无刻度直尺作图技巧

|针对训练| 1．在▱ABCD中，点E在AD上，DE＝CD，请仅用无刻度的
直尺，按要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图Z2－2①中，画出∠C的平分线； (2)在图②中，画出∠A的平分线．
2．【2015·江西模拟】如图Z2－3，在△ABC和△DCB中，
∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.仅用无刻度
例3【2014·江西】 已知梯形ABCD，请使用无刻度的直尺画图． (1)在图Z2－16①中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形 (2)在图②中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
解：(1)如图①所示，△CDE即为所求． (2)如图②所示，▱ABFE即为所求．
图Z2－16
图Z2－9
|针对训练| 1．【2013·江西】如图Z2－9，AB是半圆的直径，图①中
，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直 尺按要求画图．
(2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高． 解： (2)如图②，CD为AB边上的高．
图Z2－9
2．【2016·鹰潭联考】用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹 ，分别作出图中∠AOB的平分线：
(1)在图①中，画出⊙O的圆心O； (2)在图②中，画出⊙O的一条直径．
解：(1)如图①，点O即为⊙O的圆心．
图Z2－11
3．【2014·江西样卷一】如图Z2－11①中，弦AB∥CD，
AB＝CD，图②中，弦AB∥CD，AB≠CD，请仅用无刻度的直
尺按要求画图．
(2)在图②中，画出⊙O的一条直径．
解：(2)如图②，线段EF即为⊙O的一条直 径．
的直尺完成以下作ห้องสมุดไป่ตู้．
(1)在图①中作线段BC的中点P；
(2)在图②中，在OB，OC上分别
图Z2－3
取点E，F，使EF∥BC.
解：(1)如图①所示．
解： (2)如图②所示．
3．【2016·抚州模拟】由三个形状大小完全相同的菱形组
成一个正六边形．只用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
类型1 在三角形、四边形及多边形中作图
例1 如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形， AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画 图，要求：仅用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹．
(1)在图①中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点 ，且AB为这个角的一边；
(2)在图②中画出线段AB的垂直平分线．
(1)如图Z2－10①，∠AOB的两边与一圆切于点A，B，点M ，N是优弧AB的三等分点；
(2)如图②，∠AOB的两边与一圆交于点A，B，M，N，且 AM＝BN.
解：如图所示．
图Z2－10
3．【2014·江西样卷一】如图Z2－11①中，弦AB∥CD， AB＝CD，图②中，弦AB∥CD，AB≠CD，请仅用无刻度的直 尺按要求画图．
图Z2－19
解：(2)以A，B为顶点，另两个顶点C，D也在格点上的菱形， 且使这个菱形的面积最大或最小的图形如下：
最大为15，最小为5.
4．如图Z2－20所示，在8×8的网格中，我们把△ABC在图①中作 轴对称变换，在图②中作旋转变换．已知网格中的线段DE、线段 MN分别是边AB经两种不同变换后所得的图像，请在两图中分别 画出△ABC经各自变换后的图像，并标出对称轴和旋转中心(要求 ：不写作法，作图工具不限，但要保留作图痕迹)．
(1)在图①中，画出一个以AB为边的平行四边形； (2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形． 解：(1)如下图．(画法有多种，正确画出 一种即可，以下几种画法供参考)
图Z2－5
4．【 2017·江西】如图Z2－5，已知正七边形ABCDEFG， 请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(2)在图②中，画出一个以AF为边的菱形． 解：(2)如下图．(画法有两种， 正确画出其中一种即可)
解：(1)如图①， 以A为端点， 过DE与BC的交点 作射线，与圆交于
点F，线段AF即为所求 ；
图Z2－13
5．【2017·吉安模拟】请仅用无刻度的直尺画图：
(2)如图②，AB，CD是圆的两条弦，AB＝CD且不相互平行
，画出圆的一条直径．
解：(2)如图②，延长BA，DC交于一 点，连接BC，AD交于一点，过这两 点作直线， 与圆交于点M，N， 线段MN即为所求．
图Z2－6
5．【 2017·南昌模拟】请仅用无刻度的直尺在图Z2－6①和 图②中按要求画菱形．
(2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞ DE)，以AE为边画一个菱形． 解：(2)如图②所示： 四边形AECF即为所求的菱形．
图Z2－6
6．【2017·赣州模拟】如图Z2－7，由6个形状、大小完全相 同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的 格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．
图Z2－13
6．【2017·江西样卷】请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在 图Z2－14①，图②中分别过圆外一点A作出直径BC所在直线的 垂线．
图Z2－14 如图①，直线AD即为所求． 如图②，直线AE即为所求．
7．弦AB∥CD，AB≠CD，限用无刻度的直尺分别按下列要
求画图．
(1)在图Z2－15①中画出∠DAC的平分线；
是 1，每个小格的顶点叫做格点．在两个网格中分别以格点为顶 点作出两个不全等的直角三角形，使它的两条直角边的长均为 无理数，且较小锐角的正切值为12.
解：如图所示．
图Z2－17
2．如图Z2－18，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在 图①②③中添画(工具只能用无刻度直尺)射线OA，使 tan∠AOB的值分别为1，2，3.
