随机过程的基础知识
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t
Q A
A
Z dP
A F t
湖南大学金融与统计学院 陈勇
26
Girsanov定理
• 1. Q是概率测度空间。
• 2. dW t dW t dt • 3.
W t 是鞅过程。
。
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27
Girsanov定理
T
T t
t T rds E e f S ( ), F (t ) E h( S (T )) F ( ) F (t ) E
T
E h( S (T )) F (t ) e t
T
rds
T
f S (t ), t f S (t ), t is a martingale.
• Q是概率测度空间。Q为非负且E[Z]=1。
X (t ) (t )dW t
0 t t 0
X (t ) e X dZ (t ) df X (t )
f
1 2 t dt 2
2 1 f ' X t dX t f '' X t dX t 2 1 1 Z (t ) (t ) dW (t ) 2 (t ) dt Z (t ) 2 (t )dt 2 2 Z (t ) (t ) dW (t )
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23
Girsanov定理
在概率空间 , F , P ，变量 X N 0,1 ，构造概 率空间 , F , Q ，使得 X N 0,1 。
Z e
1 X 2 2
A F Q A Z dP
A
湖南大学金融与统计学院 陈勇
当时间的变化趋近于零时，可以得到 Cov dz (ti ), dz (t j ) 0 E dz t 0
Var dz (t ) dt
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广义维纳过程
dx a dt bdz (t ) 其中，dz (t )为标准维纳过程
在通常的微分过程中，我们有 G G DG Dx Dt x t 在随机微分过程中，我们有
G G 1 2G 2 DG D x Dt D x x t 2 x2
两者不同的原因在于 Dx 中含有一项与 Dt 同阶的无穷小。
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15
替代 Dx
假设 dx a (x,t )dt b(x,t )dz 即 Dx =a Dt +b Dt 忽略比Dt更高阶的无穷小项，可以得到
t rds f S (t ), t E e h S (T ) F (t ) T T T rds t rds t rds t d e f e df e rfdt
T
e t e t e t
T
rds
df rfdt
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5
弱式市场有效
• 在弱式市场有效假设下，根据历史价 格设计的股票交易策略不能获得超额 收益。也就是说，技术分析是无效的。 • 服从马尔科夫过程的股价满足弱式有 效市场假设。
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6
举个栗子
• • • • 变量现在的取值是40。 变量服从马尔科夫过程。 变量的变化是平稳的。 在1年之后，变量服从以40为均值、标 准方差为10的正态分布。
G G 1 2G 2 2 DG Dx Dt b Dt 2 x t 2 x
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16
2Dt项
由于 (0,1) , 所以 E ( ) 0 E ( 2 ) [ E ( )]2 1 E ( 2 ) 1 因此， E ( 2 Dt ) Dt。
其中， 服从标准正态分布。
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伊藤引理
• 如果G是维纳过程x和时间t的函数，即 G =G (x, t ) ，给定x服从的维纳过程, 伊藤引理告诉我们G (x, t )应该满足的 偏微分方程。这个偏微分方程就称为 伊藤公式。 • 由于衍生品的价格依赖于基础资产的 价格，伊藤引理在衍生品定价分析中 有非常重要的应用。
• x 在单位时间内的变化的均值为a。 • x 在单位时间内的变化的方差为 b2。
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11
伊藤引理
• 在伊藤过程中，变量变化的速度和变 化的方差可以是时间的函数，即 dx=a(x,t) dt+b(x,t) dz • 在离散的情况下，随着Dt 趋近于零， 以下公式成立。
Dx a( x, t )Dt b( x, t ) Dt
Z (t ) Z (0) Z (t ) (t )dW (t ) E Z (t ) Z (0) 1
0
t
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Girsanov定理
• 证明dW t dW t dt
dW t dW t dW (t ) (t )dt dW (t ) (t )dt dW (t )dW (t ) dt
G G 1 2G 2 G dG a b dt b dz 2 t 2x x x 这就是伊藤引理
代入： dx a dt b dz 得到：
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伊藤引理的应用
股价的波动服从 d S S dt S d z G 是 S 和 t的函数 G G 1 2G 2 2 G dG S S dt S dz 2 t 2S S S
limvar(
Dt 0
2
Dt ) limDt var( ) 0
2 2 Dt 0
因此， 2 Dt可以用Dt替代
G G 1 2G 2 DG Dx Dt b Dt 2 x t 2x
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取极限
取极限:
G G 1 2G 2 dG dx dt b dt 2 x t 2 x
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19
费曼定理（Feynman-Kac定理）
• 在风险中性测度下，股票价格服从以下随机过程。
dS rSdt SdW • 给定函数h(S)，定义函数
t f S (t ), t E e
T
rdt
h S (T )
F (t )
随机过程基础知识
伊藤引理、费曼定理与Girsanov定理
阅读材料
1. John Hull，期权、期货和其他衍生品（第 8版）第13章 2. Steven E. Shreve, Stochastic Calculas for Finance ‖: Continuous-Time Models.
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• 则 f S , t 满足以下PDE。
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
• 边界条件：f S (T ), T h(S (T ))
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费曼定理（Feynman-Kac定理）
• 给定函数h(S)，定义函数
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e t
rds
费曼定理（Feynman-Kac定理）
•
t rds 因此， d e f
T
的漂移项的系数为零，即
f f 1 2 2 2 f rS S rf 0 2 S t 2 S
• 边界条件为
f S (T ), T h(S (T ))
如果在不同时间段内变量变化的均值为零，方差 不变，则称变量是平稳的。
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7
问题
• 股票价格在2年之后的概率分布是 什么？ • 在½ 年之后呢？ • 在Dt 年之后呢？
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维纳过程
令变量 z 在短时间 Dt 内的变化是 Dz。如果变 量的变化 Dz 服从以零为均值、以 Dt 为方差 的正态分布，且任何两个时点的变化相互独 立，则该过程为标准维纳过程。
0
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t
25Leabharlann Baidu
Girsanov定理
定理：设 t 是任意适应过程，则 W t 在 带滤子空间Q为布朗运动。
W t W t u du
0 t
Z t e 0
t
( t ) dW t
1 2 t dt 0 2
24
Girsanov定理
• 在带滤子的空间 , F , F t , P ，W t ,0 t T 是 布朗运动。 • 构造带滤子空间 , F , F t , Q ，使得 W t 为布朗运动。
W t W t u du
21
T
rds
T
rds
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费曼定理（Feynman-Kac定理）
t rds f S (t ), t E e h S (T ) F (t ) rds e f S (t ), t E h( S (T )) F (t )
f f 1 2 f 2 dS dt ( dS ) rfdt 2 S t 2 S f f 1 2 2 2 f S rf rS 2 S S t 2 f dW dt S S
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标准维纳过程的性质
z t nDt z t 0 1. E 2. Cov z (ti Dt ) z(t i ), z (t j Dt ) z(t j ) 0 3. Var z (t nDt ) z(t) n Var z (t Dt ) z(t)
s A F ( s ) 1 YZ (t ) F ( s ) dQ A Z s E
A
E YZ (t ) F ( s ) dP E Y E E Y E Y YdQ EQ Y F (s) dQ
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泰勒级数展开
• G(x, t) 的泰勒展开式为：
G G 2G 2 DG Dx Dt ½ D x x t x 2 2G 2G 2 Dx Dt ½ Dt 2 xt t
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14
忽略比 Dt更高阶的无穷小项
2
均值与方差
• 随机变量的均值为u，方差为1，进行n次独 立的实验，每次实验结果的均值和方差是 什么？ n次实验结果的平均值呢？
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3
随机过程
• 股票、汇率和利率随时间的变化。 • 包含不确定性。
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4
马尔科夫过程
• 在马尔科夫过程中，未来的变量变动只 依赖于变量现在的取值，而不是变量怎 么达到现在的取值。 • 通常假设股票价格服从马尔科夫过程。 • 特定地点的气温服从马尔科夫过程吗？
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29
Girsanov定理
• 为了证明 W t 是鞅过程，先要证明两个 个定理。
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Girsanov定理
• 定理1：0 s t T , Y F(t) ，则以下 1 Q E Y F ( s ) 公式成立 Z E YZ (t ) F ( s)
Q A
A
Z dP
A F t
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Girsanov定理
• 1. Q是概率测度空间。
• 2. dW t dW t dt • 3.
