整数规划(整数规划)

重点
1. 整数规划的解是可数个的，最 优解不一定发生在顶点。
2. 整数规划的最优解不会优于其 对应线性规划问题的最优解。 （定理）
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大 目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大 值，MaxZ=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
工作 人
B1 a11 a21 a31
B2 a12 a22 a32
B3 a13 a23 a33
A1 A2 A3
要求：1.将此分配问题的求解转化为一个网络图中求始点 与终点之间的最短路问题，画出该网络图，注明 节点和边的含义，并标明每一条边的aij值； 2.以上述网络图为基础，利用0－1变量建立该最短 路问题的0－1整数规划模型，列出该模型的数学 表达式。
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有MaxZ = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2，3) (1，4)(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最 优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
2 3
设x1 , x2分别为甲乙两种货物托运件数 max z 2 x1 3 x2 s.t. 195 x1 273 x2 1365 4 x1 40 x2 140 x1 4 x , x 0 1 2 x1 , x2为整数
（二）整数规划的一般数学模型
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整 数。 全整数规划：除了所有决策变量要求取非负 整数外，技术系数aij和常数bi也要求取整数。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要 求取非负整数，另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
想一想：
对整数规划问题，先按线 性规划问题（不受整数约束） 求解，然后“舍入化整”，就 可得到整数最优解，可以吗？
在西区由A4 ， A5 两个点或者都选，或者都不选。
六、指派问题
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任 务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性 质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的 效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了 一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题 称为指派问题或分派问题。 （一）、指派问题的数学模型 设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一 件工作，每件工作只有一个人去做。已知第i 个人去做 第j 件工作的的效率（ 时间或费用）为 Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应如何分配才 能使总效率（ 时间或费用）最高？
想一想：
在生产管理和经营活动中若要求解：
• 安排上班的人数 • 运输车辆台数
第八章
整数规划（IP）
(Integer Programming)
主要内容： §1 整数规划的模型（掌握） §2 整数规划的计算机求解（掌握） §3 整数规划的应用（掌握）
（补充指派问题的匈牙利解法）
一、整数规划的模型
（一）整数规划实例 例1：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及 托运所受限制如表所示：
五、投资场所的选择。例4(P1ห้องสมุดไป่ตู้6)
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部， 拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民 的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
分支定界法和割平面法（不作为课堂授课内 容）； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和
匈牙利法。
二、指派问题（匈牙利法）
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任 务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性 质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的 效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了 一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题 称为指派问题或分派问题。
A1 投资额 利润 100 36 A2 120 40 A3 150 50 A4 80 22 A5 70 20 A6 90 30 A7 80 25 A8 140 48 A9 160 58 A10 180 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测 情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪 几个销售点，可使年利润为最大?
设决策变量
xij =
1
0
分配第i 个人去做第j 件工作
相反
n
( I,j=1.2. …n )
min Z 其数学模型为：
c
i 1 j 1
n
ij
x ij
n x ij 1 ( i 1.2. .n ) j 1 n x ij 1 ( j 1.2. .n ) i 1 x ij 0或1(i , j 1.2. .n )
货物 甲 乙 每件体积 （立方英尺） 195 273 每件重量 每件利润 （百千克） （百元） 4 2 40 3
托运限制
1365
140
甲种货物至多托运4件。 问：两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？？？
货物
每件体积 每件重量
每件利润
规划模型：
甲 乙 托运限制
195 273 1365
4 40 140
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用） 或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xi ≥ 0 且xi 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
A1 投资额 利润 100 36 A2 120 40 A3 150 50 A4 80 22 A5 70 20 A6 90 30 A7 80 25 A8 140 48 A9 160 58 A10 180 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一 样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超 过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?
（二）匈牙利法解题步骤（补充，重点） 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例， 当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求 解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算 的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是 匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于 能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项不同 的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所 示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为 最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
解：引入0—1变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去 完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1整数规划问题： Minz=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0--1变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用《管理运筹学》软件中整数规划方法。
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题。
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x1 , x2 0
• 指派问题是0—1规划的特例。 • 库恩（ww.kuhn）于1955年提出了指派问题的 解法。他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于 矩阵中0元素的定理，所以把这解法称为匈牙 利法。以后在方法上虽有不断改进，但仍沿用 这名称。
四、整数规划问题计算机求解(P165)
例2： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1,x2,x3 ≥ 0 为整数
（三）整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
• 指派问题是0—1规划的特例。 • 库恩（ww.kuhn）于1955年提出了指派问题的 解法。他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于 矩阵中0元素的定理，所以把这解法称为匈牙 利法。以后在方法上虽有不断改进，但仍沿用 这名称。
【例】下表为某一个分配问题的效率矩阵，其中aij表示 第i个人完成第j项工作需要的时间。
用《管理运筹学》软件求解得： x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 z = 16.25
§8.3 整数规划的应用
• • • • • 投资场所的选择。例4 固定成本问题。例5 指派问题（分配问题）。例6 分布系统设计。例7 投资问题。例8
五、投资场所的选择。例4(P166)
例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立 销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…，10)可 供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度， 规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
用《管理运筹学》软件求解得： x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
四、整数规划问题计算机求解(P165)
例3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1,x2,x3 ≥ 0 x1，x3 为整数 x3 为0-1变量