幻方问题公式
合数阶幻方的构造法
合数阶幻方的构造法一、概念和公式1、设n 阶矩阵()n ij n nA a ⨯=，,k b N ∈（1）定义()n ijn nkA ka ⨯=即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都乘以k ； （2）()n ij n nA b a b⨯+=+，即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都加上b ；由（1）（2）得出：()n ij n nkA b ka b ⨯+=+（3）()n m ij m mn mn A B a B ⨯⨯=⨯ 2 、()1n n n I ⨯= ，()n n n kI k ⨯= 二、用3幻方构造9阶幻方3492357816A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33811246705A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，3111111111I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，339999999999B I ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3333333333391(1)246705B B B A B B B B B B ⎛⎫⎪-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，()333333333333A A A A A A A A A A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3333339333333333333333339(1)246705B A B A B A A A B A B A B A B A B AA B A ⨯+++⎛⎫⎪=-⨯+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭就是9阶幻方。
其中33949992939597989196k k k kB A k k k k k k +++⎛⎫⎪+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭表示由91,92,,99k k k +++ 这9个数构成的3阶幻方。
33333393333333333331362976817413181130323475777912141635283380737817101538222720404538586356246212325394143575961705261924443742625560677265492495447666870357485B A B A B A A B A B A B A B AA B A +++⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪+++⎝⎭052716469816534651⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭二、合数(3,;3,)n ab a a N b b N =≥∈≥∈ 已知a A ，b A ，1、 做出1a A -，就是把a A 中的每个数都减去12、 做出b I ，以及2b b B b I =3、 计算(1)a b A B -⨯4、 做出()b b b a abb a a A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 5、 那么()(1)n a b b a a A A B A ⨯=-⨯+就是一个n 阶幻方。
三阶幻方最简单的口诀
三阶幻方最简单的口诀1. 幻方的魅力你有没有听说过三阶幻方？这东西可有意思了，简单来说，就是一个3×3的方阵，里面填上1到9的数字，要求每一行、每一列和两个对角线的数字加起来都得是同一个数。
听起来是不是有点复杂？别着急，咱们慢慢聊。
首先，咱们得知道，这个“同一个数”其实是15。
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9加起来是45，而这个45再分成三组，每组15。
想想看，真的挺神奇的吧！这就像是数学里的魔法，既简单又有趣。
说到这，谁还没被这样的魔法吸引呢？2. 如何排列2.1 排列步骤要想轻松搞定三阶幻方，我们得有个简单的口诀。
听好了，首先，把数字1放在中间上方的格子里。
然后，接下来放的数字要遵循一个“左上右下”的原则。
具体点说，就是当你放了一个数字之后，接下来的数字应该在它的右上方，如果那个位置已经有数字了，那就往下移动一格，继续放。
2.2 举个例子比如说，第一步你放上1，然后接下来的数字2，你就要放在1的右上方，结果发现位置空着，就放上去。
