高中第一册(下)数学三角函数的最值

一．课题：三角函数的最值

二．教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 三．教学重点：求三角函数的最值． 四．教学过程：

（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助

角

(cos ϕϕϕ=

=

，化

为

)y x c ϕ=++求解方法同类型①；

③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；

④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i n

c o s t x x =±化为二次函数2(1)

2

a t y bt c -=++±

在闭区间[t ∈上的最值求之；

⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at b

y t

+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最

值； ⑥sin sin a x b

y c x d

+=

+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．

（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．

（三）例题分析：

例1．求函数sin cos()6

y x x π

=+-的最大值和最小值．

解：3sin cos cos sin sin

sin )6626

y x x x x x x ππ

π=++=+=+．

当23

x k π

π=+

，max

y =223

x k π

π=-

，min y =()k Z ∈．

例2．求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．

解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，

令s i n c o s |2)

x x t +

=，则21s i n c o s 2t x

x -=，∴22113

24(2)222

t y t t -=

-+=-+．

∵2[t =∉

，且函数在[

上为减函数，∴当t =时，即2()4

x k k Z π

π=+

∈

时，

min 92y =

-

t =32()4x k k Z ππ=-∈

时，max 92

y =+．

例3．求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈

，求函数y =的最大值；

（2）已知(0,)x π∈，求函数2

sin sin y x x

=+的最小值． 解：（1

）11

2

3sin sin y θθ

=

≤

=+

，当且仅当sin θ=max 12y =．

（2）设sin (01)x t t =<≤，则原函数可化为2

y t t

=+，在(0,1)上为减函数，∴当1t =时，min 3y =． 说明：sin sin a

y x x

=+

型三角函数求最值，当sin 0x >，1a >时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．

例4．求函数2cos (0)sin x

y x x

π-=

<<的最小值．

解：原式可化为sin cos 2y x x +=(0)x π<<，引入辅助角ϕ，1

tan y

ϕ=

，得

)2x ϕ+=，∴

sin()x ϕ+=

|

|1≤，得y ≥y ≤．

又∵1cos 1x -≤≤，∴2cos 0x ->，且sin 0x >，故0y >．∴y ≥max y ．

例5．《高考A 计划》考点32，智能训练10：已知sin sin αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是 ．

解：∵2

2

23(sin sin )(cos cos )2cos()4y αβαβαβ+++=+-=

+，∴25

2cos()4

y αβ=+-，故当

cos()1αβ-=时，max y =

．

（四）巩固练习：

1．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π

=

时，取得最大值

12，当49x π=时，取得最小值12

-，

则该函数的解析式是 （ B ）

()A 12sin()3y x π=- ()B 1sin(3)26y x π=+ ()C 1sin(3)26y x π=- ()D 1sin(3)26

y x π

=-+

2．若方程cos2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈[3,1]-．

五．课后作业：《高考A 计划》考点32，智能训练6，8，9，12，13，14．