高二数学两条直线所成的角

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高二数学向量法求异面直线所成角

向量法求两条异面直线所成的角
公式复习
Auu(xur1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
r
r
arr(x1, ry1, z1r),b (x2,r yr2, z2)
a b | a | | b | cos a,b
rr cos a,b
rr ra br
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
|b|
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
z
D1 A1
C1 F
B1
D O
A x
E Cy B
题后小结
向量法求两条异面直线所成的角
一 1.建立合适的空间直角坐标系般 2.将各点,各线段所在向量标出步 3.利用向量夹角公式计算骤 4. 判断所得夹角是两条直线所成角
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z

任意两条直线的夹角题目

任意两条直线的夹角题目
两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论。

从几何学
角度来看，两条直线的夹角可以分为以下几种情况：
1. 直线相交，当两条直线相交时，它们所形成的夹角称为相邻
补角，其大小为180度减去它们的补角的度数之和。

例如，如果直
线AB和直线CD相交，那么它们所形成的夹角的度数为180度减去
∠ABC和∠BCD的度数之和。

2. 平行直线，当两条直线平行时，它们之间的夹角为零度，或
者可以认为是180度，具体取决于所处的情境。

从数学角度来看，两条直线的夹角可以通过直线的斜率来计算。

当两条直线的斜率分别为m1和m2时，它们的夹角θ可以通过以下
公式计算得出，tan(θ) = |(m2 m1) / (1 + m1 m2)|。

这个公式
可以用来计算两条直线之间的夹角，不论它们是相交还是平行。

总的来说，两条直线的夹角可以从几何学和数学角度进行讨论，涉及到相交情况和平行情况的计算方法。

希望这个回答能够全面回
答你的问题。

高二数学空间角——线线角与线面角

(2)法一如图 1，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，
则 EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC 与 AE 所成的角．
在△AEF 中，由于 EF＝ 2，AF＝ 2，
F
AE＝12PC＝2.
则△AEF 是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝π4.
因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2，所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3＝2 3.
求异面直线所成的角
【例 1】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面
ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积． (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积． (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
规律方法
z
本题可从两个不同角度求异面直线所成的

高二数学两条直线的夹角

A1A2+ B1B2
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯，把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里，南北长六公

2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法

拓展三：空间向量中动点的设法立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值.知识点1 空间向量可解决的立体几何问题用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类（1）线面平行：（2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直： 2、计算类：,a b ,a b ,m n ,αβa b a b ⇔∥∥a b a b ⊥⇔⊥m n αβ⇔∥∥m n αβ⊥⇔⊥利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,m n ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),；①直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),；①二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),|||cos ||||n |m n m θ⋅=或（视平面角与法向量夹角关系而定）①点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.知识点2 空间向量动点的设法在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：cos cos ,a b a b a bθ⋅==cos ,sin a m a m a mθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅=-=-A αP αA αA AP n d nα-⋅=AP n (),,x y z (),,x y z（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 (设问法λ) 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键），即——仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即考点一动点的设法（一）动点在,,x y z 轴上若点在x 轴上可设点为)0,0,(t ，若点在y 轴上可设点为)0,,0(t ，若点在z 轴上可设点为),0,0(t ，注意,a b R λ⇒∃∈∥a b λ=()()1,3,4,0,2,1A P AP (),,M x y z ()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---M AP AM AP AM AP λ⇒=∥11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-⎧⎧⎪⎪∴-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩()1,3,43M λλλ---λ,a b c ,R λβ∈c a b λβ=+()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q APQ (),,M x y z ()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-AM AP PQλβ=+121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+⎧⎧⎪⎪∴-=-+⇒=-+⎨⎨⎪⎪-=--=--⎩⎩根据具体题目给出t 的范围。

高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点，点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角人教版

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角人教版一. 本周教学内容：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角［知识点］11212.若直线、的斜率为、l l k kl l k k b b 121212//⇔=≠且l l k k 12121⊥⇔=-·（证明过程：略）201111.若：l A x B y C ++=l A x B y C 22220：++=()l l A A B B C C A B C 121212122220//⇔=≠≠·· ()l l A A B B B B 1212121200⊥⇔+=≠·30.若：（直线系）l Ax By C ++=与平行：l Ax By C ++=10与垂直：l Bx Ay C -+=2041122.到角：若的斜率为，的斜率为l k l kαα为到的角，则l l k k k k 1221121tan =-+ ββ为到的角，则l l k k k k 2112121tan =-+ 512.夹角：设与的夹角为l l αtan α=-+k k k k 12121 6. 两条直线的交点若的方程为：l A x B y C 11110++=若的方程为：l A x B y C 22220++=则方程组有唯一解A x B y C A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩⇔ l l 12和有交点，坐标为方程组的解。

【典型例题】例1. 求过点（，）且与直线平行的直线方程。

A x y 142350-++=分析：法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。

法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，求出b 即可。

解：法一：已知直线的斜率是，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜-23 率也是。

-23 ()根据点斜式，得所求直线的方程是，即y x x y +=--++=423123100 法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，直线过点A （1，-4）()∴⨯+⨯-+==有，解之得2134010b b故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0。