接着放3，你会发现3的右上方位置又空着，继续放。
如果不小心越过了边界，别担心，直接从对面的边界进来就行。
记住，永远都不能让数字重叠。
这样排下去，慢慢的，你会发现所有的数字都能填满，最后的结果可真是让人眼前一亮。
虽然看起来好像有点绕，但其实只要试几次，你就能熟能生巧，像老手一样轻松掌握。
3. 幻方的乐趣3.1 朋友聚会的小把戏你可以想象一下，在朋友聚会的时候，突然用这个三阶幻方给大家来一段小表演，肯定能吸引眼球。
大家围过来，啊呀，怎么做到的呀！你就可以得意洋洋地跟他们说：“这可是我最近学会的绝活！”多么拉风啊，简直就像是从魔术师的手中变出来的一样。
3.2 学习中的好帮手而且，这三阶幻方还不仅仅是个游戏。
它还可以锻炼我们的逻辑思维，特别适合那些喜欢挑战自己的朋友们。
就像古人说的“开卷有益”，我们在玩乐中学习，顺便培养我们的耐心和专注力，真是一举两得。
在这个快节奏的生活中，抽出一点时间，和家人朋友一起围坐，动动脑筋，不仅能拉近彼此的距离，也能享受那种解谜后的成就感。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
幻方做题技巧
幻方做题技巧幻方啊，就像一个神秘的数字魔法阵。
咱要解开它的奥秘，可得有点小窍门。
先说说三阶幻方吧。
这就好比是幻方里的小老弟，简单又有趣。
你得知道幻和这个概念，啥是幻和呢？就像是这个幻方里的一个小目标。
对于三阶幻方来说，它的幻和特别好算，你把这九个数里最大的数加上最小的数，然后乘以个1.5就成了。
比如说1到9这九个数，最大的是9，最小的是1，那幻和就是(9 + 1)×1.5 = 15。
知道了幻和，就像手里有了一把小钥匙。
咱再看这九个数怎么往幻方里填。
中间数那可是个关键的主儿，就像一个小班长，在三阶幻方里，这中间数就得填5。
为啥呢？因为它在这堆数里位置特殊呗。
你把5填在中间，就像在这个魔法阵的中心定了个桩。
然后呢，你就可以试着把和为10的数对往幻方里填，像1和9，2和8，3和7，4和6，就像给小朋友找小伙伴，一对一对的。
不过这填的时候也得有点小技巧，不能瞎填。
你可以先在角上找个位置给1，为啥是角上呢？角上的数啊，它要跟更多的数相加凑幻和呢。
你把1填在角上，那跟1凑幻和15的数就有9和5了，这样就比较容易确定其他数的位置。
再讲讲五阶幻方。
这五阶幻方可比三阶的复杂点了，就像从小学的数学题跳到了初中的难度。
这时候幻和的计算也有点不一样了。
你得把这25个数里最小的数加上最大的数，然后乘以个2.5。
这时候填数也有个小办法。
你可以先把1填在最上面一行中间的位置，就像在舞台的正中央先放了个小演员。
然后呢，你就按照斜着往上走的规则填数。
要是走到幻方的外面了，你就像这个数字坐了时光机一样，从幻方的对面钻出来接着填。
要是斜着走的位置已经被占了，那这个数字就乖乖地填在这个被占数字的下面，就像排排坐吃果果一样。
还有一种幻方是偶数阶幻方。
偶数阶幻方就像两个好朋友手拉手。
比如说四阶幻方，你可以把这个幻方分成四个小方阵。
先把1到16这16个数按顺序填进去，然后呢，你就像个调皮的小精灵，把对角线上的数进行交换。
把左上角小方阵和右下角小方阵里的对角线的数交换，右上角小方阵和左下角小方阵里的对角线的数也交换。
三阶幻方的解法最简单的口诀
三阶幻方的解法最简单的口诀三阶幻方是指一个 $3\\times 3$ 的矩阵，其中填入了 $1$ 至 $9$ 的数字，使得每个数字在该矩阵中出现且仅出现一次，并且每行、每列和两条对角线的数字和均相等。
解决三阶幻方问题最简单的口诀如下：1. 定义首先，我们需要明确一些基本的概念和定义。
矩阵：$m \\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行、$n$ 列数字（称为元素）所组成的矩形数组，通常用方括号表示，如下所示：$$\\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{bmatrix}$$矩阵元素：矩阵中每一个数字称为矩阵元素。
对角线：矩阵中从左上角到右下角和从右上角到左下角的线称为对角线。
主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
副对角线：从右上角到左下角的对角线称为副对角线。
2. 解法接下来，我们将逐步介绍如何解决三阶幻方问题。
步骤 1：确定中间的数字由于每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此中间的数字必须是$5$。
$$\\begin{bmatrix}\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset \\\\\\emptyset & 5 & \\emptyset \\\\\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset\\end{bmatrix}$$步骤 2：填充四个角的数字要求每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此填充四个角的数字时需要保持对称。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总幻方是指将一组数字排列成一个正方形矩阵，使得同一行、同一列以及对角线的所有数字之和均相等。
幻方问题早在数学家古希腊的时候就开始研究，并且已经有了多种解法。
以下是常见的幻方常规解法汇总：1.奇阶幻方解法：奇阶幻方是指正方形矩阵的边长为奇数，例如3阶、5阶、7阶等。
下面介绍一种常见的奇阶幻方解法：- 准备一个nxn的方阵，初始时全部填0；-从方阵的中间行的最左列开始，用数字1填充；-按照以下规则填充剩余位置：-如果当前位置的上一行和左一列都为空，则填充上一行、左一列数字的右上位置；-如果当前位置的上一行为空，而左一列不为空，则填充上一行数字的位置；-如果当前位置的上一行不为空，而左一列为空，则填充左一列数字的位置；-如果当前位置的上一行和左一列都不为空，则填充当前位置的下一行；-当填充到n*n时，得到了一个满足要求的奇阶幻方。
2.双偶阶幻方解法：双偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数（4n，例如4阶、8阶、12阶等）。
下面介绍一种常见的双偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的双偶阶幻方。
3.单偶阶幻方解法：单偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数加2（例如6阶、10阶、14阶等）。
下面介绍一种常见的单偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的单偶阶幻方。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
多维幻方通解公式
多维幻方通解公式一、多维幻方的定义1、二维幻方：将幻方由数组H（X1，X2）表示，称H（X1，X2）为二维幻方。
2、三维幻方：将幻立方由数组H（X1，X2，X3）表示，称H（X1，X2，X3）为三维幻方。
3、多维幻方：m维数组H（X1，X2，X3，······，Xm)如果满足"幻方属性"，称为M维幻方。
二、二维幻方公式H（X1，X2）=N*MOD（aX1+bX2+p,N）+MOD(cX1+dX2+q,N)+1 （1）N为幻方阶数，N不是2，3的倍数，a,b,c,d,p,q都是整数，如果a,b,c,d与N 互质，且(ad-bc)、（a±b）、(c±d)都不等于0并与N互质。
那么（1）式就是一个N阶完美幻方的解。
例：H（X1，X2）=7*MOD（X1+2X2,7）+MOD(X1+3X2,7)+1是一个7阶完美幻方。
H（X1，X2）=11*MOD（2X1+X2,11）+MOD(X1+3X2,11)+1是一个11阶完美幻方。
H（X1，X2）=13*MOD（5X1+2X2+1,13）+MOD(X1+7X2,13)+1是一个13阶完美幻方。
H（X1，X2）=N*MOD（X1+2X2,N）+MOD(X1+3X2,N)+1是一个N阶完美幻方。
（N 与6互质）（N=5，7，11，13，17，19，23，25，…….）以上几例大家很容易验证。
当N是2，3的倍数时，a,b,c,d要详细讨论且MOD（aX1+bX2+p,N）函数要进行修正。
三、三维幻方公式H（X1，X2，X3）=N*N*MOD（A1X1+B1X2+C1X3+P1,N）+N*MOD(A2X1+B2X2+C2X3+P2,N)+MOD(A3X1+B3X2+C3X3+P3,N)+1 （2）N为幻立方阶数，N不是2，3，5，7的倍数，Ai,Bi,Ci,pi都是整数，如果Ai,Bi,Ci 与N互质，且三阶行列式┃Ai Bi Ci┃、（Ai±Bi）、(Ai±Ci)、（Bi±Ci）、（Ai±Bi±Ci）都不等于0，并与N互质。
小学数学《幻方问题》
幻方问题
幻Hale Waihona Puke 问题定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图 中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具 有这种性质的图表，称为“幻方”。
别名：河图、洛书、横纵图、数独、九宫格等。
幻方问题
把1~9这9个数分别填入圈中，使每条直线上的三个数的 和相等，如下图。
294 753 618
29 4 75 3 618
总和：1+2+3+…+9 =45 幻和：45÷3=15 中间数：15÷3=5
3 2
4
幻方 阶数：3阶幻方 幻和：总和÷阶数 中间数：幻和÷阶数 角块上的数：对角两棱块和÷2
打卡习题
