变化率与导数 (课件)
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高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
2
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
导数平均变化率课件
波动方程
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件
f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义课件2高二选修22数学课件
B．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
C．f′(x0)＝lim [f(x0＋Δx)－f(x0)] Δx→0
【答案D】．Df′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
12/8/2021
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教材整理 2 导数的几何意义 阅读教材 P61“练习”以下至 P62“例 4”以上部分，完成下列问题． 1．如图 3-2-1 所示，设函数 y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可 以看出：当 Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线； 当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A，割 线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l.直线 l 和曲线 y＝f(x) 在点 A 处“相切”，称________为曲线 y＝f(x)在点 A 处 的切线．
＝ lim
Δx→0
x0＋Δx3－x0＋Δx2＋1－x30－x20＋1 Δx
＝3x20－2x0.
由题意知，3x20－2x0＝1，解得 x0＝－13或 x0＝1.
12/8/2021
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于是切点的坐标为－13，2237或(1,1)． 当切点为－13，2237时，2237＝－13＋a，a＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为－13，2237.
12/8/2021
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求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线 的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切 点在曲线上，可得切点的纵坐标.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-2
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1 x ′ (x)=____。 （8）若f(x)=lnx,则f
2013-4-2
e
(a>0,且a≠1);
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
2013-4-2
（3）若f(x)=sinx,则f
cosx ′(x)=_____;
-sinx ′(x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f xlna(a>0) a x,则f ′(x)=____; （5）若f(x)=a
2013-4-2
x x,则f′ (x)=____; （6）若f(x)=e
1 ′ (x)=_____ a x ln （7）若f(x)=logax,则f
'
记 一
1 公式7 (1oga ) 记 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.
x '
2013-4-2
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
2013-4-2
练习
(1)
4 5x
;
(2)
高中数学变化率与导数课件新人教A版选修
（2）函数的导数：是指某 一区间内任一点x 而言的.
（3）函数f ( x)在x0处的导数就是导函数 f '( x) 在x x0处的函数值.
求f(x)在x0处的导数步骤：
(1) 求增量 y f (x0 x) f (x0);
(2) 算比值 y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 令x 0, y lim y . x0 x
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm)
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
r(2) r(1) 0.16(dm)
x2 x1
x
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗？书 3 探究
t
0,
65 49
v0
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态
瞬时速度
（3）如何求（比如 t=2时的）瞬时速度？P4
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
说明：
1、 f (x0 ) 反映了函数在 x x0 变化的快慢
2、x x0 时， f (x0 ) 是一个固定的数 3、 x变化时， f (x) 是一个函数，称为
f (x) 的导函数
导数（导函数）与函数 的区别与联系
（1）函数在某一点处的导 数f '( x)是一个定值， 是函数在该点的函数该 变量与自变量该变量 的比值的极限，不是变 量.
（3）函数f ( x)在x0处的导数就是导函数 f '( x) 在x x0处的函数值.
求f(x)在x0处的导数步骤：
(1) 求增量 y f (x0 x) f (x0);
(2) 算比值 y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 令x 0, y lim y . x0 x
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V ) 3 3V
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm)
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
r(2) r(1) 0.16(dm)
x2 x1
x
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗？书 3 探究
t
0,
65 49
v0
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态
瞬时速度
（3）如何求（比如 t=2时的）瞬时速度？P4
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
说明：
1、 f (x0 ) 反映了函数在 x x0 变化的快慢
2、x x0 时， f (x0 ) 是一个固定的数 3、 x变化时， f (x) 是一个函数，称为
f (x) 的导函数
导数（导函数）与函数 的区别与联系
（1）函数在某一点处的导 数f '( x)是一个定值， 是函数在该点的函数该 变量与自变量该变量 的比值的极限，不是变 量.
变化率与导数 数学 优秀课件
f ( x0 )与x的 具体取无关
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
变化率与导数
记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
思考?
观察函数f(x)的图象
Y=f(x) y B
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
四、导数的几何意义:
y
y=f(x) Pn
割 线
T
y
P
切线
x
o
x 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线P Pn趋近于确定位置PT.则我们 把直线PT称为曲线在点P处的切线.
因此,函数f(x)在x=x0处
y
y= Q f( x) P
的导数就是切线PT的斜率.
o
'
割 线 T 切 线 x
即:
f ( x0 x) f ( x0 ) y k切线 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x
练习：
1.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率为（ ）.
2.函数f(x)=1-3x在x=x0处的瞬时变化率为（ ） 3.质点运动规律s=t2+3，则在t=3秒的瞬时速度为
三、导数
一般地，函数 y =f(x) 在x=x0处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
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一般地,t1 t2时, h(t2) – h(t1) v= t2 – t1
65 计算运动员在0≤t≤ 49
这段时间 0m/s ，思考 里的平均速度：v=______ 下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止 的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？
答: (1)不是。先上升，后下降。
图1.1 1
函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率
Δy = Δx
f(x2) – f(x1) x2 – x1
的几何意义是什么？
答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率
题型一：求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1在x=2附近的
(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映某一刻的运动状态。
在问题中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的 v
平均速度
h(0.5) h(0) 4.05(m / s ) 0.5 0
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的
平均变化率
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
习惯上用x表示x2 x1，即x x2 x1
用y表示f ( x2 ) f ( x1 )，即y f ( x2 ) f ( x1 )
所以，平均变化率可以表示为：
y f ( x2 ) f ( x1 ) f（x1＋x）－f（x1） ＝ x x2 x1 x
3.1.1 动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的 h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图） 时间t(单位:s)存在函数关系： t:0 0.5时, v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m/s) 0.5 - 0 t:1 2时, v= h(2) – h(1) 2–1 = - 8.2(m/s)
思考
y
y f x f x 2 f x 1
A B
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1, 平均 变化率 y f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
直线AB的斜率
f x2 f x1
x 2 x1
O
x1
x2
x
平均变化率
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量
(2)计算平均变化率
Δy=f(x2)-f(x1);
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
ks5u精品课件
Y=f(x ) B y
2.平均变化率的几何意义:
割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A
f(x1)
O
ks5u精品课件
x2-x1=△x x x1 x2
练习
2.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中 1
2
相应的平均速度为(A ) A. 6+t B. 9 6+t+ t C.3+t D.9+t
2 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0
小结： 1.平均变化率:
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x ) f ( x1 ) (x 0) x x2 x1 x