3.1.1[变化率与导数]课件(新人教a版选修1-1)
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2014年人教A版选修1-1课件 3.1 变化率与导数
x
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (1) h h( 65 ) h(0) 49 65 65 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 02 + 6.5 0 + 10) 49 49 0. h 0 0. 实际是 65 65 t 0 . t 65 这样吗? 49 49 49 65 ]这时段的平均速度为 0. 计算得 t 在 [0, 49
练习: (补充) 运动员起跳后相对于水面的高度 h (m) 与起跳后 的时间 t (s) 存在函数关系 h(t) 4.9t2+6.5t+10. 求以 下时间段的函数增量 △h 和自变量增量 △t, 并求出 该段的平均变化率, 解释其物理意义. (1) 0 t 65 ; (2) 0 t 65 ; (3) 65 t 65 . 98 49 49 98 解: (3) h h( 65 ) h( 65 ) 49 98 65 65 65 65 2 2 4.9 ( ) + 6.5 + 10 (4.9 ( ) + 6.5 + 10) 49 49 98 98 13 65 13 65 . h 4 98 4 98 13 . t 65 4 65 65 65 t . 98 49 98 98 这时段的平均速度为负, 速度是向下的.
2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
2
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
最新-人教A版高中数学选修11 311 变化率和导数的概念 课件 共28张 精品
Δx
Δx
(3)求极限li m Δy. Δx→0 Δx
2．瞬时变化率的变形形式
li m
Δx→0
fx0＋Δx－fx0＝li m
Δx
Δx →0
f
x
0－Δx－fx －Δx
0＝li m Δx→0
fx0＋nΔx－fx0 nΔx
＝li m Δx→0
f
x0＋Δx
－f 2Δx
x
0－Δx
＝f′(x
0)．
学以致用
3、求函数 y＝x－1在 x＝1 处的导数． x
(3)求平均变化率Δy＝f Δx
x1－fx x1－x0
0.
学以致用
1、求函数 y＝x3 从 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算 当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
解：当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化率为
Δy＝fx0＋Δx－fx0＝x0＋Δx3－x30
Δx
1＋1 Δx－1 Δx
＝ lim Δx→0
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
课堂小结
1.体会数学的博大精深以及学习数学的意义. 2.平均变化率、瞬时变化率和导数的数学背景.
作业
生活中没有什么可怕的东西，只有需 要理解的东西.
——居里夫人
谢谢观看
下课
(D )
2.函数
f(x)在
x0
处可导，则lim h→0
fx0＋h－fx0 h
A.与 x0、h 都有关
B.仅与 x0 有关，而与 h 无关
C.仅与 h 有关，而与 x0 无关
D.与 x0、h 均无关
( B)
3.已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》赛课课件_2
x2 x1
平均速度
思考：求t1到t2时的平均速度．
v S (t2 ) S(t1) t2 t1
课时小结
1.理解平均变化率的含义和表示； 2.应用平均变化率解决一些问题的方法； 3.体会由实际生活问题到数学模型的归纳思想。
课后作业
1.习题3.1A组第1题，B组第2题； 2.预习下一节内容。
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,
在1≤ t ≤2这段时间里,
探究讨论：
计算运动员在0 t 65 这段时间的平均速度，思考 49
下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的
运动状态有什么问题吗？
平均变化率
平均变化率：式子
f
(x2 ) x2
3
由气球体积V(r) 4 r3 r (V) 3V .
3
4
当v由0 1时，气球的平均变化率：r (1) r (0) 0.62(dm/L), 10
当v由1 2时，气球的品均变化率：r (2) r (1) 0.16(dm/L) 2 1
结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.