用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数，构造 一个三阶幻方。
自己画图，认真完成！
小学奥数三阶幻方
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
多维幻方通解公式
多维幻方通解公式一、多维幻方的定义1、二维幻方：将幻方由数组H（X1，X2）表示，称H（X1，X2）为二维幻方。
2、三维幻方：将幻立方由数组H（X1，X2，X3）表示，称H（X1，X2，X3）为三维幻方。
3、多维幻方：m维数组H（X1，X2，X3，······，Xm)如果满足"幻方属性"，称为M维幻方。
二、二维幻方公式H（X1，X2）=N*MOD（aX1+bX2+p,N）+MOD(cX1+dX2+q,N)+1 （1）N为幻方阶数，N不是2，3的倍数，a,b,c,d,p,q都是整数，如果a,b,c,d与N 互质，且(ad-bc)、（a±b）、(c±d)都不等于0并与N互质。
那么（1）式就是一个N阶完美幻方的解。
例：H（X1，X2）=7*MOD（X1+2X2,7）+MOD(X1+3X2,7)+1是一个7阶完美幻方。
H（X1，X2）=11*MOD（2X1+X2,11）+MOD(X1+3X2,11)+1是一个11阶完美幻方。
H（X1，X2）=13*MOD（5X1+2X2+1,13）+MOD(X1+7X2,13)+1是一个13阶完美幻方。
H（X1，X2）=N*MOD（X1+2X2,N）+MOD(X1+3X2,N)+1是一个N阶完美幻方。
（N 与6互质）（N=5，7，11，13，17，19，23，25，…….）以上几例大家很容易验证。
当N是2，3的倍数时，a,b,c,d要详细讨论且MOD（aX1+bX2+p,N）函数要进行修正。
三、三维幻方公式H（X1，X2，X3）=N*N*MOD（A1X1+B1X2+C1X3+P1,N）+N*MOD(A2X1+B2X2+C2X3+P2,N)+MOD(A3X1+B3X2+C3X3+P3,N)+1 （2）N为幻立方阶数，N不是2，3，5，7的倍数，Ai,Bi,Ci,pi都是整数，如果Ai,Bi,Ci 与N互质，且三阶行列式┃Ai Bi Ci┃、（Ai±Bi）、(Ai±Ci)、（Bi±Ci）、（Ai±Bi±Ci）都不等于0，并与N互质。
三阶幻方公式
三阶幻方公式三阶幻方是一种数学游戏，它包含一个3x3的矩阵，每行、每列和对角线上的数字和都是15，而各格中的数字则由1到9不等。
它的解法是在空格中填入1到9的数字，使每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方的解法一般有两种：一种是推理法，即根据每行、每列和对角线上的数字和等于15，来推断哪些数字可以填入，从而找出解法；另一种是公式法，即利用三阶幻方的公式，来计算出空格中应填入的数字。
三阶幻方的公式为：a +b +c = 15d +e +f = 15g + h + i = 15a + d + g = 15b + e + h = 15c + f + i = 15a + e + i = 15g + e + c = 15其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表三阶幻方矩阵中的九个数字。
利用上述公式，可以找出三阶幻方的解法。
例如，假设已知a=3，b=2，c=1，d=9，e=7，f=8，g=4，则可以算出h=5，i=6。
这样就可以确定三阶幻方矩阵中的九个数字，而且每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方公式是由英国数学家哈里·韦恩斯所发明的，它可以用来解决三阶幻方的谜题，而且相比推理法，它更加方便快捷。
它的出现，不仅节省了解决三阶幻方的时间，而且也更有趣，让更多人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方不仅是一种普通的数学游戏，它还可以用来培养孩子的数学思维能力。
它的解法可以从几个方面来考虑，如数学逻辑、排列组合和推理等，这些都可以帮助孩子提高解题能力，同时也可以培养孩子的独立思考能力。
总之，三阶幻方公式是一种优秀的算法，它不仅可以解决三阶幻方的谜题，还可以培养孩子的数学思维能力。
它的简单易用，使更多的人喜欢上了这种数学游戏。
幻方的概念
九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。
九宫之数源于易经中，《易经》。
图中边框外围的数字之和就是幻和。
红色为偶数，黑色为奇数。
可以说反幻方是一种特殊的幻方。
反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。
如下图多种3阶反幻方。
