变化率与导数-PPT

问题一：气球膨胀率 V 4 r3 r 3 3V
3
4
很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容
量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角
度，如何解释这个现象呢？
空气容量从0增加到 1时，气球的平均膨
r(1) r(0) 0.62 10
胀率为：
空气容量从1增加到 2时，气球的平均膨 胀率为：
t
t
-4.9t 13.1
显然，当t 0时，V t 2时的瞬时速度
2、瞬时变化率
瞬时速度：Vt 2
lim
t 0
h(2
t) t
h(2)
13.1(m/
s)
思考：
（1）如何求瞬时速度？ 先求平均速度，再取极限
（2）lim是什么意思？在其下方的条件下，求后边的极限
（3）如何求运动员在某一时刻t0时的瞬时速度？
A. f(x0+△x) C. f(x0)·△x
B.f(x0)+△x D. f(x0+△x)-f(x0)
2、瞬时变化率
瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系是h=-4.9t2+6.5t+10 如何求t=2时的瞬时速度？
计算函数在[2,2+△t]内的平均速度
V h(2 t) h(2) h(2 t) h(2)
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0 t 0.5 这段时间里V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
， (2)在1
t
0.5 0
2 这段时间里 V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
，
21
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
答：（1）
h(65) h(0) 10 49
V = h 0 t
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运 动状态.
平均变化率的定义
x 0
x
31 x2 3
3(x)2 6(x)
= lim
= lim
x0
x
x 0
x
= lim [3(x)+6] x0
=6
例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并 求出在该点处的导数；
(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点t=3的瞬时速度。
2、f'(x0)的值与△x的值无关；
3、瞬时变化率和导数是同一概念的两个 名称.
求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤：
（1）求函数的增量
一差
f ( x0 x) f ( x0 )
二比 三极限
（2）求平均变化率
y f ( x0 x) f ( x0 )
（3）取极限 x
x
f
'( x0 )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
1.函数的平均变化率
f ( x) f (x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率 f ( x) f (x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
于是，函数f(x)从x1到x2的平均变化率等于 函数值的增量/自变量的增量，即
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) x
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
y lim x0 x
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lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并 求出在该点处的导数；
(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点t=3的瞬时速度。
解：(1)
f '1 lim f 1 x f 1
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
(2)求平均变化率
（3）求极限
lim f '( x0 )
r(2) r(1) 0.16 2-1
气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大得 越来越慢。
思考：
空气容量从V1增加到V2时，气球 的平均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1 ) V2 V1
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动
员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t t) h(t)
Vt t0
lim
t 0
t
思考
1、函数f(x)在[x0,x0+△x]的平均变化率怎么 表示？
f ( x0 x) f ( x0 ) x
2、函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎么表示？
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
导数的定义
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作
f '( x0 ) 或 y ' |xx0
即f
'(
x0
)=
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
导数的几何意义：函数的瞬时变化率 导数的物理意义：物体的瞬时速度
总结提升
1、f'(x0)与x0的值有关，不同的x0, 其导数 值一般也不同；
1.1 1
0.1
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
分析：平均变化率= y f ( x x)
x
x
（1）求y f ( x x)； （2）求 y .
x
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
解：y f (2 x) f (2)
微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
微积分的创立
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自 己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 ，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩 是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个 是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积 问题（积分学的中心问题）。
[5(2 x)2 6] (5 22 6)
不能写成 △x2
5(x)2 20x
所以平均变化率为 y 5x 20 x
课堂练习
1、一质点运动的方程为 s=1-2t2,则在一段时间 [1,2]内的平均速度为（ ） A. -4 B. -8 C. -6 D. 6
2. 设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+△x 时，函数的该变量为（ ）
(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点t=3的瞬时速度。
解：(3) s 3 t 2 32 t 2 6t
s t 6 t
s
Vt 3
lim
x 0
t
6
例2、已知函数 y x 在x=x0处附近有定义，
且
f
' x0
1 2 ，求x0的值。
解：f
' x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
平均变化率表示直线AB的斜率
例1 已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间上， f(x)的平均变化率. （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]
解：(1) f (3) f (1) 9 1 4
31
2
(2) f (2) f (1) 4 1 3
21
1
(3) f (1.1) f (1) 1.21 1 2.1
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解：(2) y f 1 x f 1
= 1 x2 1 x (2)
所以平均 变化率为
-x2 x
y 1- x x
y f '(1) lim
x0 x lim(1 x) 1
x0
例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并 求出在该点处的导数；
牛顿
莱布尼茨
微积分的创立
牛顿和莱布尼茨建立微积分 的出发点是直观的无穷小量，因 此这门学科早期也称为无穷小分 析，这正是现在数学中分析学这 一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重 于从运动学来考虑，莱布 尼茨却是侧重于几何学来 考虑的。
人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
1、变化率问题
x 0
y x
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 和
根据导数的定义,
所以,
同理可得
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分 别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约 以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约 以5 /h的速率上升.
练习
(1)求函数 f(x)=1/x 在x=1处的导数； 1
(2)已知函数 f(x)=ax2+c，且f'(1)=2,求a.
a1
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及
临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 y =( D )
x
A.3
B.3Δx-(Δx)2
C.3-(Δx)2
D.3-Δx
2.如图，函数y=f（x）在A，B 两点间的平均变化率是（ B ）
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
x 若设 y
x2 y2
x1 y1
,
则平均变化率为
y x
这里，我们称△x是相对于x1的一个增量 （也叫做自变量的增量），可用x1+△x代替x2， 同理△y叫做函数值的增量，可用y1+△y代替y2
注意：△x（△y）是一个整体,可正可负！
人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
微积分简介
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微 分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关 概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。 内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分 学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它 使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套 通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算， 为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。