3.1.1变化率问题
目标分析
[自学目标]: 了解导数概念的实际背景 [重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解 [难点]:计算平均变化率的方法
平均变化率
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
f (x1) x1
称为f
x1 到f
x2
的
平均变化率
令Δ x = x2 – x1 , Δ f = f (x2) – f (x1) ,
人教A版高中数学选修1-1 3.1变化率与导数 名师公开课市级获奖课件(27张)
Δ������ →0
4.导数的意义
几何 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线 f (x +������x )-f (x 0 ) 意义 的斜率,即 k=f'(x0)= ������������������ 0
������x →0 ������x
物理 如果物体的运动方程是 s=s(t),那么函数 s=s(t)在 t=t0 处的导 意义 数,就是物体在 t=t0 时的瞬时速度 v(t0),即 v(t0)=s'(t0)
【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 1 (2)函数 y=������ 在区间[2,4]上的平均变化率等于
Δ������ 解析: (2)平均变化率 Δ������
.
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
位移 s 关于时间 t 的函数 s(t)在时间 s (t )-s (t ) 表达式:v = 2 1 t 2 -t 1 段[t1,t2]上的平均速度
名师点拨Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的 改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改 变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)f(x2).
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平均变化率等于0时,说明函数没有发生变化. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关. ( ) (4)曲线的切线与曲线只有一个公共点. ( ) (5)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1). ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
4.导数的意义
几何 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线 f (x +������x )-f (x 0 ) 意义 的斜率,即 k=f'(x0)= ������������������ 0
������x →0 ������x
物理 如果物体的运动方程是 s=s(t),那么函数 s=s(t)在 t=t0 处的导 意义 数,就是物体在 t=t0 时的瞬时速度 v(t0),即 v(t0)=s'(t0)
【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 1 (2)函数 y=������ 在区间[2,4]上的平均变化率等于
Δ������ 解析: (2)平均变化率 Δ������
.
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
位移 s 关于时间 t 的函数 s(t)在时间 s (t )-s (t ) 表达式:v = 2 1 t 2 -t 1 段[t1,t2]上的平均速度
名师点拨Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的 改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改 变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)f(x2).
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平均变化率等于0时,说明函数没有发生变化. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关. ( ) (4)曲线的切线与曲线只有一个公共点. ( ) (5)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1). ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
数学：选修1-1人教版精品课件3.1.1变化率与导数
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
8
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1 中，平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx) －1＝2Δx＋(Δx) ， Δy ∴ ＝2＋Δx.y′|x＝1＝ lim (2＋Δx)＝2. Δx Δx→0
2
2
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx fx2－fx1 Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时， ＝ Δx x2－x1 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
24
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 1 率；并计算当 Δx＝ 时，平均变化率的值． 2
[ 解 ] 因为 Δy＝ 2×(2 ＋ Δx) ＋ 5 － (2×2 ＋ 5)＝ 8Δx ＋ Δy 2 2(Δx) ，所以平均变化率为 ＝8＋2Δx. Δx 1 1 当 Δx＝ 时，平均变化率的值为 8＋2× ＝9. 2 2
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0， fx－fx0 于是 f′(x0)＝ lim x x0 x－x0 fx0＋Δx－fx0 与定义中的 f′(x0)＝ lim 意义相同. Δx Δx→0
19
函数的平均变化率 2 例 1 已知函数 f(x)＝2x ＋3x－5. Δy (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； Δy (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
人教A版高中数学选修1-1课件：3-1 变化率与导数 第2课时
如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?
预学 1:导数的求法 计算函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤 ①求函数的改变量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②求平均变化率:
������ ������ (������ 0 +������ )-������ (������ 0 ) ������
预学 4:曲线上每一点处的切线斜率 曲线上每一点处的切线斜率反映的是函数的瞬时变化情况,体现的 是数形结合、以曲代直的思想. 直线与曲线有且只有一个公共点时,直线不一定是曲线的切线,有 些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点不 止一个.
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是( A.在点 x0 处的函数值 B.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
������x →0
=-1,
.
(指定小组回答,其他组补充)
【答案】-1
预学 2:切线的概念和导数的几何意义 根据 《问题情境》 ,割线 PPn 的变化趋势:当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线,导数 f'(x0)的几何意义是曲 线 y=f(x)上的点(x0,f(x0))处切线的斜率.
