手拉手模型——全等三角形常见模型介绍一PPT课件
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【北师大版】八年级数学专题手拉手几何模型 课件
巩固训练
1.如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，点C是它们的公共顶点 求证：AE=BD
2.已知：如图△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°． 求证：（1）BD=CE．（2）BD⊥CE
巩固训练
3.如图，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE与CD 求证： （1）△ABE≌△DBC （2）AE=DC （3）AE与DC的夹角为60° （4）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC
过点b分别往hahc作垂线运用等积法得出两垂线段相等hl判定三角形全等解决4初三时亦可用behc四点共圆证明此结论二发散思维二发散思维例2
初二数学手拉手几何模型
学习目标
1.了解手拉手模型的基本概念 2.掌握手拉手模型的全等与相关结论 3.运用手拉手模型解决实际问题 学习重点： 熟练的找出手拉手模型中的全等三角形及其 相关结论 学习难点： 利用手拉手模型的结论解决问题
（二）发散思维
例2：如图，△ADC和△EDG是等腰直角三角形，连接AG，CE，交 点为H。 （1）证明：△ADG≌△CDE; （2）证明：AG=CE （3）求AG与CE之间的夹角为多少度。 （4）HD是否平分∠AHE？
分析：
等腰直角三角形，两腰相等，两底角相等为45°，其余同例
（三）举一反三
例3：如图，△ADB和△BCE是等腰三角形，其中 AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α，连接AE与CD，交点为H。 （1）证明：△ABE≌△DBC （2）证明：AE=CD （3）求AE与CD之间的夹角为多少度。 （4）HB是否平分∠AHC?
复习引入
如图，△ABC和△ADE为等腰三角形，其中，∠BAC=∠DAE=α。从中 你能得到哪些结论?
我们重点研究△ABD和△ACE，这两个三 角形是否全等？有哪些边和角对应相等 ？还有什么共同特征？旋转α得到
初中数学课件全等三角形-手拉手模型
∠ = 90°．
（1）求证： = ；
（2）求证：和垂直。
确认预判Ⅲ
• 如图，分别以△ 的边，向外作等边三角形和等边三角形，
线段与相交于点，连接．
（1）求证： = ；
（2）求∠的度数；
（3）求证：平分∠．
课程目标
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠ = 60°
∵∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴ △ ≌ △
∠ + ∠ + ∠ = 180°
(2). ∵△ ≌ △
∴ ∠ = ∠ = 60°，
，
例题讲解
•
如图，已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°，
点为边上一点．
（1）求证：△ ≅△ ；
（2）求证：△ 是直角三角形；
例题解析
（1） 证明： ∵△ 和 △ 都是等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45°， = ， = ，
、分别是线段、的中点．
（1）求证：＝；
（2）求∠的度数；
应用练习
• 如图，点是线段上一点，且 < ．如图，当△ 和△ 都是等
边三角形时，连接，，分别交、于点、．
(1)求证： = ；
(2)判断△ 是何特殊三角形并说明理由；
∴ =
即与的夹角为60°
解题方法
应用练习
如图，点、、在同一条直线上，△ 与△ 都是等边三角形，则下
列结论不一定成立的是（
A. △ ≅△
B. △ ≅△
C. △ ≅△
D. △ ≅△
）
应用练习
• 已知：如图，△ 、 △ 都是等边三角形，、相交于点，点
手拉手模型(修正1)ppt课件
精品ppt
F
4
A
B
C
D
E
F
（简写成“角角边”或“AAS”）
精品ppt
5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
精品ppt
6
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
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7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
精品ppt
12
课堂小结
这节课你收获了什么？
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13
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10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
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11
当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
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8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手
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9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
主讲老师邓颖全等三角形关于手拉手模型的那点事hlhlhl例1
F
4
A
B
C
D
E
F
（简写成“角角边”或“AAS”）
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5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
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6
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
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7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
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12
课堂小结
这节课你收获了什么？
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13
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10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
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当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
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8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手
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9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
主讲老师邓颖全等三角形关于手拉手模型的那点事hlhlhl例1
1.手拉手模型-课件PPT
∴∠BAD=∠CAE
∵
AB AD
=
AC AE
∴
AB AC
=
AD AE
∴△ABD ∽ △ACE(SAS) （两个三角形：不等腰，相似）
图片来源：几何数学公众号
二、结论1
结论
1. ∠BAC=∠DAE
2.