W t 是鞅过程。
。
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Girsanov定理
T
T t
t T rds E e f S ( ), F (t ) E h( S (T )) F ( ) F (t ) E
T
E h( S (T )) F (t ) e t
T
rds
T
f S (t ), t f S (t ), t is a martingale.
• Q是概率测度空间。Q为非负且E[Z]=1。
X (t ) (t )dW t
0 t t 0
X (t ) e X dZ (t ) df X (t )
f
1 2 t dt 2
2 1 f ' X t dX t f '' X t dX t 2 1 1 Z (t ) (t ) dW (t ) 2 (t ) dt Z (t ) 2 (t )dt 2 2 Z (t ) (t ) dW (t )
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Girsanov定理
在概率空间 , F , P ，变量 X N 0,1 ，构造概 率空间 , F , Q ，使得 X N 0,1 。
Z e
1 X 2 2
A F Q A Z dP
A
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当时间的变化趋近于零时，可以得到 Cov dz (ti ), dz (t j ) 0 E dz t 0
Var dz (t ) dt
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广义维纳过程
dx a dt bdz (t ) 其中，dz (t )为标准维纳过程
在通常的微分过程中，我们有 G G DG Dx Dt x t 在随机微分过程中，我们有
G G 1 2G 2 DG D x Dt D x x t 2 x2
两者不同的原因在于 Dx 中含有一项与 Dt 同阶的无穷小。
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15
替代 Dx
假设 dx a (x,t )dt b(x,t )dz 即 Dx =a Dt +b Dt 忽略比Dt更高阶的无穷小项，可以得到
t rds f S (t ), t E e h S (T ) F (t ) T T T rds t rds t rds t d e f e df e rfdt
T
e t e t e t
T
rds
df rfdt
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5
弱式市场有效
• 在弱式市场有效假设下，根据历史价 格设计的股票交易策略不能获得超额 收益。也就是说，技术分析是无效的。 • 服从马尔科夫过程的股价满足弱式有 效市场假设。
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6
举个栗子
• • • • 变量现在的取值是40。 变量服从马尔科夫过程。 变量的变化是平稳的。 在1年之后，变量服从以40为均值、标 准方差为10的正态分布。
G G 1 2G 2 2 DG Dx Dt b Dt 2 x t 2 x
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2Dt项
由于 (0,1) , 所以 E ( ) 0 E ( 2 ) [ E ( )]2 1 E ( 2 ) 1 因此， E ( 2 Dt ) Dt。
其中， 服从标准正态分布。
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伊藤引理
• 如果G是维纳过程x和时间t的函数，即 G =G (x, t ) ，给定x服从的维纳过程, 伊藤引理告诉我们G (x, t )应该满足的 偏微分方程。这个偏微分方程就称为 伊藤公式。 • 由于衍生品的价格依赖于基础资产的 价格，伊藤引理在衍生品定价分析中 有非常重要的应用。
• x 在单位时间内的变化的均值为a。 • x 在单位时间内的变化的方差为 b2。
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11
伊藤引理
• 在伊藤过程中，变量变化的速度和变 化的方差可以是时间的函数，即 dx=a(x,t) dt+b(x,t) dz • 在离散的情况下，随着Dt 趋近于零， 以下公式成立。
Dx a( x, t )Dt b( x, t ) Dt
Z (t ) Z (0) Z (t ) (t )dW (t ) E Z (t ) Z (0) 1
0
t
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Girsanov定理
• 证明dW t dW t dt
dW t dW t dW (t ) (t )dt dW (t ) (t )dt dW (t )dW (t ) dt
G G 1 2G 2 G dG a b dt b dz 2 t 2x x x 这就是伊藤引理
代入： dx a dt b dz 得到：
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伊藤引理的应用
股价的波动服从 d S S dt S d z G 是 S 和 t的函数 G G 1 2G 2 2 G dG S S dt S dz 2 t 2S S S
limvar(
Dt 0
2
Dt ) limDt var( ) 0
2 2 Dt 0
因此， 2 Dt可以用Dt替代
G G 1 2G 2 DG Dx Dt b Dt 2 x t 2x
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取极限
取极限:
G G 1 2G 2 dG dx dt b dt 2 x t 2 x
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费曼定理（Feynman-Kac定理）
• 在风险中性测度下，股票价格服从以下随机过程。
dS rSdt SdW • 给定函数h(S)，定义函数
t f S (t ), t E e
T
rdt
h S (T )
F (t )
