等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)
专题13 等腰三角形常见辅助线的作法(原卷版)
专题13 等腰三角形常见辅助线的作法（原卷版）类型一作底边中线（连接顶角顶点与底边中点）1．（2023秋•万州区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形，②四边形CDFE保持面积不变，③DF的长度处于最小值时，CD的长为4；④S△CDE＝S△DEF；其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②C．①②④D．①②③2．（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．3．（2020秋•新华区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF．4．（2018秋•邻水县校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC 于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．类型二作底边上的高5．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA ＝CD，BD＝6，则AD＝（）A．1B．2C．3D．46．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=12∠BAC．7．如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE，求证：DE⊥BC．8．（2019秋•河池期末）如图，在△ABC中，点D、点E在BC边上，且AB＝AC，AD＝AE．求证：DB＝CE．9．（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．10．（2023春•市中区期末）小明遇到这样一个问题如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD．11．（2021秋•南通期中）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF ＝b，则AC的长为（）A．a+b B．2b C．1.5b D．b12．（2023•滕州市模拟）综合与实践小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：；（填入你选择的选项字母）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA（2）AD的取值范围是．小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．13．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．14．（2021秋•龙亭区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E 为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD．类型五角平分线+平行线构造等腰三角形15．（2022春•驿城区校级期中）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．16．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．17．（2022秋•淮滨县期末）已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．类型六角平分线+垂直构造等腰三角形18．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF。
等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)汇总
等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）1.如图：已知，点D、E在三角形ABCの边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上の高与底边上の中线互相重合）。
∴BD=CE.2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DEの位置关系，并说明理由解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．解法2：过A点作△ABC底边上の高，再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE の延长线与BC相交于F。
求证：DF⊥BC.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC;若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
八年级下册等腰三角形添辅助线的综合专题(含答案)
提升题：等腰三角形常见的七种添加辅助线技巧类型一：已知底边的中点，常作底边的中线例题1 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：(1)ED ＝DF ；分析：D 是底边的中点，直接连接AD ，根据三线合一以及△BED ≌△AFD 即可证明。
证明：如图，连接AD ，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∴AD ＝BD.在△BED 与△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AF ，∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∴△BED ≌△AFD (SAS)，∴ED ＝DF . (2) ED ⊥DF.证明：∵△BED ≌△AFD ，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴∠BDE ＋∠EDA ＝∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠EDF ＝90°，∴ED ⊥DF.类型二：等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高例题2 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.证明：如图，作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.类型三等腰三角形中证与腰有关联的线段时，常作腰的平行线（或垂线）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.求证：PD＝QD.证明：如图，过点P作PF△AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.△PF//AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又△AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB. ∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.类型四：等腰三角形中证与底有关联的线段时，常作底的平行线。
等腰三角形中常见辅助线(中考)
等腰三角形中常见辅助线一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且AE＝BE.求证：CE⊥AC.证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°，∴CE⊥AC1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证DE＝DF.练习：证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.三、作平行线构造等腰三角形如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.练习如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与边BC相交于点D .(1)求证PD＝QD.证明：如图，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ .∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠CQD .又∵AB ＝AC ，(1)求证PD ＝QD.∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝PF ，∴PF ＝CQ .在△PFD 和△QCD 中，∴△PFD ≌△QCD (AAS)．∴PD ＝QD .DPF DQC PDF QDC PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，在P，Q移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．解：ED的长度保持不变.理由如下：由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=DC,∴ED=EF+FD=BE+DC= BC∴ED为定值四、用截长补短法构造等腰三角形如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°.求证BD ＋DC ＝AB.练习：证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.五、作垂直构造K字型全等如图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求△ABC的面积．六、常将等腰三角形转化为等边三角形如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P为形内一点，若∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。
最新修订人教版八年级下册数学解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.二、构造等腰三角形3．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．64．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.7．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A ＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．B4．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .5．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .6．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .7．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴BD=CE.2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．解法2：过A点作△ABC底边上的高，再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。
