用放缩法证明不等式的方法与技巧

用放缩法证明不等式的方法与技巧

一．常用公式 1．

)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．

1

21

12-+<<++k k k

k k

3．22

k k

≥()4≥k 4．1232k k ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(2≥k )

5．

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学）

二．放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证

A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.

常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-<

（2）

<

>

11>

n >= （3）21111111

(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-

=<<=->++-- （4

）=

<=<= （5）若,,a b m R +

∈，则,a a a a m b b m b b

+><

+ （6）21111111

112!3!!222

n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+

（7）22211111111

11(1)()()232231n n n

+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <

-） （7）1111111112321111

n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++

或11111111

123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++

（8

）1+⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== 三．常见题型

（一）．先求和再放缩: 1．设1111

2612

(1)

n S n n =

++++

+，求证：1n S <

2．设1n b n =

（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <

（二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111

12112123

123n

++++

<⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⨯

4．设2

22

111123

n

S n =+

+++

（1）求证：当2n ≥时，21

n n

S n <<+； （2）试探究：当2n ≥时，是否有

65

(1)(21)3

n n S n n <<++？说明理由.

5．设1352

1

2462n n b n -=⋅⋅⋅⋅

，求证： （1

）n b <

（2）1231n b b b b ++++<

6．设n

a n =

，21

2

(

)n n n b a a +=+

求证（1）

12n n a a +<

+

（2）*123()1

n n

b b b b n N n ++++<

∈+

7． 设2(1)n b n =+，(1)n a n n =+， 求证:

11221115

12n n a b a b a b +++<+++…

8． 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个

蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 个图的蜂巢总数.

(4),(5)f f 的值，并求()f n 的（1）试给出表达式（不要求证明）； （2）证明：111

14

(1)(2)(3)

()3

f f f f n ++++

<.

9．（10广州）设n S 为数列}{n

a 的前n 项和，对任意的∈n N

*

，都有()1n

n S m ma =+-m (为常数，

且0)

m >．

（1）求证：数列

}{n

a 是等比数列；

（2）设数列}{n

a 的公比()m f q =，

数列{}n

b 满足()1112,n

n b a b f b -== (2n ≥，

∈n N *)，求数列

{}n b 的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2n b 的前n 项和89

18

n T <

．

10．（010深圳）在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,

n =．

（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42

n n

S n <

+，n *∈N ．

2．证：1

n

b n

=

21111

()(2)22

n b b b n n n n +=

=-++

1324352n n n T b b b b b b b b +=+++