弯曲内力课件

第八章弯曲内力
【学时】6（其中习题课2）
【基本要求】
1．理解平面弯曲的概念[2]。

2．掌握剪力方程和弯矩方程[2]。

3．掌握剪力图和弯矩图弯矩的绘制[2]。

4．了解叠加法作弯矩图[3]。

【重点】梁在任一指定截面处的剪力和弯矩值的计算；剪力方程和弯矩方程；剪力图和弯矩图。

【难点】弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系。

§8-1 平面弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这
种变形称为弯曲。

2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。

3. 工程实例
4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。

对称弯曲（如下图）——平面弯曲的特例。

二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。

1. 构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。

2. 载荷简化：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。

3. 支座简化①固定铰支座2个约束，1个自由度。

如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。

②可动铰支座 1个约束，2个自由度。

如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。

③固定端 3个约束，0个自由度。

如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。

4.
静定梁的三种基本形式
③外伸梁
§8-2 弯曲时的内力——剪力和弯矩
一、弯曲内力
[举例]已知：如图，P ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力
l
a l P Y Y l
Pa
R m X X A B A A )
(
, 0 ,
00 , 0-=∑∴==∑∴==∑∴=
②求内力——截面法
X A Y A
M A
x
x Y M m l a l P Y Q Y A C A ⋅=∑∴=-==∑∴=
, 0)
(
, 0
∴ 弯曲构件内力⎪⎩
⎪
⎨⎧弯矩剪力
1. 弯矩：M
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。

2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。

3.内力的正负规定:①剪力Q : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。

②弯矩M
：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。

二、举例：
1、如图所示简支梁，求C 、D 截面的弯曲内力。

解：求A 、B 支座反力：
∑m A (F)=0：4R B +4-10X2-10X1=0。

得：R B =6.5kN 。

∑F y =0：R A +R B -10-10=0， 得：R A =13.5KN 。

（2）、计算截面C 处的剪力和弯矩：取右段为研究对象： ∑F y =0：Q C +R B =0： 得：Q C =R B = - 6.5KN 。

∑m C (F)=0：-M C +4+1.5R B =0。

得：M C =13.75KNm 。

（3）、计算截面D 处的剪力和弯矩：
截面D 作用有集中力，剪力在此有突变，用D+表示截面右侧，离面D 无限近的截面；D -表示在截面D 左侧，离截面D 无限近的截面，分别计算D+和D -处的剪力：
D
=R A-10=13.5-10=3.5KN；
＋
=R A=13.5KN。

D
－
M D=R A X1=13.5KNm。

§8–3 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。

2. 剪力图和弯矩图：
外伸梁受力如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。

解：
q （a ）剪力图
（2）弯矩图
CA 段：仅有集中力q α产生弯矩，C 点无弯矩，弯矩为零。

弯矩M （x ）与C 点的距离成正比的直线，C 点为零，A 点为—q α2.
AD段：载荷为均布，且向下，产后负弯矩。

距A点为x的截面上的弯矩，由A截面的弯矩—qα2,A点右侧剪力4qα/3产生的弯矩，以及均布载荷—q产生的弯矩之和组成，
-qα2+
弯矩图为一抛物线，且向上，到D点x=2α，弯矩
在距A点4α/3处，弯矩达到抛物线的顶点，弯矩。

DB段：在D点有集中弯矩作用，故有一跳跃，其值为qα2，因此D点右侧弯矩为2qα2/3。

此段中间无任何载荷作用，弯矩图为直线，B点的弯矩为零。

弯矩图如图3（b）。

二、计算题作图示梁的剪力图和弯矩图（B为中间铰）
解：
首先求D的支反力。

B点中间铰只传递剪力，不传递弯矩，B点右侧梁上所有载荷对B点的弯矩为零。

（1）剪力图（从右往左画）
DC段：仅有支反力RD作用，其间不变，剪力图为水平线，大小为RD。

CB段：只有C点有集中力，有一跳跃，剪力变为零，此段剪力为零。

BE段：只有B点有集中力P作用，再次出现跳跃，剪力增加，剪力图为水平线。

EA段：有均布载荷q向下作用，剪力图应为从右向左向上倾斜的填线，斜率为-q。

剪力
E点为，A点为2 。

剪力图如图示（a）。

（2）弯矩图（从右往左画）
DC段：仅有支反力RD作用，弯矩图为直线，D点的弯矩为零，C点的弯矩为。

CB段：C点有集中弯矩，有跳跃，使得C点左侧弯矩为零，此段无其它载荷作用，弯矩保持为零。

BE段：B点有集中力P作用，产生线性变化的弯矩，弯矩图为直线，到E点，弯矩值为。

EA段：此段有均布载荷作用，且为负，弯矩图为抛物线，向下 ,到A点弯矩。

三、计算题
欲用钢索起吊一根自重为（均布全梁）长度为的等截面梁，如图所示，吊点位置应是多少才最合理？
解：
设钢索系在距端点处，受力如图2（a）。

钢索的张力的垂直分量N由平衡方程得作弯矩图如图3。

CA段：距A点为的截面上的弯矩（0 ）
AB段：距A点为的截面上的弯矩有均布载荷产生的弯矩，和集中力N产生的弯矩之和组成
在AB段的中点E，弯矩达到最大。

BD段与BA段相同。

从弯矩图可知，当钢索系某处，使A点的弯矩与E点的弯矩大小相等，方向相反时才是
理的位置，即
求解此方程，得
应取正值，钢索应系的位置
§8–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用§8–5 按叠加原理作弯矩图。