多种反幻方幻方的历史幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n ^2+1) /2其中n为幻方的阶数，所求的数为S.幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
关于幻方的公式
关于幻方的公式幻方这玩意儿，听起来好像挺神秘莫测的，但其实只要咱好好琢磨，也能把它弄得明明白白。
先来说说啥是幻方。
幻方就是一个正方形的表格，里面填了数字，而且每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
就像一个神奇的魔法盒子，怎么加都能得到相同的结果。
咱来看看幻方的公式。
一般来说，对于一个 n 阶幻方，幻和的值可以通过这个公式算出来：幻和 = n×(n² + 1)÷ 2 。
比如说一个 3 阶幻方，那幻和就是 3×(3² + 1)÷ 2 = 15 。
给您讲讲我以前教学生幻方的时候遇到的一件有趣的事儿。
有个小家伙，怎么都搞不明白幻方的公式，愁得小脸都皱起来了。
我就跟他说：“你就把这个幻方想象成一个装满宝贝的宝箱，每行每列和对角线都是通往宝箱的不同通道，而这个幻和就是宝箱里宝贝的总数。
不管你从哪个通道进去，拿到的宝贝都一样多。
”这小家伙眼睛一下子亮了，开始认真琢磨起来。
那怎么用这个公式来构造幻方呢？有很多方法。
比如罗伯法，它就有一套特定的规则。
先把 1 放在第一行的中间，然后依次往右上方填数字。
如果碰到边界了，就转到另一边。
再比如杨辉法。
它是把数字从小到大按顺序斜着填，出了幻方再调整位置。
幻方在数学里的应用可多啦。
像在密码学里，就可以用幻方来加密信息，让别人摸不着头脑。
还有在数学游戏里，幻方能让咱们玩得不亦乐乎。
学习幻方的过程，就像是一场有趣的冒险。
有时候会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但只要不放弃，找到那个公式的线索，就能走出困境，看到美丽的风景。
不管是简单的三阶幻方，还是复杂的高阶幻方，只要掌握了公式和方法，都能轻松应对。
所以啊，别被幻方一开始的神秘样子吓到，跟着公式一步步来，就能揭开它的面纱，发现其中的乐趣和奇妙。
希望您也能在幻方的世界里畅游，感受数学的魅力！。
《组合数学》教案1章（排列组合基础）
《组合数学》教案1章（排列组合基础）第1章组合数学基础1.1绪论（一）背景起源：数学游戏幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。
这样的n阶方阵称为n阶幻方。
每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。
例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。
关心的问题存在性问题：即n阶幻方是否存在？计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。
奇数阶幻方的生成方法：一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。
例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。
问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否定的。
A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1B3 C4 D5 E6 F1 A2C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。
求本质上不同的染色方案。
举例：形式总数：43＝81种。
实际总数（见第6章）：L ＝()32334124++＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。
奇数阶幻方求解技巧
奇数阶幻方求解技巧奇数阶幻方是一种特殊的方阵，其中的所有数字从1到$n^2$（n为方阵的阶数）连续排列，并且所有行、列和对角线的和相等。
求解奇数阶幻方的问题是一个古老而有趣的数学难题。
虽然没有一种通用的方法可以适用于所有的奇数阶幻方，但是有一些技巧和规则可以帮助我们更好地解决这个问题。
1. 规则1：确定中间数奇数阶幻方的中间数一定是$n^2$的一半，即$(n^2 + 1) / 2$。
由于幻方中所有行、列和对角线的和相等，所以可以将中间数放置在中间行的中间列（例如n=3时，中间数5可以放在第2行第2列的位置）。
2. 规则2：填充右上角从幻方的第一行开始，从中间数位置的右上方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从2的右上方（即第一行第二列的位置）开始填充，然后填充到第一行的右边界，继续填充到第一个位置（即第三行第一列的位置）。
