第四章 第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
第四章
第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
研考向·热点探究 随堂练· 知能提升 课后练·知能提升
[学习目标] 1．掌握平抛运动中的临界极值问题． 2．会分析圆周运动中三类面上的临界极值问题． 3．明确竖直面内圆周运动的两个模型——“轻绳”模型和 “轻杆”模型，熟练掌握两个模型做圆周运动的临界条件．
[解析] (1)如图甲所示，设球刚好 擦网而过，则击球点到擦网点的 水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝ h2－h1＝(2.5－2)m＝0.5 m，根据 位移关系x＝vt，y＝12gt2，可得v＝x 2gy，代入数据可得 v1＝3 10 m/s. 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移 x2＝12 m，
随堂练· 知能提升
课后练·知能提升
[跟踪训练] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，
半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆
的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨
道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到
轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道
半径为(重力加速度大小为g)(
v2 A.16g
第四章
第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
研考向·热点探究
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课后练·知能提升
热点一 平抛运动中的临界极值问题
1．若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显 表明题述的过程中存在着临界点． 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离” 等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止 点往往就是临界点． 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等 字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是 临界点．
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(2)设击球点高度为h3时，球恰好 既触网又压线，如图乙所示
设此时排球的初速度为v，击球点 到触网点的水平位移x3＝3 m，竖
直位移y3＝h3－h1＝(h3－2)m，代入速度公式v＝x
g 2y
可得v
＝3 h3－5 2；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公
到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限
度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受
的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
第四章
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[示例2] 如图所示，两个可视为质
点的相同木块A和B放在转盘上，且 木块A、B与转盘中心在同一条直线 上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力 均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过 转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大．为使细绳有弹 力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值 范围和细绳张力的最大值．
第四章
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[示例1] (教科版必修2P12发展空间改
编)如图所示，排球场总长为18 m，设
球网高度为2 m，运动员站在离网3 m
的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将
球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
式v＝x
2gy可得v＝12
5 h3
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两式联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论 球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界． [答案] 见解析
第四章
第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
v2 B.8g
v2 C.4g
) v2 D.2g
解析
答 案
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解析：设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，
由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝
1 2
mv2－
1 2
mv12
，
小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有x＝v1t,2R＝
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2．三种临界情况：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件
是：弹力FN＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，
常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度
在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球
的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
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[方法技巧] 极端分析法处理临界极值问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升 或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至 达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
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第四讲 平抛运动 圆周运动Fra Baidu bibliotek临界极值问题
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竖直位移y2＝h2＝2.5 m， 代入上面的速度公式v＝x 2gy，可求得v2＝12 2 m/s， 欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足 3 10 m/s＜v＜12 2 m/s.
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第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
1 2
gt2，求得x＝
－16R－8vg22＋4vg42
，因此当R－
v2 8g
＝0，即R＝
8vg2时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误．
答案：B
解析
答 案
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热点二 圆周运动中的临界极值问题
题型1 水平面内圆周运动临界问题 1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体 有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情 况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是 一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．
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[学习目标] 1．掌握平抛运动中的临界极值问题． 2．会分析圆周运动中三类面上的临界极值问题． 3．明确竖直面内圆周运动的两个模型——“轻绳”模型和 “轻杆”模型，熟练掌握两个模型做圆周运动的临界条件．
[解析] (1)如图甲所示，设球刚好 擦网而过，则击球点到擦网点的 水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝ h2－h1＝(2.5－2)m＝0.5 m，根据 位移关系x＝vt，y＝12gt2，可得v＝x 2gy，代入数据可得 v1＝3 10 m/s. 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移 x2＝12 m，
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[跟踪训练] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，
半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆
的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨
道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到
轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道
半径为(重力加速度大小为g)(
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1．若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显 表明题述的过程中存在着临界点． 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离” 等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止 点往往就是临界点． 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等 字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是 临界点．
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(2)设击球点高度为h3时，球恰好 既触网又压线，如图乙所示
设此时排球的初速度为v，击球点 到触网点的水平位移x3＝3 m，竖
直位移y3＝h3－h1＝(h3－2)m，代入速度公式v＝x
g 2y
可得v
＝3 h3－5 2；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公
到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限
度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受
的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
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点的相同木块A和B放在转盘上，且 木块A、B与转盘中心在同一条直线 上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力 均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过 转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大．为使细绳有弹 力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值 范围和细绳张力的最大值．
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的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将
球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
式v＝x
2gy可得v＝12
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) v2 D.2g
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答 案
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解析：设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，
由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝
1 2
mv2－
1 2
mv12
，
小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有x＝v1t,2R＝
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2．三种临界情况：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件
是：弹力FN＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，
常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度
在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球
的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
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[方法技巧] 极端分析法处理临界极值问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升 或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至 达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
第四章
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竖直位移y2＝h2＝2.5 m， 代入上面的速度公式v＝x 2gy，可求得v2＝12 2 m/s， 欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足 3 10 m/s＜v＜12 2 m/s.
第四章
第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题
1 2
gt2，求得x＝
－16R－8vg22＋4vg42
，因此当R－
v2 8g
＝0，即R＝
8vg2时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误．
答案：B
解析
答 案
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研考向·热点探究
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热点二 圆周运动中的临界极值问题
题型1 水平面内圆周运动临界问题 1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体 有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情 况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是 一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．