求证：DF⊥BC.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC;若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
(完整)等腰三角形时常用的辅助线作法
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，求证:DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC中,AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC,F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF,连结DE求证:EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---—--等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,∠BAC = 80o，P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数。
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图，AB = AC,BD⊥AC于D，求证:∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1 = ∠2 = 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC(方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）(方法三）取BC中点E，连结AE(过程略)⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF21EDC BA证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC 中，AB = AC,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC证明:延长BE 到N ，使AN = AB ，连结CN ，则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANCF E DCBAN FE CBA∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一)过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB,∠NDE = ∠E ，∵AB = AC, ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M ，则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线21NFED C BA21MFED CBA例:已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N,(过程略） （证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形————--等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 80o ，P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oN M FE D CBA PECBAAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12（180o－∠EAC）= 80o∵∠ACB= 12（180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12（180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
专题 等腰三角形中常用的辅助线作法(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》专题等腰三角形中常用的辅助线作法解题技巧提炼当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD．【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB．【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=12BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝∠B．【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数；（2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠ACB．【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝5，求ED的长．【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD．（1）求证：BE＝CE；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AE平分∠DAB．【例题2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 交AB 于点E ，交BC 与点D ．交AC 的延长线于点F ，且BE ＝CF ．求证：DE ＝DF ．【变式2-1】如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 延长线上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝AD ，求证：DB ＝DE．【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G．（1）试说明EG＝FG；（2）试说明AB+AC＞2EG．【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式2-7】如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．（1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG；（3）求AB AC CG的值．【例题3】如图，△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：AB ＝AD +BC ．【变式3-1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E 为BC 上一点，BE ＝DE ．求证：BC ＝CD +AD．解题技巧提炼对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=12（AB+AC）．【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【变式3-4】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【变式3-5】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【变式4-2】如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE ＝AC ．若∠C ＝70°，∠DAC ＝50°，求∠EBD的度数．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形.【变式4-3】（2022秋•文峰区月考）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD ＝∠BDA，求证：AC＝2AE．【变式4-4】阅读并完成以下填空：如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD．连接EC，则AE＝2AD．∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．在△ABD和△CED中，BD＝CD， ， ．∴△ABD≌△CED．∴AB＝EC．在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE．而AB＝EC，AE＝2AD，∴AB+AC＞2AD．这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：问题1：如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF 交AC于点E．求证AE＝EF．【变式4-5】（2023春•汉寿县期中）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC．【变式5-1】在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB+BD．求证：∠B＝2∠C．【变式5-2】如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长．【变式5-3】（2022•南京模拟）小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．。
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 (11)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点，作90DME ∠=︒，使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ，CB 于点D ，E ．(1)如图1，当点D 在线段AC 上时，线段MD 与线段ME 的数量关系是___________；(2)如图2，当点D 在线段AC 的延长线上时，用等式表示线段CD ，CE 和BC 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)MD ME =；(2)CE CD BC =+，理由见解析．【分析】（1）连接CM ，由等腰直角三角形的性质可得CM MB =，ACM B ∠=∠，根据90DME ∠=︒可推导CMD BME ∠=∠，进而证明CMD BME △≌△，即可得到线段MD 与线段ME 的数量关系；（2）连接CM ，利用（1）中的证明思路，再次证明CMD BME △≌△，证得CD BE =，即可利用等量代换得到CE CD BC =+．【详解】（1）解：连接CM ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，点M 是AB 的中点∴CM AM MB ==，且CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45A B ∠=∠=︒∴45ACM BCM B ∠=∠=︒=∠，90CMB ∠=︒，又∵90DME ∠=︒∴CMB CME DME CME∠-∠=∠-∠∴CMD BME∠=∠∴CMD BME △≌△（ASA ）∴MD ME =．（2）CE CD BC =+，理由如下：连接CM ，由（1）可知：CM BM =，45ACM ABC ∠=∠=︒，CMD BME∠=∠∴135DCM EBM ∠=∠=︒在CMD △和BME 中，CMD BME CM BM DCM EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CMD BME △≌△（ASA ）∴CD BE=∵CE BC BE=+∴CE CD BC =+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是边BC 的中点．(1)如图，若点E ，F 分别在边AB ，AC 上，DE DF ⊥，求证：BE AF =，并说明理由；(2)在（1）的条件下，AB AC a ==，求AE AF +的值．【答案】(1)证明见解析；(2)a ．【分析】（1）连接AD ，证明()BDE ADF ASA ≌即可得到BE AF =；（2）由（1）可得：BE AF =，进一步得到：AE BE AE AF AB a +=+==．【详解】（1）证明：连接AD ，∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，∵点D 是边BC 的中点，∴45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD BD =，∵DE DF ⊥，∴90EDA ADF Ð+Ð=°，∵90BDE EDA ∠+∠=︒，∴ADF BDE ∠=∠，在BDE △和ADF △中，BDE ADF BD AD B DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．（2）解：由（1）可知：()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =，∵AB AC a ==，∴AE AF AE BE AB a +=+==．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．2．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边,AC BC 上，连接,PD PE ，若PD PE ⊥．(1)求证：PD PE =；(2)若点D ，E 分别在边,AC CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，PBE △是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出PEB ∠的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时PEB ∠的度数为22.5︒或67.5︒或90︒或45︒【分析】（1）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45DCP B ∠=︒=∠，从而得到CP BP =，再由PD PE ⊥，可得DPC EPB ∠=∠，可证得DPC EPB △△≌，即可求证；（2）连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得45ECP ABC A ACP ∠=︒=∠=∠=∠，从而得到CP AP =，再由∵,PD PE CP AB ⊥⊥，可得APD CPE ∠=∠，可证得APD CPE △≌△，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接PC ，∵90,ACB AC BC ∠=︒=，∴45A B ∠=∠=︒，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP AB ⊥，∴45DCP B ∠=︒=∠，∴CP BP =，∵PD PE ⊥，∴90DPC CPE CPE EPB ∠+∠=∠+∠=︒，∴DPC EPB ∠=∠，在DPC △和EPB △中，DCP B PC PB DPC EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DPC EPB △△≌，∴PD PE =；（2）解：PD PE =仍成立，理由如下：连接CP ，∵90,C AC BC ∠=︒=，∴45A ABC ∠=∠=︒，②当BE BP =，点E ③当EP EB =时，则∴180PEB B ∠=︒-∠-④当EP PB =，点∴PEB B ∠=∠=综上所述，PBE △【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在ABC 中，E(1)如图1，若点(2)如图2，BF 为腰(3)如图3，当点【答案】(1)见解析(2)PD PE BF +=，理由见解析(3)143【分析】（1）根据ABP S S =△APC ，即可得证；∵AB AC =，点P ∴ABP S S =△△APC即1122AB DP AC ⋅=∴PD PE =，∵AB AC =，PD ∴=ABP APC ABCS S S + ∴1122AB DP AC ⋅+∴PD PE BF +=，∵AB AC =，PD AB ⊥∴=ABC ABP APCS S S - ∴11=22AC BF AB PD ⋅⋅(1)若90EOF ∠=︒，两边分别交,AC BC 于E ，F 两点．==同理可证：AO CO BO∵AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，∴0,90,45AO CO B AOC FOH BAC BCO ︒︒==∠=∠=∠=∠=，∴.,135COF AOH OCF OAH ︒∠=∠∠=∠=，∴(ASA)COF AOH ≌，∴3,CF AH OF OH ===，∵45,90EOF FOH ︒︒∠=∠=，∴45EOF EOH ︒∠=∠=，又∵,OF OH EO EO ==，∴(SAS)EOF EOH ≌，∴5EF EH ==，∴.2AE EH AH =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．(1)求证：BD ＝CE ；(2)若AD ＝BD ＝DE ＝CE ，求∠BAE 的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF ⊥BC 于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF =CF ，DF =EF ，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ．【变式训练】(1)若20∠=︒EAC ，求CBE ∠(2)求证：AE EC ⊥；(3)若BE a =，AE b =，CE =【答案】(1)20°(2)见解析(3)21122a bc +∴AFB ABC CGB ∠=∠=∠又∵AD AB CB ==，∴45BAC ACB ∠=∠=︒，∵FAB FBA FBA ∠+∠=∠∴FAB CBG CAE ∠=∠=∠∴在BAF △和CBG 中，(1)如图1，若ACD ∠与BAC ∠互余，则DCB ∠=__________(）如图，过A点作AE BC⊥于E点，）②如图，作BG AC ⊥于G ，作DN 垂直于AC 的延长线于N ．则90BGA DNC ∠=∠=︒．∵AB AC =，AC CD =，∴AB CD =，∵ABC 与ACD 的面积相等，∴BG DN =．∴ABG ≌CDN △．∴BAG DCN ∠=∠．180ACD DCN ∠+∠=︒，∴180ACD BAC ∠+∠=︒，综上，ACD ∠与BAC ∠相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC ≌△△【答案】[问题情境]ASA ，全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；[问题探究]延长BE 交CA 延长线于F ，证明CEF ∆≌CEB ASA ∆（），推出FE =ACD ∆≌ABF ASA ∆（），可得结论；[拓展延伸]结论：12BE DF =．过点D 作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，与AE 相交于H ，证明方法类似．CD 平分ACB ∠，FCE BCE ∴∠=∠，在CEF ∆和CEB ∆中，90FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，CEF ∴∆≌CEB ASA ∆（），DG AC ，GDB C BHD ∴∠=∠∠，12EDB C ∠=∠ ，12EDB EDC ∴∠=∠=∠BE ED ⊥ ，90BED ∴∠=︒，。
八年级数学下册2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 (2)(附答案)
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE ＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA ＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3．证明：过点E 作EF⊥AC 于点F.∵EA＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC.∵AC＝2AB ，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE ，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE ＝∠CBE.又∵BE＝BE ，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC ＝12MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠E DC ，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC ，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC ，∴BD＝2CE.6．证明：连接CD.∵AC＝BC ，∠C＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD ，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC ，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE ，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝12.。