3. 规则3：填充左下角从幻方的最后一行开始，从中间数位置的左下方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从8的左下方（即第三行第二列的位置）开始填充，然后填充到最后一行的左边界，继续填充到最后一个位置（即第一行第三列的位置）。
4. 规则4：填充其他位置从填充右上角和左下角的位置开始，按照以下规则填充其他位置：- 如果下一个填充位置在方阵的边界之外，则将其转移到相应的对角边界处。
- 如果下一个填充位置已经被填充过了，则将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
5. 规则5：确定重复位置最后一个规则是确定重复位置。
当下一个填充位置部分或完全重叠时，我们需要将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
使用以上的规则和技巧，我们可以逐步填充奇数阶幻方的所有位置，直到所有的位置都被填满。
这样，我们就可以得到一个满足条件的奇数阶幻方。
总结：- 确定中间数的位置，并将其放置在中间行的中间列。
- 从中间数位置的右上方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。
三级幻方公式和口诀
三级幻方公式和口诀好的，以下是为您生成的文章：幻方这玩意儿，听起来好像挺神秘挺高大上的，其实啊，只要掌握了三级幻方的公式和口诀，那就是小菜一碟！咱们先来说说三级幻方是啥。
想象一下，一个 3×3 的方格，就像咱们玩的九宫格游戏那样，要把 1 到 9 这几个数字填进去，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这就是三级幻方啦。
那这个相等的和是多少呢？这就得用到咱们的公式啦。
对于三级幻方，这个和就是 15 。
你可能会问，这 15 是咋来的？其实很简单，1 到9 这 9 个数字相加，也就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 ，而这45 要平均分配到三行或者三列中，那每行或者每列的和自然就是 45÷3 = 15 啦。
接下来，就是神奇的口诀登场的时候啦！“二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
”这口诀听起来有点像绕口令，是吧？但其实理解了就特别好用。
我给您讲讲我当初教小朋友这个口诀的事儿。
有一次上课，我就给小朋友们讲三级幻方。
我先把口诀写在黑板上，小朋友们一脸懵地看着我，那小眼神好像在说：“老师，这啥呀？”我笑着跟他们说：“别着急，咱们一起来玩个游戏。
”我先在黑板上画了一个 3×3 的方格，然后按照口诀，把数字一个个填进去。
“二四为肩”，我就在最上面一行的左右两角填上 2 和 4 ；“六八为足”，就在最下面一行的左右两角填上 6 和 8 ；“左七右三”，在左边一列的中间和右边一列的中间分别填上 7 和 3 ；“戴九履一”，最上面一行中间是 9 ，最下面一行中间是 1 ；最后，“五居中央”，正中间的格子填上 5 。
填完之后，我让小朋友们算算每行每列和对角线的和，他们一算，嘿，都是 15 ，一个个眼睛都亮了，兴奋得不行。
然后我就让他们自己试着填一填，一开始有的小朋友还会出错，不是把数字位置放错了，就是算错了和。
我就一个个去指导，告诉他们要记住口诀，多练几遍。
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
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幻方问题公式
幻方是一个由数字组成的正方形阵列，其中每行、每列和每个对角线的数字之和都是相同的。
以下是幻方的计算公式：
对于任意n阶幻方，每行、每列和每个对角线的数字之和可以用以下公式表示：
S = n(n^2 + 1) / 2
其中，n是幻方的阶数。
当n为奇数时，称为奇阶幻方。
当n为偶数时，幻方分为双偶幻方和单偶幻方。
对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法生成。
具体步骤如下：
1. 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…。
2. 如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
3. 如果出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格。
4. 如果出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格。
5. 如果落步格已有数字，则向上移一格继续填写。
对于偶阶幻方，可以使用以下公式计算每行、每列和每个对角线的数字之和：S = n(n/2)^2 + (n/2)^2
其中，n是幻方的阶数。