AB AD
=
AC AE
△ABC ∽ △ADE (两个三角形：不等腰，相似)
给妹妹讲初中数学
已知条件
1. ∵ ∠BAC=∠DAE ∠BAC=∠BAD±∠DAC ∠DAE=∠CAE±∠DAC
③两个三角形面积相等 ④底边是中线的2倍
三、转化
这么多结论，听懂了，也记住了，是不是可以去做题了？ NO！NO！NO！
给妹妹讲初中数学
遇到不会的几何大题怎么办？ 万物皆可手拉手！（开玩笑的）
三、转化
给妹妹讲初中数学
三角形为特殊三角形，会得出更多结论！ 【等腰三角形】
已知条件
更多结论
△ABC与△ADE是两个等腰三角 形
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
【头对脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
给妹妹讲初中数学
三、转化
【脚拉脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
三、转化
①双等腰
脚拉脚模型-特点
②共底角
给妹妹讲初中数学
③顶互补
如果不具备这三个条件，不叫脚拉脚！！！
∵
AB AD
=
AC AE
∴
AB AC
=
AD AE
∴△ABD ∽ △ACE(SAS) （两个三角形：不等腰，相似）
图片来源：几何数学公众号
二、结论1
结论
1. ∠BAC=∠DAE
2.
AB AD
=
AC AE
△ABC ∽ △ADE (两个三角形：不等腰，相似)
给妹妹讲初中数学
已知条件
1. ∵ ∠BAC=∠DAE ∠BAC=∠BAD±∠DAC ∠DAE=∠CAE±∠DAC
③两个三角形面积相等 ④底边是中线的2倍
三、转化
这么多结论，听懂了，也记住了，是不是可以去做题了？ NO！NO！NO！
给妹妹讲初中数学
遇到不会的几何大题怎么办？ 万物皆可手拉手！（开玩笑的）
三、转化
给妹妹讲初中数学
三角形为特殊三角形，会得出更多结论！ 【等腰三角形】
已知条件
更多结论
△ABC与△ADE是两个等腰三角 形
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
【头对脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
给妹妹讲初中数学
三、转化
【脚拉脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
三、转化
①双等腰
脚拉脚模型-特点
②共底角
给妹妹讲初中数学
③顶互补
如果不具备这三个条件，不叫脚拉脚！！！
微专题五 手拉手模型PPT课件
∠CAB＝45°.
（2）同（1）易得→△ADB∽△AEC→ ＝
2，∠BFC＝∠CAB＝45°.
19
（3）当CE⊥AD时，分
如图4 − 1
= =
两种情况讨论—
→
= 10
如图4 − 2
2
2
= 1,
→OC＝3 →
= + → = 2
= − → = 2
（1）①∠ACE的度数是
60° ；
②线段AC，CD，CE之间的数量关系
是 AC＝CD＋CE
.
23
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重
合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.请写出∠ACE的度数及线段AD，
BD，CD之间的数量关系，并说明理由.
∴BE最大＝AB＋AE＝4＋2 .
33
31
解：（2）
的大小没有变化.证明如下：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴
＝
，∠CAB＝45°.
同理 ＝
，∠DAE＝45°，
∴ ＝ ＝
，∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∵∠AOB＝∠FOC，
21
∴∠CFO＝∠BAO＝45°，即 ＝
，∠BFC＝45°.
图3
（3）线段BD的长为4 或2 .
22
▶类型1：手拉手全等模型
人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题五模型拓展——特殊三角形中的“手拉手”模型教学课件
第十三章 轴对称
专题五 模型拓展—— 特殊三角形中的“手拉手”模型
目录
01 模型解读 02 针对训练
模型解读
类型一：等边三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC和△ADE都是等边三角形. 结论：①△ABD≌△ACE； ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为60°.
针对训练 1.（教材改编）如图Z13-5-1，△ABC，△CDE均为等 边三角形，连接BD，AE交于点O.求证：AE＝BD.
∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA. ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°， 即∠DBC+∠ECB＝90°. ∴∠BPC＝180°-（∠DBC+∠ECB）＝90°. ∴BD⊥CE. 综上所述，BD＝CE且BD⊥CE.
模型解读
类型二：等腰直角三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为90°.
针对训练 2.（教材改编）如图Z13-5-2，两个等腰直角三角形 △ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝ 90°，连接BD，CE交于点P，试判断BD和CE的数量关系 和位置关系，并说明理由.
