第一轮复习立体几何垂直问题

第一轮复习立体几何【垂直问题】

垂直关系：

考点1 直线与平面垂直 1、线面垂直的判定:

判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直.

2、线面垂直的性质:

若直线垂直于平面，则该条直线垂直于平面内的任意一条直线. 考点2 平面与平面垂直 1、面面垂直的判定:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 2、面面垂直的性质:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 【常用方法】“空间向量法” 考点突破

考点1 直线与平面垂直或（线线垂直）

典例 1 ．（12年高考湖南理）如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD ,

43AB BC ==，0,590AD DAB ABC =∠=∠=，,E 是CD 的中点.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;

训练1．（12年高考（大纲理））如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面

ABCD ,22AC =,2,PA E =是PC 上的一

点,2PE EC =.

(1)证明:PC ⊥平面BED ;

训练2．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩

形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面

线线垂直 线面垂直 面面垂直 A

B

C D

P

E

图5

E

C

A

P

BDE .

(Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;

训练3: 如图所示，已知PA ⊥O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，

过A 作AE ⊥PC 于E ， 求证：AE ⊥平面PBC ．

训练4．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱

111ABC A B C -中,11

2

AC BC AA ==

,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 (1)证明:BC DC ⊥1

考点2：面面垂直

例1.（2011福建理） 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中， AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA ． （I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；

训练1. 如图,在四棱锥

P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,

PD ⊥底面ABCD ，,M N 分别是,PA BC 的中点,且1PD AD ==

(2)求证:平面PAC ⊥平面PBD;

训练2.（2011广东理） 在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，

且∠DAB=60︒，2PA PD ==

,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．

（1） 证明：AD ⊥平面DEF;

训练3.（2011辽宁理）

如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，

QA=AB=1

2PD ．

（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．

训练4.（2011陕西理） 如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BCD ∠=。 （Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值。