奇妙的雪花曲线

奇妙的雪花曲线

教学目标:

(知识目标)

1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;

2 使学生了解分形几何的有关内容。

(能力目标)

1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;

2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。

(情感目标)

1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点

2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。

教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;

教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;

教学方法:引导探究式

教学媒体:计算机

教学过程设计:

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一、问题背景:

播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。

二、研究问题:

如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。

接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,

由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。

雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)

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问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,

导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。

问题2:逐步生长，探究周长的变化规律

引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因

此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。

让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:

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得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有

什么变化,

当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:

n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;

10 n=82时，周长约为5.27×10cm。

由此，学生可以得到结论:随着生长次数n的增加，雪花曲线的周长会越来越长。

问题3:逐步生长，探究面积的变化规律

为了进一步探究雪花曲线围成面积的变化规律，适时提醒学生注意新生成的小三角形的面积、个数的变化情况。同时，引导学生用类比的方法研究面积问题:

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得出面积的变化规律后引导学生进一步发现公式中前项与后项的关系，引出等比数列的问题，让学有余力的同学在课下继续探讨关于面积的一些结论。

三、拓展问题:

利用课件将雪花曲线放大，引导学生观察发现:由于在雪花曲线的制作过程中，每一次都是在三角形的中央向外作等边三角形，因此得到的小三角形和原三角形都是相似的，即曲线的局部与局部之间是相似的，从而对雪花曲线的自相似性有初步的印象。

雪花曲线体现的是一种自相似性，如果你是个有心人，一定会发现在自然界中，有许多景物都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分相似。

在数学上，把这种部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学，它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

下面的两副图片是计算机设计的美丽的分形图案，人们称为分形艺术。

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下图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。下面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现:无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。

此处缺图

分形几何专门用数学来模拟、解释大自然。今天我们研究的雪花曲线就是用数学来模拟海岸线的一个例子。分形几何迷人的特性和广泛的应用前景正等待人们去探索。

四、课堂总结

1 研究了雪花曲线的周长及面积等问题，并利用相似三角形的性质找到了它们的变化规律;

2 应用类比的方法探讨问题，解决问题时注意选择从局部到整体的研究问题的策略;

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3 生活是丰富多彩的，数学来源于生活，又将服务于生活。

五、作业

1、探究性问题:研究Sierpinski三角形面积和周长的变化。

在Sierpinski三角形中，我们首先作一个完全填充的三角形。

然后，我们从中间移去一个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形，如此继续下去，最后在Sierpenski三角形中每个小三角形都是大三角形的更小版本。

设原三角形的面积为S ，周长为 C，试探究Sierpinski三角形面积和周长的变化规00

律。

2、进一步查找分形几何的相关资料，如分形的起源、分形的特征等。

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