专题五 模型拓展—— 特殊三角形中的“手拉手”模型
目录
01 模型解读 02 针对训练
模型解读
类型一：等边三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC和△ADE都是等边三角形. 结论：①△ABD≌△ACE； ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为60°.
针对训练 1.（教材改编）如图Z13-5-1，△ABC，△CDE均为等 边三角形，连接BD，AE交于点O.求证：AE＝BD.
∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA. ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°， 即∠DBC+∠ECB＝90°. ∴∠BPC＝180°-（∠DBC+∠ECB）＝90°. ∴BD⊥CE. 综上所述，BD＝CE且BD⊥CE.
模型解读
类型二：等腰直角三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为90°.
针对训练 2.（教材改编）如图Z13-5-2，两个等腰直角三角形 △ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝ 90°，连接BD，CE交于点P，试判断BD和CE的数量关系 和位置关系，并说明理由.
手拉手模型(课堂PPT)
6
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
全等三角形
关于“手拉手模型”的那点事
主讲老师 —— 邓颖
1
全等判定的复习
A
B
C
D
E
F
(简写成“边边边”或“SSS”）
2
A
B
C
D
E
F
(简写成“边角边”或“SAS”）
3
A
B
C
D
E
F
(简写成“角边角”或“ASA”）
4
A
B
C
D
E
Fห้องสมุดไป่ตู้
（简写成“角角边”或“AAS”）
5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手 9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
11
当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
全等三角形
关于“手拉手模型”的那点事
主讲老师 —— 邓颖
1
全等判定的复习
A
B
C
D
E
F
(简写成“边边边”或“SSS”）
2
A
B
C
D
E
F
(简写成“边角边”或“SAS”）
3
A
B
C
D
E
F
(简写成“角边角”或“ASA”）
4
A
B
C
D
E
Fห้องสมุดไป่ตู้
（简写成“角角边”或“AAS”）
5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手 9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
11
当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
手拉手模型
之手拉手模型
E A
F
G
B
C
D
精选ppt
1
手拉手模型—全等三角形
A
A
旋转
D
E
D
B
“A”型CBFra bibliotek相似（1）E
△ADB≌ △ACE
模型1
C
顶角相等且顶 点重合两个等 腰三角形
手拉手模型----全等
口诀：“两等腰”共顶点； “大腰”“小腰”连一连； 出现全等就好办
精选ppt
全等三角形
2
例1.如图,△ABC、△CDE均为等腰三角形，且 ∠ACB=∠ECD , 连接AD、BE，求证:AD=BE.
M H
G AC
B 10
A
谢 谢！
E
Cα α
D M
B
B D
M
αα E
A
C
精选ppt
11
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∠NDE=90°；
精选ppt
9
课后作业
1．如图，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，连接 AG、 CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．
2.已知：如图，点C为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN
是等边三角形．CG、CH分别是△ACN、△MCB的高．求证：
CG=CH． N
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证明：∵∠ACB=∠ECD ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠ACD=∠BCE ∵ △ABC、△CDE为等腰三角形
∴ CA=CB，CE=CD ∴ △ACD≌△BCE ∴ AD=BE
精选ppt
3
E A
F
G
B
C
D
精选ppt
1
手拉手模型—全等三角形
A
A
旋转
D
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D
B
“A”型CBFra bibliotek相似（1）E
△ADB≌ △ACE
模型1
C
顶角相等且顶 点重合两个等 腰三角形
手拉手模型----全等
口诀：“两等腰”共顶点； “大腰”“小腰”连一连； 出现全等就好办
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全等三角形
2
例1.如图,△ABC、△CDE均为等腰三角形，且 ∠ACB=∠ECD , 连接AD、BE，求证:AD=BE.
M H
G AC
B 10
A
谢 谢！
E
Cα α
D M
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∠NDE=90°；
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9
课后作业
1．如图，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，连接 AG、 CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．
2.已知：如图，点C为线段 AB 上一点，△ACM、△CBN
是等边三角形．CG、CH分别是△ACN、△MCB的高．求证：
CG=CH． N
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证明：∵∠ACB=∠ECD ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠ACD=∠BCE ∵ △ABC、△CDE为等腰三角形
∴ CA=CB，CE=CD ∴ △ACD≌△BCE ∴ AD=BE
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3