正弦稳态分析练习

正弦稳态分析练习

例1：已知：u1?5sin(ωt?30?)V, u2?10sin(ωt?60?)V，求：u?u1?u2?? 解法一：直接三角函数展开，再配成一个三角函数：

u?u1?u2?5sin(ωt?30?)?10sin(ωt?60?)?9.33sinωt?11.16cosωt

?9.33?11.16sin[ωt?arc tg]?14.55sin(ωt?50.1?)V 分析：上述计算过程繁琐，计算结果只是幅值和初相有变化，用相量法更简单。解法二：先写出各正弦量的最大值相量，再相加，据结果写出正弦量。

??10?60? V ??5?30? V，UU1m2m

??U??U??5?30??10?60??14.55?50.1? V Um1m2m

u?14.55sin(?t?50.1?) V

例2：例图(a)所示电路，已知u?2sin(5000试求正弦稳态下i，uR，uL，t?80?)V，

uC的变化规律。

解此题如直接在时域求解,则据KVL及元件的VAR列写电流i的方程。一二阶微分方程求解的过程较烦，用欧姆定律的相量形式即相量法分析较易。求出各组件的阻抗值，将各电压电流表示成相量形式，建立电路的相量模型，如例图2（b）所示。

?CC

(a) (b)

计算电感的感抗：XL??L?5?12?60? 计算电容的容抗：

XC?1??40? ?C??100?80?V 写出电压u对应的相量：U

计算总阻抗：Z?ZR?ZL?ZC?R?jXL?jXC

?15?j60?j40?15?j20?25?53.1 ? ?100?80?U???4?26.9?A 据相量形式的欧姆定律求电路中的电流相量：I?Z25?53.1?

据各元件伏安关系的相量形式求各元件电压相量

?

?RI??15?4?26.9??60?26.9?V UR

1

??jXI?U?116.9?V LL?j60?4?26.9??240

???jXI?U??63.1?V CC??j40?4?26.9??160

写出各相量对应的瞬时值（在时域中随时间变化的规律）

i?42sin(5000t?26.9?)A

uR?602sin(5000t?26.9?)V

uL?2402sin(5000t?116.9?)V uC?2sin(5000t?63.1?)V

讨论

做相量图时：串联电路以电流相量为基础作出电压相量比较方便；并联电路以电压相量为

??U??U??U?（KVL的相量形式）基础作出电流相量比较方便。在此例中可以验证U，RLC

但是它们的有效值U?UR?UL?UC，且UL=240V，UC=160V，都大于电源电压U=100V，而在直流电路就不会如此，这是由于电感上的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故。另外，此例中端口电压相量和电阻、电抗上的电压相量构成的Rt△与阻抗Z的代数形式所对应的“串联模

型”的阻抗Rt

I

?XI；为；UR?RI；UX?UL?UC正弦交流电路时会经常用到。X

R串联模型的阻抗?和电压?的相似

例3:例图(a)所示电路，已知Y1 = (0.16 + j0.12)S，Z2 = 15Ω，Z3 = 3 + j4Ω，电磁式电流表读

Y 数为2A，求电压U =？? ?2 ? (a) (b)

解：解法也较多。一眼看出Z1和Z2并联再和Y1

串联，可是许多同学在求出总阻抗后就不知怎么办了；也有同学知道要求电流，将2A直接代入用分流公式求，答案有可能对，但是概念不清。我们将电路各电压、电流相量标出重画电路的相量模型如例图4(b)所示。

2

?为参考相量，令其为：此题从已知量入手，电磁式电流表读出的是有效值，不妨设I2??2?0?A。I2

解法一：常规思路：

Y

?(b)

??ZI?U222?15?2?0??30?0? V

?2?

?U30?0??I3?2??3.6?j4.8?6??53.13? A

Z33?j4

??I??I??2?0??6??53.23??7.376??40.6? A

I23?7.376??40.6?I?U1???8?j36?36.88?77.47? V

Y10.16?j0.12

??U??U??36.88?77.47??30?0??38?j36?52.35??43.45? V U12

归纳上述解题思路为：

??UI2??????????U??U? I2?U2?Z2I2?I3??I?I2?I3?U1??U12

Z3Y1

?求出后，求出总阻抗后用欧姆定律求出电压，也是五步。在总电流I

解法二：

??15?2?0??30?0? V U2Z23?

Z2?Z315?(3?j4)

??3.09?j2.65 Ω

Z2?Z315?3?j4

Y

?(b)

?2?

分压公式

1

?3.09?j2.65

(Z?Z)0.16?j0.1223??U??1U?30?0??2

Z233.09?j2.65?30?0??(1.27j?1.20)?37.98?j35.97?52.32??43.44?V

解法三电路稍做改动，网孔法列方程：

?1??ZI???(?Z3)I32?U ?Y1

?????Z3I?(Z3?Z2)I2?0

代入数据

?I2

2

(c)

例图3

3

1???(3?j4)?2?0??U?(?3?j4)?I?

?0.16?j0.12

??(3?j4?15)?2?0??0??(3?j4)I?

解得

??5.6?j4.8?7.38??40.60?A I

??38?j36?52.36??43.45?V U

讨论:从上题中可看出参考相量的设定非常重要，除了串并联明显的电路，如果已知某个量

的有效值，可令其为参考相量，初相设为零。如果有多个有效值已知则优先选择电阻元件上的量为参考相量。另外演算过程中用计算器的复数计算功能较快。

例4：例图4（a）所示为测量r和C电路，已测得电压表V3 的读数为193V，电压表V1 的读数为60V，电压表V2 的读数为180V。已知R =20Ω，电源频率f = 50Hz 。求r和C 。解法一：此题仍是一个串联电路，