--=.【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程.【详解】（1）()()22222410124x y x y x y+-++=⇔-++=圆心(1,2)-半径2；（2）圆222410x y x y+-++=可化为22(1)(2)4x y-++=.所以圆心到直线的距离为1d==当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=，此时直线l被圆C截得的弦长为当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为(2)y k x=-，即20kx y k--=1= 解得34k = ∴直线的方程为3460x y --=综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=.【点睛】易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.。

高中数学圆的方程典型例题

（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个
4：过点 P(− 3，− 4)作直线 l ，当斜率为何值时，直线 l 与圆 C：(x −1)2 + (y + 2)2 = 4 有公共点
类型五：圆与圆的位置关系
例 14、判断圆 C1 : x 2 + y 2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 4 = 0 的位置关系，
=
y−2
的几何意义是过圆
x2
+
y2
= 1上一动点和定点 (−1 ,
2) 的连线的斜率，利用
x +1
此直线与圆 x2 + y2 = 1有公共点，可确定出 u 的取值范围．
解法二：由 u
=
y−2
得：
y − 2 = u(x +1) ，此直线与圆 x2
+
y2
= 1 有公共点，故点 (0 , 0) 到
x +1
解法三：设 A(r cosα , r sinα ) 、 B(r cos β , r sin β ) 、 Q(x , y) ，
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由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
x + a = r cosα + r cos β ，
①
y + b = r sinα + r sin β ，
②
cosθ +1 ∴ u cosθ − sinθ = −(u + 2) ．
即 u 2 + 1 sin(θ − ϕ ) = u + 2 （ tanϕ = u ）
(u + 2)

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

高中数学圆的方程典型例题(含答案)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

作两点一线的切圆(LPP)

想到了就干起来。

同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。

最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。

《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。

可谓洋洋大观解法大全了。

书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。

高考数学考点归纳之直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学考点归纳之直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法．考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________．解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离，所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。

圆各知识点总结

第24章圆知识点总结一、圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。

(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。

(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。

）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。

优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。

（优弧通常用三个字母表示，如C AB。

） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。

3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

探究过两点的圆的方程的求法

探究过两点的圆的方程的求法
根据定义，由两点构成的圆可以由它们之间的直线连接起来，该直线与圆的圆
心相切。

因此，解决两点构成的圆的方程就是先求出圆心，然后再求出半径。

求两点构成的圆的圆心：
用(x1，y1)和(x2，y2)表示两个方程，圆心坐标就可以表示为(xc，yc)，则有：xc= (x1 + x2)/2；
yc= (y1 + y2)/2；
即，两个点的中点坐标就是所求的圆心坐标。

求两点构成的圆的半径：
用p1=(x1，y1)和p2=(x2，y2)表示两点，则半径：
r = √[(x1−x2)²+(y1−y2)²] ；
最终，得出两点构成的圆的方程：
(x-xc)²+(y-yc)²= r²;
可见，求两点构成的圆的方程，首先要求出圆心，然后再求出和两点之间的距离，就可以得到该圆的方程了。