复矩阵的Jordan标准形的性质及应用

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用

学生姓名：李英红 指导教师：周芳

（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）

摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找

到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。

关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文

1、 定义 形如1

1i i

i i

i i m m

J λλλ⨯⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝

⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.

2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵1

2

s J J J J ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

称为Jordan 标准形。

定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价

证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1

()E B T E A T λλ--=-,

因而E A E B λλ--与等价.

""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.

定理2 (Jordan 标准形定理)

每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .

证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()

s

k k

k

s λλλλλλ--- (2.1)

令1

1i i

i i

i i m m

J λλλ⨯⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似

推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。

定义3 设A 为一个非零的n 阶幂零矩阵，即存在正整数m ，使得0m A =，但1

0m A -≠，

则m 为A 的幂零指标，则A 的最小多项式为m

λ 性质1 A 为一个幂零矩阵⇔A 的特征值全为零

证明""⇒ 存在可逆矩阵T ，使得112(,,,)s T AT J diag J J J -==

1

,1,2,,1i i

i i

i i n n

J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪

⎪== ⎪ ⎪⎝

⎭ ，

设0m

A =，所以112()(,,,)0m m m m m s T AT J diag J J J -=== 所以0,0,0m i i i J n m λ=∴=≤< 也即A 的特征值全为零

""⇐存在可逆矩阵Q ,使得1

2

1

1(1)

00

0n n n a a Q AQ a --⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

12

1

1

(1)

00

0n n n a a A Q Q a --⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

，也即10,0n n A A -=≠ ， 即A 为一个幂零矩阵

定理3 设n 阶幂零矩阵A 的Jordan

标准形为12

s N N N N ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

，

010,1,2,,(3.0)10i i

i n n N i s ⨯⎛⎫

⎪

⎪== ⎪ ⎪

⎝⎭

幂零指标为m

则（1） max{|1}i m n i s =≤≤

（2）A 的零度等于N 中Jordan 块的个数s

（3） 记N 中k 阶Jordan 块的个数k l ,k

A 的零度为k η，1k n ≤≤，则

112222l s ηηη=-=-，112,2k k k k l k m ηηη-+=--≤≤

证明 （1）由于A 与N 相似,所以00,k k A N k Z +=⇔=∈

因此12

k k k

k s N N N N ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

且10,0,k

k i i N N -=≠所以N 的幂零指标为i m m m ⇔≤

1i s ≤≤且存在i 使i n m =

(2)设A 的零度为1η,则 11

1

()(1)s s

i

i

i i n r N n n s

η===-=

--=∑∑ (3.1)

(3)根据k

A 的零度等于k

N 的零度等于k i N 的零度之和(1,2,,i s = )

使k

i N 的零度=i

i

k k n n k n ≤⎧=⎨

>⎩ (3.2)

由(3.2)我们有

1A η=的零度=N 的零度=

1

1

1

(1s s i

k

i i k N s l

∞

======∑∑∑的零度) (3.3)

2

2

21

(s

i i A N N η===∑2的零度=的零度的零度)

1

:2

:2

2

((2i i i

i

k

i n i n k N N l l

∞

<≥==

+=+∑∑∑2

2

的零度)的零度) (3.4)

1

(s

j

j

j i i A N N η===∑j 的零度=的零度的零度)

::((i i i

i

k

k i n j

i n j

k j

k j

N N kl

j l ∞

<≥<==

+=+∑∑∑∑j

j

的零度)的零度) (3.5)

由(3.3)和(3.4)可以推出(3.1),而(3.2)可由(3.5)推出

例1 求矩阵的Jordan 标准形

308316205A ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪--⎝⎭

解: 先求E A λ-的初等因子

3

08308316316205111E A λλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

-=-+-→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