高中数学逻辑专题训练(精选.)

§1–2简易逻辑

一、命题

1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．

(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题

(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题

解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．

1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．

(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0

(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0

(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．

1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．

(A) 若b∈M，则a∉M(B) 若b∉M，则a∈M

(C) 若b∈M，则a∈M(D) 若a∉M，则b∈M

解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．

1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．

(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立

(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．

1.2.5命题“若x2<1，则－1

(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1

(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析命题“若x2<1，则－1

1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．

解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．

1.2.7 若a ，b 都是非零实数，证明：|a |＋|b |＝|a ＋b |与ab >0等价．

解析 若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则(|a |＋|b |)2＝|a ＋b |2，a 2＋b 2＋2|a ||b |＝a 2＋b 2＋2ab ，于是，|ab |＝ab ，可得ab >0；

若ab >0，则 或于是，|a |＋|b |＝|a ＋b |．

所以，当a ，b 都是非零实数时，|a |＋|b |＝|a ＋b |与ab >0等价．

1.2.8 已知A 和B 都是非空集合，证明：“A ∪B ＝A ∩B ”与“A ＝B ”是等价的．

解析 若A ∪B ＝A ∩B ，则任取x ∈A ，必有x ∈A ∪B ＝A ∩B ，于是，x ∈A ∩B ，则x ∈B ，所以，A ⊆B ，同理可得B ⊆A ，于是，A ＝B ；若A ＝B ，则显然有A ∪B ＝A ∩B ，所以，“A ∪B ＝A ∩B ”与“A ＝B ”是等价的．

1.2.9 已知a ，b ，c 是实数，则与“a ，b ，c 互不相等”等价的是( )．

(A) a ≠b 且b ≠c (B) (a －b )(b －c )(c －a )≠0

(C) (a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0 (D) a 2，b 2，c 2互不相等

解析 由于不相等关系不具有传递性，当a ≠b 且b ≠c ，a 与c 可能相等；

由(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0可得a ＝b ，b ＝c ，c ＝a 中至少有一个不成立，即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0等价于“a ，b ，c 不全相等”，而不能等价于“a ，b ，c 互不相等”；

a ＝－1，

b ＝0，

c ＝1，此时a ，b ，c 互不相等，但a 2＝c 2，所以，“a ，b ，c 互不相等”与“a 2，b 2，c 2互不相等”不是等价的；

a ≠

b 等价于a －b ≠0，“a ，b ，

c 互不相等”等价于a －b ≠0，b －c ≠0，c －a ≠0同时成立，所以，“a ，b ，c 互不相等”与“(a －b )(b －c )(c －a )≠0”等价，答案为B ．

1.2.10 命题“若ab ＝0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为 ． 解析 原命题的逆否命题为“若a 、b 均不为零，则ab ≠0”．

1.2.11 给出下列四个命题：① 若x 2＝y 2，则x ＝y ；② 若x ≠y ，则x 2≠y 2；③ 若x 2≠y 2，则x ≠y ；④ 若x ≠y 且x ≠－y ，则x 2≠y 2，其中真命题的序号是 ．

解析 由x 2＝y 2可得x ＝y 或x ＝－y ，命题①不成立；若x ＝－y ≠0，此时x ≠y ，而x 2＝y 2，于是，命题②不成立；若x 2≠y 2时有x ＝y ，则可得x 2＝y 2，矛盾，于是，命题③成立；对于x ≠y 且x ≠－y ，如果x 2＝y 2，则有x ＝y 或x ＝－y ，即x ＝y 与x ＝－y 至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．

1.2.12 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根．命题q ：方程4x 2＋ 4(m －2)x ＋1＝0没有实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．

解析 当命题p 为真时，应有解得m >2．当命题q 为真时，应有Δ＝16(m －2)2－16<0，解得11，使“p 且q ”为假的m 的取值范围是m ≤2或m ≥3，所以，使两者同时成立的m 的取值范围是m ≥3或1

1.2.13 某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有负)，他要使得表中任意一行的三个数之和为正，而任意一列的三个数之和为负．求证：

他一定不能写出满足要求的数表．

解析 若此人能写出满足要求的数表，则由a 11＋a 12＋a 13>0，a 21＋a 22＋a 23>0，a 31＋a 32＋a 33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a 11＋a 21

＋a 31<0，a 12＋a 22＋a 32<0，a 13＋a 23＋a 33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33