三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)

心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了.
课外思考: 1.△ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点 F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G，G 必为△ABC 重心. 连 GE，MF，MF 交 DC 于 K. 易证：DG:GK= 1 DC:( 1 1 )DC=2:1.
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
由△A2A3A4
知
sin
A2 H1 A2 A3 H1
=2R
A2H1=2Rcos∠A3A2A4；
由△A1A3A4 得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故 A2H1=A1H2.
易证 故得
AH21HH12∥∥= AA12AA21，.设于H是1，A1A与2HH1∥=2AA21的H2交，点为
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等.
7答案
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1， 求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ， 连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心， 故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P， 故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。 说明： 由本题结论，可得垂心的另一个性质： 若 H 是△ABC 的垂心，则⊙ABH=⊙BCH=⊙CAH=⊙ABC.
8
思考练习 8.设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形，H1，H2，H3，H4 依次为 △A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3 的垂心.求证：H1，H2，
H3，H4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992 年全国高中联赛) 分析:连接 A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为 R.
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。
故 O是 ABC 的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。
O是 ABC的外心 OA OB OC
OA2 OB2 OC2
(OA OB) AB (OB OC) BC (OC OA) CA
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC

SCGA

SAGB

1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
=
1 2
∠PO1S=∠A.
同理有∠O1O2O3=∠
B.故△O1O2O3∽△ABC.
内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆
圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质：
(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、C、
3 23
∴ DG:GK=DE:EF GE∥ MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB,∴OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG 丄 DEG 又是△ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.
答案
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，
令AB a, AC b, AH h,
则BH h a,CH h b, BC b a,
A
E FH
BH AC,CH AB
BD
C

(h

a)

b

0
分析：在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例 8 的一种
特例，但它增加了条件 AB=AC.当 AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q,BC 中点 K 都在∠BAC 平分线上.
易知 AQ= r .∵QK·AQ=MQ·QN， sin
∴QK=
MQ QN AQ
=
从而又知
∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3 绕着 O3 点旋转到△KSO3,
易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
∴ ∠ O2O1O3= ∠ KO1O3=
1 2
∠
O2O1K=
1 2
( ∠ O2O1S+ ∠ SO1K)
=
1 2
(∠O2O1S+∠PO1O2)
5答案
6
思考练习 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内 切于△ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求
证：线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.
分析：设小圆圆心为 O1 ，⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D，连 AO1 ， 显然 A O1 ⊥PQ，且△ABC 为等腰三角形， 所以 A O1 过△ABC 的外接圆，D 在 A O1 的延 长线上，从而 O 为△ABC 的顶角∠BAC 的 平分线的点，下面只需证 OB 平分∠ABC. 为此，连接 OB、PD、QD，由对称性易知， OD 平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC， 故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，
内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心).
(3)∠BIC=90º+ 1 ∠A，∠CIA=90º + 1 ∠B，∠AIB=90º+ 1 ∠C.
2
2
2
思考练习 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC，有一个圆内
切于△ABC 的外接圆，且与 AB、AC 分别相切于 P、Q，求
证：线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心.

(h

a)

b

(h

b)

a

h

(b

a)

0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
(2R r)
r / sin
r
=
sin

(2R

r)
.
由 Rt△EPQ 知 PQ=sin r .
∴PK=PQ+QK
= sin r + sin (2R r) = sin 2R .
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，
即知 P 是△ABC 这内心.
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ABC 的垂心一般用字 母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F， 则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
二、垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
C′
A
E F
BD
A′
B′
证明垂心定理
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高，
过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′
C
的中垂线；同理BE、CF也分别为
A′C′、A′B′的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，
命题得证．
由 P、B、D、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO= 1 ∠PDQ. 2
所以∠PBO= 1 ∠ABC.于是 O 为△ABC 的内心. 2
说明：本题还可证明 O 到△ABC 的三边距离相等.
思考练习 6.已知⊙O 内接△ABC，⊙Q 切 AB，AC 于 E，F
且与⊙O 内切.试证：EF 中点 P 是△ABC 之内心.
练习4
思考练习 4.在△ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.
证明以△APS，△BQP，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.
分析 :设 O1,O2,O3 是△ APS,△ BQP,△ CSQ 的外心,作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外心性质 可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B, ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
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思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
M，故
H1H2 与
A1A2
关于 M 点成中心对称.同理，H2H3 与 A2A3，H3H4 与 A3A4，H4H1
与 A4A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，
H3，H4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q 与 O 也关于 M 成中
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.