=
������
;
③求极限:f'(x0)= lim
f (x 0 +������x )-f (x 0 ) . ������ x Δ������ →0
练一练:若可导函数 f(x)的图象过原点,且满足 ������������������ 则 f'(0)=
高二数学人教A版选修1-1课件：3.1 变化率与导数
迁移应用
二、导数概念的理解与运用
(1)函数在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率.函数在某点处的导数的概念包含两层含义:
①若 lim Δ ������ →0
������������yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导并且导数即为极限值;
②若 ������������������ ������x →0
则 f'(x0)=x0+2.
由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2 s时的瞬时速度是( ) A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 答案:C
������ ������
=
3Δ������+Δ���1���2+ΔΔ������������=3+1+2Δ������,
∴ lim Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
3
+
2 1+������
=5,
∴f'(1)=5.
一 二三
=
(3+������)2-32 ������
=
6Δ������+Δ���(���Δ������)2=6+Δx.
∴k1<取k2<kΔ3.∴x函=数13y时 =x2,在k1x==3附2+近13的平=均73变,k化2率=最4大+.13 = 133,k3=6+13 = 139,
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.
人教A版高中数学选修1-1课件3.1变化率与导数2
x0
x
h0
2h
分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定
义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx
选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解：(1)原式 lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )
高中数学课件
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求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: (1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 (2)利用点斜式求切线方程.
例1:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解: KP
lim y ,而y x0 x
x0
(x)
x0
x
f '( x0 );
(2)原式 lim f ( x0 h) f ( x0 ) [ f ( x0 h) f ( x0 )]
h0
2h
1 [lim f ( x0 h) f ( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 )]
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例3:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim f ( x0 x) f ( x0 ) ; (2) lim f ( x0 h) f ( x0 h) .
KP tan 1, 45 ,
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:如图已知曲线
人教A版高中数学选修1—1第二章3.1.1变化率与导数复习课件
(2)Δy＝(－1＋Δx)2＋a(－1＋Δx)＋b－(1－a＋b)＝(a－2)Δx ＋(Δx)2，
ΔΔyx＝a－2＋Δx，由导数的定义，得 y′x＝－1＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0(a－2＋Δx)＝a－2.
等于( ) A.－4 C.－2
B.2 D.±2
解析：f′(x)＝ lim Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋2Δx－2x Δx
＝ lim Δx→0
xx－＋2Δx＝－x22，
∴f′(m)＝－m22＝－12，∴m＝±2.故选 D. 答案：D
6.利用导数的定义求： (1)y＝x22在 x＝1 处的导数； (2)y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝－1 处的导数. 解：(1)Δy＝1＋2Δx2－2＝－4Δ1＋x－Δ2xΔ2 x2， ΔΔyx＝－41＋＋2ΔΔxx2. 由导数的定义，得 y′x＝1＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0－41＋＋2ΔΔxx2＝－4.
则ΔΔyx＝3ΔΔxx＝3.
答案：B
4.(2019·福建罗源月考)一物体的运动方程为 s＝1t ＋2t(t>1)，
其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 2 秒末的瞬时速
度是( )
7 A.4
米/秒
9 B.4
米/秒
3 C.2
米/秒
5 D.2
米ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ秒
解
析
：
Δs
＝
1 2＋Δt
＋
2(2
＋
Δt)
－
解析：Δs＝(2－22)－(2－02)＝－4，
∴ΔΔst＝2－－40＝－2.
∴该质点在[0,2]内的平均速度为－2.
答案：－2
数学3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件人教A版选修11
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
f 则平均变化率为 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
x
x2 x1
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x2 x1
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
△t = – 0.000001,v 13.0999951 △t =0.000001,v 13.1000049
并思考下面的问题:
49
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
定义:
平均变化率:式子
f
(x2 ) x2
f (x1) x1
称为函数
f
(x)从x1到
x2
的平均变化率.
