固体物理基础能带理论Ⅰ

Rn
Rn
根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn Rn )
K Rn
eik Rn
(r)
证毕
§ 5.1 布洛赫定理
二、K的值及物理意义
电子波选取周期性边界（同晶格振动）
((rr)N2(r2 )N1(1r)
N
33
)
根据Bloch波： eik Rn 1
r k
uur Rn
1964, W. Kohn等建立密度泛函理论， 借助与计算机，能够定量计算高分子、纳 米材料、介观器件等。（精确计算）
Kokn,物理学家、1998年诺贝尔化学奖
§ 5.0 绪论
五、能带的近似理论
能带论是一种近似理论，主要有三个假设（近似）：
1）Born——Oppenheimer 绝热近似 认为离子实是静止不动的 理由之一：原子振动相对于原子间距是 很小的，5%，所以电子感觉到晶格的畸 变很小(正常态）； 理由之二：原子质量大，相对与电子的 运动速度慢。
一、Bloch 定理（2）
单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：
(r
Rn
)
eik Rn
(r )
即：平移晶格矢量 Rn 时，波函数只增加一
个相因子
eik Rn
在一维情况下被称为Floquet定理， 因为Floquet首先证明了一维情况。
§ 5.1 布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
H
(r)
(r )
E
(r )
H
(r
Rn
)
(r
Rn
)
E
(r
Rn
)
V (r ) V (r Rn )
H (r ) H (r Rn )
H
(r)
(r
Rn
)
E
(r
Rn
)
(
r
Rn
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Rn
(r)
§ 5.1 布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
2
由归一性： 1 Rn
exp i
§ 5.2 近自由电子近似
一、模型和微扰计算
V
周期势： V (x) V (x la)
1.零级近似：
V
(x)
, V ,
x 0, x L 0 x L
2 2m
d2 dt 2
V
0 ( x)
E 0
0 ( x)
§ 5.2 近自由电子近似
一、模型和微扰计算
零阶解：
kl
l Na
2
,
l : 整数
Ek0
2k 2 2m
§ 5.0 绪论
五、能带的近似理论
2）单电子近似
其他电子的影响忽略，或归结到势场。
理由：由于泡利不相容原理，两电子 间的平均距离较大。
3）周期场近似
离子实或其他电子的作用归结为一个周期
性势场：
V
(r )
V
(r
Rn
)
§ 5.0 绪论
五、能带的近似理论 能带问题简化为“单电子在周期场”的运动
H (r) E (r)
Band - 3
Band gap
Band - 2
Band gap
Band - 1
§ 5.0 绪论
一、初识能带
§ 5.0 绪论
二、能带的成因
1
2
2
a1 b 2
反对称，
A 1 2
2, 反键态，
能量高
对称，
S 1 2 2, 成键态，
能量低
§ 5.0 绪论
二、能带的成因
2p
2s
V 3 (2 )3
§ 5.1 布洛赫定理
二、K的值及物理意义
k的意义：k是Bloch波的波矢，但 hk并不是
电子的动量。
hk 被称为“晶体动量”，K是描述电子状态
的一个量子数。
§ 5.2 近自由电子近似
实际晶格中，势能是周期性变化的， 若势能起伏不太大
➢取平均势 ➢势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）
(r )
eikru(r)
u是晶格的周期函数：
u(r
Rn
)
u
(r)
布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅 受周期性调制的平面波。
这样的电子也称为 Bloch 电子（区别与自由电 子）：它的波幅从一个原胞到另一个原胞时发生 周期性变化。
Bloch 电子在整个晶体中运动，也称晶体电子 。
§ 5.1 布洛赫定理
固体物理基础
第五章 能带理论Ⅰ
§ 5.0 绪论
Next：什么是能带理论？
§ 5.0 绪论
一、初识能带
经典理论：连续能量 量子理论：量子化能级（分立）
准连续能级
§ 5.0 绪论
一、初识能带
当原子结合成固体，形成带 状能级－能带 大量能级形成准连续的带， 带间可能有间隔（带隙） 能带同时具有分立、连续的 能量特点
r k
(N1r1
N 2r 2
N3r3 )
h2
§ 5.1 布洛赫定理
二、K的值及物理意义
l为整数
可以取：
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
( l1 N1
,
l2 N2
,
l3 ) N3
根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：
Ni , Ni 1, , Ni
2
2
2
K态在第一BLZ 均匀分布，总数为N, 密度为：
V
0 k
(
x)
1 eikx L
解为平面波——因为忽略了晶格势的变化
Bloch波也是平面波，但波幅周期性变化
§ 5.2 近自由电子近似
一、模型和微扰计算
补充：Dirac 符号 波函数（态）
0 k
(
x)
~
k
0
0 k
(
x)*
~
k 0
正交归一性
左矢 右矢
Na
0
0 k'
(
x)
*
0 k
(
x)dx
~
k' k
0 kk '
分裂 2
1s
分裂 N
原子
分子
晶体
一般地，形成固体时，原子轨道能级展开成一个能带
§ 5.0 绪论
三、能带的重要意义
k
固体的导电性质，主要是能带结构决定， 而不是由电子的多少决定。
能带是分析新材料、设计新器件的基础－ 能带工程
能带的概念被推广到固体中光、声的传播 （1987光子晶体、声子晶体）
能带理论是凝聚态物 理中最重要的部分
2 2m
2
V
(r)
(r)
E
(r)
本 章 下 面 的 内 容 主 要 讨 论 这 种 单 电 子 Schordinger 方程的求解方法——初等量子力学
§ 5.1 布洛赫定理
Next:怎样求解周期场中的Schordinger 方程
§ 5.1 布洛赫定理
一、Bloch 定理（1）
在周期性势场中运动的电子的 波函数可写成布洛赫波的形式：
§ 5.2 近自由电子近似
§ 5.0 绪论
四、能带理论的发展
1900,Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、 热导；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计（量子）， 解释电子的热容量等。 固体的能带理论的建立：1928，F. Bloch 应用量子理论研 究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体 物理的基础。1931年，A. H. Wilson 依据能带理论，成功 地解释了金属、绝缘体和半导体的差别（定性研究）。