图Z2－5
5．【 2017·南昌模拟】请仅用无刻度的直尺在图Z2－6①和 图②中按要求画菱形．
(1)图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF 为边画一个菱形；
(2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞ DE)，以AE为边画一个菱形．
解：(1)如图①所示 ：
四边形EFGH即为 所求的菱形；
图Z2－8
【点拨交流 】 1．图形中的圆有哪些基本性质？ 2．由(1)中的AC＝BC，你能得到什么？ 3．平分三角形面积的方法有哪些？
【解题思路】
|针对训练| 1．【2013·江西】如图Z2－9，AB是半圆的直径，图①中
，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直 尺按要求画图．
(1)在图①中，画出△ABC的三条高的交点； (2)在图②中，画出△ABC中AB边上的高． 解：(1)如图①，点P就是所求作的点．
解：(1)如图所示：∠ABC＝45°(AB，AC是小长方形的对角线)， 或∠BAC＝45°(AB，BC是小长方形的对角线)．
解:（2）线段AB的垂直平分线如图所示： 点M是长方形AFBE的对角线的交点，点N是正方形ABDC的对 角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
(画法不唯一，以下为其他几种画法，供参考)
例2 【2015·江西】⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度
的直尺，根据下列条件分别在图Z2－8①，②中画出一条弦，使
这条弦将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹)
(1)如图①，AC＝BC；
(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.
解：(1)如图①所示，CD即为所求的弦． 理由：∵AC＝BC，∴ ＝ ， ∴C 是 的中点． 连接CO，交AB于点E.由垂径定理，知 E是AB的中点，延长CO交⊙O于点D， 则CD即为所求作的弦．
图Z2－11
4．【2016·南昌模拟】作图题：在⊙O中，点D是劣弧AB的 中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：
(1)在图Z2－12①中作出∠C的平分线； (2)在图②中画一条弦，平分△ABC的面积． 解：(1)如图①，CD为所作；
图Z2－12
4．【2016·南昌模拟】作图题：在⊙O中，点D是劣弧AB的 中点，仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：
(2)在图②中画出一个顶点均在格点上的正方形． 解： (2)如图②所示：正方形， 即为所求．
图Z2－7
类型2 在圆中作图「15年17题 13年16题」
【解题方法】 立足圆的轴对称性、垂径定理及推论等基本性质 ，借助有关圆心角、圆周角、弧之间的关系构建有关点、线、 图形之间的特殊形状、位置及大小关系．
【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？ 2．梯形的面积公式是什么？三角形的面积公式是什么？ 3．如何画以CD为边，且与梯形ABCD面积相等的三角形？ 4．如何画以AB为边，且与梯形ABCD面积相等的平行四边形？
【解题思路】
|针对训练| 1．如图 Z2－17，正方形网格中的每个小正方形的边长都
(1)在图①中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形 (2)在图②中画出一个顶点均在格点上的正方形． 解：(1)如图①所示：平行四边形， 即为所求；
图Z2－7
6．【2017·赣州模拟】如图Z2－7，由6个形状、大小完全相 同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的 格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．
图Z2－19
解：(1)以AB为边，另两个顶点C，D也在格点上的菱形ABCD 有多种画法，如下图所示．
3．【2016·赣州】适应性考试在10×10的正方形网格中(每 个小正方形的边长为1)，线段AB在网格中的位置如图Z2－19所 示．
请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图． (2)在图②中，画出一个以A，B为顶点，另两个顶点C，D也 在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即 可)．其面积值是________．
(2)在图②中画一个等边三角形．
解：(1)利用菱形的性质结合 正六边形的性质得出符合题 意的答案，如图①所示： △ABC即为所求；
图Z2－4
解：(2)利用等边三角形的性质以及 菱形的性质得出符合题意的答案， 如图②所示：△ABC即为所求．
4．【 2017·江西】如图Z2－5，已知正七边形ABCDEFG， 请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
图Z2－8
例2 【2015·江西】⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度 的直尺，根据下列条件分别在图Z2－8①，②中画出一条弦，使 这条弦将△ABC分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹)
(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.
解：(2)如图②，AF即为所求的弦． 理由：∵l切⊙O于点P，作射线PO， 交BC于点E，则PO⊥l. ∵l∥BC，∴PO⊥BC. 由垂径定理，知E是BC的中点， 延长AE交⊙O于点F，则AF即为所求作的弦．
(2)在图②中画直线l平分△DAC的面积． 解：(1)如图①，射线AE即为所求；
图Z2－15
(2)如图②，直线AF即为所求．
类型3 在网格中作图「14年17题」
【解题方法】 此类题通常以网格或坐标为背景，关键是把握网 格或坐标特征：各格点之间的距离可能为正整数，也可能为无 理数，借助勾股定理的逆定理构建直角三角形等，酝酿与构建 相关图形的形状、位置及大小．
专题 无刻度直尺作图
类型1 在三角形、四边形及多边形中作图「17年16题 16年 17题」
【解题方法】 在基本图形(三角形、特殊四边形等)中构建特 殊图形的位置、形状关系的无刻度直尺作图，一是准确把握背 景基本几何图形的形状、大小、位置关系；二是借助于背景图 形相关点、线、角及基本图形性质、判定的基础上发现作图途 径、作图方法，进而酝酿与构建有关图形的位置、形状、大小 之间的内在关系、结构关系．
(2)在图②中画一条弦，平分△ABC的面积． 解：(2)如图②，CE为所作．
图Z2－12
5．【2017·吉安模拟】请仅用无刻度的直尺画图： (1)如图Z2－13①，△ABC与△ADE是圆内接三角形，AB＝ AD，AE＝AC，画出圆的一条直径． (2)如图②，AB，CD是圆的两条弦，AB＝CD且不相互平行 ，画出圆的一条直径．
解：如图所示(注：图①中 OA1，OA2 均符合题意)．
图Z2－18
3．【2016·赣州】适应性考试在10×10的正方形网格中(每 个小正方形的边长为1)，线段AB在网格中的位置如图Z2－19所 示．
请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图． (1)在图①中，画出一个以AB为边，另两个顶点C，D也在格 点上的菱形ABCD. (2)在图②中，画出一个以A，B为顶点，另两个顶点C，D也 在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小(仅选其一即 可)．其面积值是________．