14【数学】3.1.1《变化率与导数》课件(新人教A版选修1-1)
s t
150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性
能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．
第8页，共37页。
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
时刻的速度．
表示时间)，求物体在
t0
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0 +t
（单位： m），求运动员在
时的瞬时
t 1s
速度，并解释此时的运动状态;在
呢?
t 0.5s
第21页，共37页。
h h(1 t) h(1)
t
t
4.9(t 1)2 6.5(t 1) 10 4.9 12 6.5 1 10
t
4.9t 3.3
h/ 1
lim h
t0 t
（陡峭程度）
大小
画切线（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
第31页，共37页。
(2) 曲线在 t0时，切线平行于x轴，曲线在
t
附近比较平坦，几乎没有升降．
0
曲线在 t1 , t处2 切线
l1 ,的l 2 斜率
h/
(t1 ), h / (t2
小0 于
)0
大于
在 t1 , t附2 近t3 ,，t曲4 线
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
第14页，共37页。
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
v h h(t t) h(t)
t
t
h(2 t) h(2)
v(2) lim
t 0
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第3课时)》名师课件
点
时，割线PPn的变化趋势是什么？
我们发现，当点Pn沿着 曲线无限接近点p即 时，割线PPn趋近于确定 的位置，这个确定位置 的直线PT称为曲线在点 P处的切线.
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问题探究二 导数有怎样的几何意义？重点、难点知识★▲ 想一想：（1）割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ （2）切线PT的斜率k为多少？
预习下节任务并完成 《变化率与导数（第4课时）》预习自测
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点击“互动训练” 选择“《变化率与导数（第3课时）》随堂检测”
配套课后作业： 《变化率与导数（第3课时）》基础型 《变化率与导数（第3课时）》能力型 《变化率与导数（第3课时）》探究型 《变化率与导数（第3课时）》自助餐
有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；
③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚
至可以无穷多个.
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 即
处的切线的斜率，
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问题探究三 如何求切线在某点处的切线方程？
●活动一 初步运用导数几何意义
3.1 变化率与导数 (第3课时)
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（1）函数f(x)从x1到x2的平均变化率为
（2）函数y=f(x)在x=x0处的导数是:
（3）两点
, 连线的斜率
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问题探究一 曲线的切线是指什么
●活动一 分析实例
如下图，当
沿着曲线f(x)趋近于
●活动二 结合实例，深化运用
例2.在曲线y=x2上切线倾斜角为45°的点是（ ）
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v
(1) 将 t=0.1代入上式，得
s 1 2 g gt t 2
O s(2) s(2+t)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 t=0.01代入上式，得
s
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 t 0, 2 t 2
量 f 的平均变化率为
f f ( x x ) f ( x ) x x
令 x 0， 则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
f f ( x x ) f ( x ) lim lim x 0 x x 0 x
2． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
s
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度 v
的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度
高台跳水运动中，运动员相对
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
引导： 1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
4 3 3 V V (r ) r r (V ) 3 3 4 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1－1
3.1 《变化率与导数》
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的思 想及其内涵 • 教学重点： • 导数概念的实际背景，导数的思想及其内 涵
变化率问题
问题1 气球膨胀率
4 3 V (r ) r 3
问题2
于水面的高度是
r (V )
3
3V 4
导数的概念 一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数， 记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
Δt -13.59
-0.01 -0.001
-0.0001
-13.051 -13.0951
-13.009951
0.01 0.001
0.0001
-13.149 -13.1049
-13.10049
-0.00001 -13.099951
0.00001 -13.100049
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h h(t t ) h(t ) v t t
h(2 t ) h(2) v(2) lim t 0 t lim(4.9t 13.1) 13.1
t 0
平均速度 v 的极限为: s v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) t 0 t 0 t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
如图设该物体在时刻 t0 的位置是 ｓ (t0) ＝ OA0 ，在时刻 t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
导数的概念
设函数
y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x
在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相 应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与 △x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处 可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数， 记为
．
v 的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
例 物体作自由落体运动， 1 2 运动方程为： s gt ，其中位移 2 单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2． 求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间 [2， 2.01] 上的平均速度； (3) 物体在t =2时的瞬时速度.
经过的路程 s 150 v 54( km / h) 所有的时间 t 10
平均速度反映了汽车在前 10 秒内的快慢程度，为了了 解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度 — —瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为 s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0 时刻的速度．
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化， 从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f ( x x) f ( x)