第三节 一维势箱中的粒子

5、存在节点，节点越多，能量越高。
当ΔEn=(2n+1)h2/8ml2中m、l增大到宏观数量时，能级间隔 变小，能量变为连续，量子效应消失。
例：丁二烯的离域效应
CCCCCCCC
•丁二烯的离域效应：
E1

4 4
E定=22h28ml2=4E1
E离=2h2/8m(3l)2+
4/9E1
222h2/8m(3l)2
l 0
s
in
nx
l
d
s
in

nx
l

ih sin 2 (nx / l) xl


l

2
0 x0
（3）粒子的动量平方px2值
pˆ x2 n


h2
4 2
d2 dx2


2 l
sin
nx
l



h2
4 2
d

越多，能量越高。
（5）波函数的正交归一性
l

0
m
n dx

0(m

n)
（正交）
l

0
m
n
dx

1(m

n)
（归一）
★ 受一定势能场束缚的粒子的共同特征
1、粒子可以存在多种运动状态，它们可由1，2，…，n等描述；
2、能量量子化；
3、存在零点能；
量子效应
4、没有经典运动轨道，只有几率分布；
dx
n
l
2 l
cos
nx
l


h2
4 2

n
l
2
•
2 l
sin
nx
l


n2h2 4l2

n
E

Px2 2m

n2h2 8ml2
五、量子力学处理微观体系的一般步骤
①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出 Schrödinger方程；
②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一 化因子及En，求得n

l

l
2n
x sin
2nx l
l 0

l 2
（2）粒子动量的x轴分量px
可以验证， Pˆx也无本征值，即 Pˆxn cn
Px

l

0
* n
Pˆx
n
dx


2 l
l 0
s
in
nx
l

ih
2
d dx
sin
nx
l
dx
ih
l
第三节 一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型
V＝0 0＜x＜l（Ⅱ区）
V＝∞ x≤0，x≥l（Ⅰ 、Ⅲ区，＝0）
二、Schrödinger方程求解 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
h2
8 2m
d2
dx2

E
V＝∞
V＝0
V＝∞
即，
d 2
dx2

8 2mE
h2

0
0
lx
此方程为二阶常系数线性齐次微分方程，方程的通解为：
=(10/9)E1
l
l
l
1/9E1
定域键
•势箱长度的增加，使分
子能量降低，更稳定。
3l 离域键
四、求体系的各种物理量
1、粒子在箱中的平均位置
由于xˆ x , xˆ n c n, xˆ无本征值，只能求平均值：
x

l

0
* n
x
ndx

l 0
2 l
sin

nx
l
x
由于粒子在三个方向的运动是独立的，因此：
(x, y, z) (x) ( y) (z) E Ex E y Ez
三维势箱中粒子运动的波函数：
8 1/ 2 sin nxx sin nyy sin nzz
abc
a
b
c
三维势箱能级表达式：
E

h2 8m
(x) Acos 2mE x Bsin 2mE x
h
h
( h )
2
可以看出，任何一组A、B和E的数值都可确定一个， 即可得到方程的一个解，但A、B和E所确定的解要满足 波函数的三个条件。
根据品优波函数的连续性和单值性条件，x＝0和x＝l 时,＝0
(0) Acos0 Bsin 0 0 由此 A=0
n=3
0
E3 0
（2）在量子力学中，能量 是量子化的；而经典力学
*
中，箱内粒子的能量是连
n=2
续的。
n=2
（3）零点能。按经典力学 0
E2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基态能量为零，按量子力学
零点能为h2/8ml2>0；
n=1
n=1
0
E1 0
（4）可正可负，=0称节
点，节点数随量子数增加而 0 x
l
0x
l
增加，共有n-1个节点，节点
nx2 a2

n
2 y
b2

nz2 c2

n x，ny，nz均为非零整数
若a=b=c,则：
h2
E 8ma 2
n x2

n
2 y

nz2
简并能级：一个能级有两个或两个以上状态与其相对应，
称为简并能级。相应的状态为简并态，简并态的数目为简 并度。
l
由波函数的归一化条件求常数B:
l

(x)
2
dx

B2
l sin 2 nx dx B 2
l (1 cos 2nx )dx
0
0
l
20
l
B2 [x
l
sin 2n x l ] B 2 l 1
2
2n
l0 2
B 2 l
(x)
习惯上取 B 2
l
2 sin nx
(l) B sin( 2mE l ) 0
h
B不能为0 (否则波函数处处为0)
sin

2mE
l h

0
2mE
l h

n
(n

0,1,2, )
n2h2 En 8ml 2
将En代入(x)，得：
(n 1,2,3 )
(x) B sin nx
ll
(n=1,2,3….)
一维势箱粒子的Schrödinger方程结果如下：
(x) 2 sin nx (0 x l)
ll
En

n2h2 8ml 2
(n 1,2,3 )
三、结果讨论
（1）粒子在势箱中没有经 典的运动轨道，而是以不同
n=3
的几率密度出现在箱内各点。
2 l
sin

nx
l
dx
2
l
l x sin 2 nx dx 2
0
l l
l x1 cos（2 nx/l）dx
0
2



u
cos nudu

1 n2
cos nu

1 n
u
sin
nu

1

x
2
l 2


l
2n
2 cos 2nx
③描绘n， n*n等图形，讨论其分布特点；
④用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力 学量的数值，了解体系的性质；
⑤联系实际问题，应用所得结果。
六、三维势箱中运动的粒子
三维势箱的定态Schrödinger方程为
h2 ( ) (x, y, z) E (x, y, z) 8 2m x2 y 2 z 2