电路分析基础-正弦稳态分析

求初相位时应先化为cos形式在求
例： f(t)=Fmsin(t+/2 )，其初相位 ≠ /2.而应化 为cos形式，即：
f(t)=Fmsin(t+/2 )= Fmcost,
故初相位=0
例： f(t)=Fmsin(t+/6 )= Fmcos(/2- t/6)
= Fmcos(/3- t)= Fmcos(t -/3) 同一个正故弦初量相，位计时=起-点/3 不同，初相位不同。
+ uS
-
i1
i2
i3
1K 1 1H F
+
1K -j103 j103
-
(a) 时域模型
(b) 相量模型
由KCL的相量形式：
+j
0
+1
绝对相量图
封闭相量图
例：如图正弦稳态电路，已知交流电压表V1读数为60V，
V2读数为80V，求V读数。
i +
V -
R +V1 -
L
+ V2
-
100 80 60
相量图解法
u, i u i
u O j i
从波形图上看相位差 可取变化趋势相同点
t 来看。
若 j <0，则i 超前u相位角 j ，或u 滞后i 相位角j
。
特例：
u, i
u
=0， 同相：
i
O
t
u, i
=± (180o ) ，反相：
u
O
i t
规定： | | (180°)。
= p/2, 正交:
u, i u i
解:（1）相量法求解 假设以电流为参考相量，即设：
（2）相量图解法
7. 5 阻抗与导纳
一、阻抗（impedance） 1. 阻抗定义：
（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。 基本元件的阻抗：
2. RLC串联电路的正弦稳态特性
iR
L
+
+ uL - +
+
u
C uC
-
-
-
R j L
++
-
由KVL：
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)
+
uL
L
(-t)
时域形式：
相量形式：
+
j L
-
相量模型
有效值关系： UL= LI 相位关系：u=i +90° (uL 超前 i 90°)
（相量形式的欧姆定律）
u i
相量图
令XL= L，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L ， 感纳，单位为 S (同电导)
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力；
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最 大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
例：求如图周期信号的有效值。
u1(t)(V) 10
t+u= t+ i+q i=u-q q =tg-1( L/R)
用相量法求：
L
q
R
小结
① 正弦量 时域
正弦波形图
相量 频域 相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
w1
w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
7.3 基本元件的正弦稳态特性及相量模型
一. 电阻 i(t)
+ uR(t) R -
+ R
-
相量模型
时域形式：
相量形式：
有效值关系：UR=RI
相位关系：u=i (u,i同相)
注：(1) uR, i 是同频正弦量
功率：
P=URI O
≧0 （纯耗能）
pR
uR
i
t
u=i
波形图及相量图：
二 . 电感
i(t)
(2)感抗和频率成正比, w 越大，XL越大，对正弦
电流阻碍能力越强。 XL
w 0 直流（XL=0) （短路） w（开路） w
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压.。
写法注意 ：
功率：
波形图： O
能量流入电感 uL pL
i
t
（1）平均功率为0
能量流出电感
（2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）
三、 电容
7. 1 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素
正弦量的表达式： f(t)=Fmcos(w t+)
波形：
f(t)
Fm
T
/ O
t
Fm, , 这3个量一确定，正弦量就完全确定了。
所以，称这3个量为正弦量的三要素：
正弦量的三要素： (1) 振幅 (amplitude) ：反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)w ： 反映正弦量变化快慢。
此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方
向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A
的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
A=|A|ej =|A|
两种表示法的关系： A=a+jb
A=|A|ejq =|A| q
直角坐标表示 极坐标表示
或
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
i
O
t
=0 = =-/2
二. 相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i则) 相位差 j = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i
若j >0，则 u 超前 i 相位角j ，或i 滞后 u 相位角j。
u2(t)(V) A
-2 -1 0 1 2 3 t(s)
(a
解：
)
-1 0 1 2 3 t(s) -
A (b)
(b) U2=A （有效值） 若加在1电阻上，则平均功率：
补充： 复数复习
1. 复数A表示形式：
A=a+jb
Im b
Im
A
b
A
O
a Re
O
a Re
一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，
i(t) R
I R
Q2=I 2RT
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。) 同样，可定义电压有效值：
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos( t+ )
同理，对正弦电压也有：
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
例1. 5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 -2.61
例2.
(3) 旋转因子：
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故
把 ejq 称为旋转因子。 ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
7. 2 正弦信号的相量表示
1. 用旋转相量表示正弦量
Im +j
O
t+ 0
0
Fm Re +1
即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以
角速度绕原点旋转的向量与其对应。
2. 用固定相量表示正弦量
同一正弦电路，各支路响应的频率相同，故只需标
明各量振幅及初相位关系。如：
u1(t)=U1mcos(t+1)
例．
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
y2 y1
Re
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变 换思想，由时域变换到频域：
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为 自变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频 率为自变量分析电路。
i1
i2
i3
同理可证KVL的相量形式
2. 电路的相量模型 (phasor model )（略）
L
iR
jw L
+ iL
iC
+
uS
C
R
-
-
1/jw C R
时域电路
频域电路
时域列解微分方程 求非齐次方程特解
频域列解代数方程
例: 如图(a)电路, us=10cos1000t (V), 求i1, i2, i3及i(t)并作相量图。 i
即相角随时间变化的速度。
相关量：
频率f (frequency) ：每秒重复变化的次数。
周期T (period) ：重复变化一次所需的时 间。
单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1
f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒
f =1/T
市电：f=50Hz, T=1/50=0.02(s), w=2/T= 2f=314rad/s
功率：
，|XC|0 高频短路(旁路作用)
XC
波形图： O
能量流入电容
pC
iC
u
t
能量流出电容
7. 4 基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
1. 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应 的相量形式表示：
简证KCL的相量形式: （略） 由KCL有： i1(t)+ i2(t) + i3(t)=0 故： i1(t)+ i2(t) + i3(t)
3. 相量的复数表示及运算
+j b
(1)固定相量的四种表示方法：
O
a
+1
(2) 旋转相量的复数表示
固定相量 旋转因子 或写成：
（3） 有效值相量
（实轴投影）
例1. 已知
① 试分别写出i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。 ② 求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。 ③ 作i、i1、i2的有效值相量图。 解： 将 i1、i2化为标准cos形式:
O
t
= p/2：u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2；
i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。
三、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量 其大小工程上采用有效值来衡量。
1. 有效值(effective value)定义
定义： 若周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内产生的热 量，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内产生的热量，则称 电流I 为周期性电流 i 的有效值。
第7章 正弦电流电路的稳态分析
重点：
相位差 正弦量的相量表示 复阻抗复导纳 相量图 用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析
i
T
O
周期信号:
f(t)=f(t+nT)
t
n=0,±1, ±2, …
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
正弦信号是周期信号中的一种。
① 振幅相量：
有效值相量： ②
（由相量形式写时域形式）
③ i 的有效值相量: +j
O
+1
i、i1、i2的有效值相量图
例.
注：频率不同的相
量不能画在同一个 相量图上。
4. 相量运算（略） (1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
i1 i2 = i3
这实际上是一种 变换思想
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
Im A2
O
A1 Re
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 则 A1 A2 =| A1 | | A2| 1+ 2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
；
关系：
|Z|—复阻抗的模；z—阻抗角。
R=|Z|cosz 或 X=|Z|sinz
|Z|=U/I ——反映u, i 有效值关系
z =u-i ——反映u, i 相位关
系
|Z| X
z
R 阻抗三角形
阻抗Z与电路性质的关系：
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ z wL > 1/w C ，X>0， z >0，电路为感性，电压领先电流； wL<1/w C ，X<0， z <0，电路为容性，电压落后电流； wL=1/w C ，X=0， z =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
(3) 初相位(initial phase angle) ：反映了正弦量的计时起点。
(w t+ )——相位角
— 初相位角，简称初相位。
令t=0 → f(0)=Fmcos → =2n ±arccos[f(0)/Fm] ， 可能为多值。
一般规定： ① | | 即： - ② 初相位是由f(t)=Fmcos(w t+)确定，若原用sin表示，
相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于频域分析。
(2) 正弦量的微分，积分运算 证明：
5. 相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)
例
i(t) R
+
u(t)
-
一阶常系数
L
线性微分方程
自由分量(齐次方程解)： Ae-R/L t
强制分量(特解)：Imcos(w t+y i)
u2(t)=U2mcos(t+2)
+j
2 1 O
+1
（不变）
故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。
对应一个正弦量的向量称为相量(phasor), 用大写字母 上加一点表示。相量上加一点是为了和普通的复数相区别 (强调它与正弦量的联系) ，因为它表示的不是一般意义的 向量，而是对应了一个正弦量。
iC(t)
+
u(t)
C
-
+ 相量模型
Βιβλιοθήκη Baidu
时域形式：
相量形式：
有效值关系： IC=w CU 相位关系：i=u+90° (i 超前 u 90°)
i u
相量图
令 Xc=1/w C ，称为容抗，单位为 W(欧姆) B c = w C ， 称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比, 0， |XC| 直流开路(隔直)