随机过程基础知识
伊藤引理、费曼定理与Girsanov定理
阅读材料
1. John Hull，期权、期货和其他衍生品（第 8版）第13章 2. Steven E. Shreve, Stochastic Calculas for Finance ‖: Continuous-Time Models.
湖南大学金融与统计学院 陈勇
• 则 f S , t 满足以下PDE。
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
• 边界条件：f S (T ), T h(S (T ))
湖南大学金融与统计学院 陈勇 20
费曼定理（Feynman-Kac定理）
• 给定函数h(S)，定义函数
湖南大学金融与统计学院 陈勇 22
e t
rds
费曼定理（Feynman-Kac定理）
•
t rds 因此， d e f
T
的漂移项的系数为零，即
f f 1 2 2 2 f rS S rf 0 2 S t 2 S
• 边界条件为
f S (T ), T h(S (T ))
如果在不同时间段内变量变化的均值为零，方差 不变，则称变量是平稳的。
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问题
• 股票价格在2年之后的概率分布是 什么？ • 在½ 年之后呢？ • 在Dt 年之后呢？
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维纳过程
令变量 z 在短时间 Dt 内的变化是 Dz。如果变 量的变化 Dz 服从以零为均值、以 Dt 为方差 的正态分布，且任何两个时点的变化相互独 立，则该过程为标准维纳过程。
0
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t
25Leabharlann Baidu
Girsanov定理
定理：设 t 是任意适应过程，则 W t 在 带滤子空间Q为布朗运动。
W t W t u du
0 t
Z t e 0
t
( t ) dW t
1 2 t dt 0 2
24
Girsanov定理
• 在带滤子的空间 , F , F t , P ，W t ,0 t T 是 布朗运动。 • 构造带滤子空间 , F , F t , Q ，使得 W t 为布朗运动。
W t W t u du
21
T
rds
T
rds
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费曼定理（Feynman-Kac定理）
t rds f S (t ), t E e h S (T ) F (t ) rds e f S (t ), t E h( S (T )) F (t )
f f 1 2 f 2 dS dt ( dS ) rfdt 2 S t 2 S f f 1 2 2 2 f S rf rS 2 S S t 2 f dW dt S S
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标准维纳过程的性质
z t nDt z t 0 1. E 2. Cov z (ti Dt ) z(t i ), z (t j Dt ) z(t j ) 0 3. Var z (t nDt ) z(t) n Var z (t Dt ) z(t)
s A F ( s ) 1 YZ (t ) F ( s ) dQ A Z s E
A
E YZ (t ) F ( s ) dP E Y E E Y E Y YdQ EQ Y F (s) dQ
湖南大学金融与统计学院 陈勇 13
泰勒级数展开
• G(x, t) 的泰勒展开式为：
G G 2G 2 DG Dx Dt ½ D x x t x 2 2G 2G 2 Dx Dt ½ Dt 2 xt t
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14
忽略比 Dt更高阶的无穷小项
2
均值与方差
• 随机变量的均值为u，方差为1，进行n次独 立的实验，每次实验结果的均值和方差是 什么？ n次实验结果的平均值呢？
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3
随机过程
• 股票、汇率和利率随时间的变化。 • 包含不确定性。
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4
马尔科夫过程
• 在马尔科夫过程中，未来的变量变动只 依赖于变量现在的取值，而不是变量怎 么达到现在的取值。 • 通常假设股票价格服从马尔科夫过程。 • 特定地点的气温服从马尔科夫过程吗？
湖南大学金融与统计学院 陈勇
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Girsanov定理
• 为了证明 W t 是鞅过程，先要证明两个 个定理。
湖南大学金融与统计学院 陈勇
30
Girsanov定理
• 定理1：0 s t T , Y F(t) ，则以下 1 Q E Y F ( s ) 公式成立 Z E YZ (t ) F ( s)