变化率问题导数的概念优秀课件

比值反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度
T 变(℃化) ，用曲线图表示为： C (34, 33.4)
30
[一点通] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求 解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy， 求平均变化率的主要步骤是：
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的
值为
()
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
变化率问题导数的概念
1.1.1 变化率问题
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现
象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、
x
x2 x1
1.1.2 导数的概念
一、复习回顾：
•
1.函数的平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率： y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
自主学习能力测评P4－跟踪训练3 3．计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么?
图1.11
直线AB的斜率
题型一、求函数的平均变化率
1、自主学习能力测评P3－ 例1 2、自主学习能力测评P4－跟踪训练1、2
[例 1] 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
答案：B
2．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图像上一点(1，－2)及附近一
点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy等于
()
A．4
B．Байду номын сангаасx
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
解 析 ： ∵ Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ 2(1 ＋ Δx)2 － 2 ＝ 4Δx ＋
2(Δx)2，∴ΔΔxy＝4＋2Δx. 答案：C
题型一、求函数的平均变化率
1、自主学习能力测评（活页练）P79－－ 1、2、5、6、
小结：
•
1.函数的平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率： y f (x2 ) f (x1)
Δx的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝Δx2＋2Δx， ∴ΔΔxy＝Δx2＋Δx2Δx＝Δx＋2. (1)当Δx＝2时，ΔΔxy＝Δx＋2＝4；
（注： 3月18日
为第一天）
20
B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
二、平均变化率的定义：
1、平均变化率: 式子 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
(2)当 Δx＝1 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝3； (3)当 Δx＝0.1 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝2.1； (4)当 Δx＝0.01 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝2.01. 当 Δx 越来越小时，函数 f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变 化率逐渐变小，并接近于 2.
二.导数定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(112,8000) (1101,,5500)
2400
(1,2400)
11995
(1997)
200151 201026 123007 x年
(2007) (2008)(2009)
问题2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？
变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
情境1
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26 2.12
● ● ●
1.61
●
●
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
某小区近十年来的房价变化如下图所示
[思路点拨] 先求函数值的增量 Δy，再求ΔΔxy，然后代入 已知数据求解．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－ (2x02＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ΔΔxy＝4x0·ΔxΔ＋x2Δx2＝4x0＋2Δx. 当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
f (x2) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
y
fx2 fx1
yfx
B
A
x2 x1
fx2fx1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
理解
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
1、式子中△x 、△
△ x的值不能为0，
y 的值可正、可负，但 △ y 的值可以为0
y x
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式: