实验2-行列式与方程组的求解

2 行列式与方程组的求解

1.

求行列式的命令； 2.

求矩阵秩的命令； 3.

求矩阵的最简行矩阵的命令； 4.

满秩线性方程组的各种方法； 5.

符号变量的应用； 6. 验证与行列式相关的公式和定理。

例2.1 已知非齐次线性方程组：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+=+++-=+-++=+++-=++++85

1035372227772902116115359131073280543265432154321

543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 要求用下列方法求解该方程组。

（1）求逆矩阵法；

（2）矩阵左除法；

（3）初等行变换；

（4）克莱姆法则。

解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：

b Ax =，则b A x 1-=，直接在MATLAB 的命令窗口输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];

b=[80;59;90;22;85];

x=inv(A)*b

%或：x=A^-1*b

计算结果为：

x =

9.0000

3.0000

2.0000

1.0000

2.0000

（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，

Matlab 软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，

针对方程组的矩阵形式b Ax =，可用左除法

等式两端同时左除A ，得到：“b A x \=”，即b A x 1

-=

针对矩阵方程B XA =，，可用右除法，等式两端同时右除A ，A B X /=，

即1-=BA X

在MATLAB 命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];

b=[80;59;90;22;85];

x=A\b

% 符号“\”即为左除运算，注意它的方向。

结果为：

x =

9.0000

3.0000

2.0000

1.0000

2.0000

（3）用初等行变换，

把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，

从而得到方程组的解。在MATLAB 命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];

b=[80;59;90;22;85];

U=rref([A,b])

运算结果为：

U =

1 0 0 0 0 9

0 1 0 0 0 3

0 0 1 0 0 2

0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 2

（4）根据克莱姆法则，有：D

D x i i

， 其中D 是方程组的系数行列式， i D 是用常数列向量b 代替系数行列式的

第i 列所得到的行列式。

用Matlab 的M 文件编辑器，编写la01.m 文件如下：

% 用克莱姆法则求解方程组

clear % 清除变量

n=input('方程个数n ＝') % 请用户输入方程个数

A=input('系数矩阵A=') % 请用户输入方程组的系数矩阵

b=input('常数列向量b=') % 请用户输入常数列向量

if (size(A)~=[n,n]) | (size(b)~=[n,1])

% 判断矩阵A 和向量b 输入格式是否正确

disp('输入不正确,要求A 是n 阶方阵，b 是n 维列向量')

% disp ：显示字符串

elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零

disp('系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。')

else

for i=1:n % 计算x1,x2,...xn

B=A; % 构造与A 相等的矩阵B

B(:,i)=b; % 用列向量b 替代矩阵B 中的第i 列 x(i)=det(B)/det(A); % 根据克莱姆法则计算x1,x2,...xn end

x=x' % 以列向量形式显示方程组的解 end

在MATLAB 命令窗口中输入：

la01

得到以下人机对话结果：

方程个数n ＝5

n =

5

系数矩阵A=

[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10]

A =

6 2 3 4 5

2 -

3 7 10 13

3 5 11 -16 21

2 -7 7 7 2

7 3 -5 3 10

常数列向量b=[80;59;90;22;85]

b =

80

59

90

22

85

x =

9

3

2

1

2

例2.2求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=411183073920325911311363164627A 的逆，要求用以下方法：

（1）矩阵左除和右除运算；

（2）初等行变换；