第一章第07讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)(解析版)
第07讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =．求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△，进而可得结论．【详解】证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，EAD FAD ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，DE DF ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．（2023上·宁夏吴忠于点E ，DF AC ⊥于点(1)求证：DE DF =；(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）连接AD （2）根据已知条件证明【详解】（1）证明：连接∵AB AC =，D 为BC 边的中点，∴AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =，=；(1)DE DF(2)BG CH=．【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．4．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解：如图，作PC PM PN = ，PC OB ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，90PCO ∠=162OC OP ∴==，5OM = ，65CM OC OM ∴=-=-1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形ABCD 中，1013125AB BC CD AD ====，，，，AD CD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ，过点的性质得出AE BE =得出结论．∵AD CD ⊥，∴90D Ð=°．在Rt ACD △中，AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =，(1)如图1，若ADC △是直角三角形，①当AD BC ⊥时，求AD 的长；②当AD AC ⊥时，求CD 的长．(2)如图2，点E 在AB 上（不与点A ，B 重合），且ADE ∠=∵10AB AC ==，16BC =，∴182CD BD BC ===，Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =，8CH =，在Rt AHD △中，2AD AH =在Rt ADC 中，22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为；(2)如图1，若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒t值，使得APC△为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把APB△沿着直线AP翻折，点B的对应点为点F，PF交边AC于点E，当的长度．∵AB AC =，AD BC ⊥，∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理，得()22221332AD AB BD =-=-=，∴BC 边上的高的长度为2．则2BP t =，62AP CP t ==-，由(1)知∶3BD =，2AD =，∴23DP t =-，由勾股定理，得()()22262223t t -=+-，由（1）知，2AD =，3BD =，由折叠知：F B ∠=∠，13AF AB ==，又∵90AGF ADB ∠=∠=︒，∴()AAS AGF ADB ≌，∴3GF BD ==，2AG AD ==，(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．①猜想y 与x 的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，CA CE =，请直接写出DAE ∠的度数．【答案】(1)见解析（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠，在FAE 和DAE 中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FAE DAE ≌，∴FE DE=，∴BE FE BF CD DE =+=+．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：（1）将图1沿着过点B 的直线l 折叠，得到图2，DAC ∠的度数．（2）如图3，90A D ∠=∠=︒，BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析；（1）60︒；（2）102；（3）至少需要围挡40米．【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证ABP ACP ≌（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题．（2）延长BA 和CD 相交于点F ，利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题．90BAC ∠=︒ ，225BC AC AB ∴=+=，BD Q 平分ABC ∠，BD CF ⊥，5BF BC ∴==，541AF ∴=-=，OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠，OM OA ⊥，ON OB ⊥，由“情境建模”的结论得：AOM AOD △△≌，BON BOE △△≌，OM OD ∴=，ON OE =，在MON △和DOE 中，OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌，MN DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，50AC =米，120BC =米，130AB ∴=米设AM x =，BN y =，则50CM x =-，120CN y =-，AOM AOD ≌，BON BOE △△≌，AD AM x ∴==，BE BN y ==，130DE AD BE AB x y =+-=+-，130MN DE x y ∴==+-，()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=，CMN ∴ 的周长40=答：至少需要围挡40米．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
(完整版)初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
初中数学等腰直角三角形添加辅助线三垂直构建K字型全等专项练习题1(附答案详解)
（1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C点的坐标．（用m表示）
（2）当m=0时，如图2，P为OA上一点，过点P作PM⊥PC，PM=PC，连MC交OD于点N，求AM+2DN的值；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，E、F分别为CD、CO上的点，作EG∥x轴交AO于G，作FH∥y轴交AD于H，K是EG与FH的交点．若S四边形KFCE=2S四边形AGKH，试确定∠EAF的大小，并证明你的结论．
3．如图，已知抛物线 经过 ， ， 三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段 于点E，若 ．
①求直线 的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线 上的动点，若 是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
(2)如图②，以 为底边在 左侧作等腰 ，连接 ，求 的度数．
(3)如图③， 中， ,垂足为点 ，以 为边在 左侧作等边 ,连接 交 于 ， , ,求 的长．
13．直角三角形 中， ，直线 过点 ．
（1）当 时，如图①，分别过点 、 作 于点 ， 于点 ．求证： ．
（2）当 ， 时，如图②，点 与点 关于直线 对称，连接 、 ，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 边向终点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿 向终点 运动，点 、 到达相应的终点时停止运动，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设运动时间为 秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
八年级数学 构造等腰三角形解题的辅助线常用做法(含答案)
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
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等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）
1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE
又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
∴BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由
解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2：
过A点作△ABC底边上的高，
再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE
3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．
4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。
求证：DF⊥BC.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，
∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，
∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC;
若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。
5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD.
证明：连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM≌RT△ADM (HL)
∴CM=DM
6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD 在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD中∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC
∴BF=AC
7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC
证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE 平分∠BAC
8. 已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证：BD=CE
证明：过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=GE（对应边相等）
9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点， BE⊥CB 交CD 于E,AC⊥DC, 求证：BE=1/2BC
证明：过点A作AF⊥BC交BC于点F
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…（1）∴AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……（2）∵BE⊥BC，∴BE//AF ∴∠DBE=∠BAF………………………………（3）∵∠CBE=90°∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………（4）由（1）和（4）知道：∠DBE=∠ECB………………（5）由（3）和（5）知道：∠BAF=∠ECB 又∵AB=CE，∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边）∴BF=EB…………………………（6）由（2）和（6）知道：BE=BC/2
10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交 BA延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)
证明：（1）延长EM，使EM=MG，连接CG
∵点M是BC的中点 ,∴BM=CM ∵∠BME=∠CMG ∴△BME≌△CMG（SAS) ∴BE=CG,∠E=∠G
∵AD平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE ∴∠E=∠AFE，∴AE=AF ∵∠AFE=∠CFG ，∴∠G=∠CFG ∴CF=CG ，∴BE=CG，∴BE=CF
(2)∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF
∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) ∵AC=AF+CF ∴2BE=AB+AC ∴BE=CF=1/2(AB+AC)
11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C. 试说明AB+BD=CD的理由。
证明：在DC上截取DE=BD，连接AE ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD ∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS) ∴AB=AE ，∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC ∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C
∴AE=CE ，∴AB=CE ∵CD=CE+DE ，∴AB+BD=CD
12.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：∠B=2∠C.
证明：在AC上作AE＝AB，连结DE ∵AC=AB+BD＝AE+CE ,∴BD＝CE ∵AD是角平分线 ,∴∠BAD＝∠EAD 又∵AB=AE，AD=AD ∴△ABD≌△EAD ∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE
∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C
即:∠B＝2∠C
13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C. 求证：AC=AB+BD.
证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DE
∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义）∵公共边AD=AD AC=AE ∠BAD=∠DAC ∴△ACD≌△AED (SAS) ∴∠ACB=∠DEA （全等三角形形的对角相等）
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA ∠CBA=2∠ACB ∠ACB=∠DEA ∴∠BDE=∠DEA ∴BD=BE（等角对等边）
∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
∴AB+BD=AC
14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB, △ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。
求∠BDE的度数解：连接CE，∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边，∴△BCE≌△ACE，∴∠BCE=∠ACE=30° 又∵BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°
15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且 EB=BD=DE. 求证：BD+DC=AD. A
提示：证明△ABE≌△BCD即可 E B C
16.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE
证明1：作DF∥BC交AB于F,则:
∵∠AFD=∠B=∠ACD, AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△ACD,AF=AC 连接TF ∵AF=AC, AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边∴△ACT≌△AFT, TF⊥AF,TF∥CM ∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF ∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE
证明2：作TF⊥AB于F,则: ∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD ∴∠CDT =∠CTD , ∴CT=CD ∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB，AC⊥TC ∴CT=TF=CD ∵DE∥BF,TF∥CD, ∴∠DEC=∠B, ∠DCE=∠FTB 又∵TF=CD ∴△CDE≌△TFB, ∴CE=BT ∴CE-TE=BT-TE,CT=BE。