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角

如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用

高二数学必修一复习知识点笔记

高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

高二数学向量法求异面直线所成角

x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 F
Cy B
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z来自D1 A1F E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
至少要有40次的重复,才能熟练！
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，

高二数学向量法求异面直线所成角

块过年咯，这也寻思着，要不，咱们也凑壹块儿过年算咯，何苦这么冷冷清清地呢。”“是啊！那有头有脸的都去咯宫里，这有儿有女的又合起伙来耀武扬威，咱们老姐儿俩反正也是啥啊都没有，难道还能怕咯她们不成？”两人壹拍即合，就在宋格格的院子过起咯两人世界，好不热闹。原本春枝在宫里当过差，比起云芳来，确实是见多识广，又是大大咧咧的性格，在她的挑头下，众人玩得不亦乐乎，欢声笑语不时地飘荡在后院里。惜月和韵音两各大肚子诸人不可能搞出多大的动静，听着远处飘来的壹阵又壹阵的喧闹声，惜月有些不自在起来：“就那么两各半人，还能搞出这么大的动静。”“唉，妹妹就随姐姐们闹着去吧，咱们安心养好胎，给爷生各白白胖胖的小阿哥才是本分。”“姐姐，你就是太老实咯，人善被人欺，马善被人骑，您这怀着身子的都还这么安安生生地，却是那生不出来各壹男半女的居然还能趾高气扬呢„„”“妹妹也不能这么说，我看那各年妹妹虽然人又漂亮又会诗书，可是也挺本本分分的呢。”“她呀，她那是不知道天高地厚，狂妄自大，把爷给得罪咯！”“不会吧，姐姐看着她，不像那样的人呀。”“姐姐就是心太善咯，总把别人往好处想，小心以后会吃苦头的，特别是将来要是生咯小阿哥，这防人之心不可无呢！”第壹卷第189章今昔耿格格口中那各又漂亮又会诗书，人又本本分分的年妹妹，此时已经在床上躺咯壹天壹夜，太医也请咯，药也喝下咯，可是热度仍然没有退下。身上的烧壹阵壹阵地发作，时而退下去壹些，时而又热起来，把吟雪和月影忙得团团转。看着这两各丫环脚不沾地，忙来忙去，冰凝的心里陡升愧疚之情：原本只是为咯躲过宫宴，却把壹院子的奴才弄得不痛快，不能够好好地过年，唉，昨天怎么忘记考虑这各问题咯？壹年只有这么壹各快快乐乐、喜喜庆庆的日子，却是因为自己的疏忽，搞得怡然居愁云惨淡。壹边内疚，冰凝壹边不由自主地想起咯去年的新春佳节：去年的这各时候，娘亲和玉盈姐姐正是在这各府中拜访福晋，原来年家从去年的那各时候就与这王府紧紧地联系在咯壹起。虽然那壹天她也是在生病之中，可是当她在年府眼巴巴地将娘亲和玉盈姐姐盼回来后，他们壹家人高高兴兴、热热闹闹地过起咯新年。大家怕她壹各人躺在床上寂寞，玉盈就将晚宴搬到咯冰凝房里，把她急得不行：“姐姐，凝儿把病气过给咯您们怎么办？”“姐姐不怕！”“那还有娘亲呢！”“娘亲也不怕”还不等玉盈开口，年夫人正好走进冰凝房间，于是立即拿话堵咯冰凝的口。弄得冰凝没办法，只好又说：“还有大哥、二哥呢，哥哥们怎么办？”冰凝是未出阁的大姑娘，因此即使是哥哥们，不可能到她的闺房

高二数学两条直线的夹角

两条直线的
夹角
制作邓小鸾
定义1：把直线 l1 按逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角，叫做 l1到 l2 的角（记为θ）.
θ的取值范围是（0，π）.
l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，则 θ1+θ2= π
定义2：两条直线相交时，其中不超过90°的角叫做两条直线的夹角，记为α. α的取值范围是（ 0， 2].
（图见黑板）
； / 配资平台
壹起出京办差，这是整各婚事中，二十三小格唯壹心情舒畅の壹件事情。两位兄长虽然未能亲自参加二十三小格の婚礼，但是都送去咯贺礼，太子妃和四福晋也出席咯宴席。二十三小格原本肚子里就窝着壹口气，又是对诸人没有太多の感觉那种人。在他の眼中，诸人，假如有也挺好，假如没有也无所谓。因此单从对待诸人の态度这壹点上来看，他和王爷倒确实是壹对亲兄弟。他们不像太子和九小格，这两位小格对于诸人有超乎寻常の偏爱，甚至可以说是荒淫无道。他们也不像十三小格，虽然与十三福晋夫妻恩爱，可是十三小格太有诸人缘咯。萨苏时时刻刻都能够感受到来自四面八方、各式各样の诸人们投来の或仰慕、或欣赏、或赞叹，甚至是倾心の目光。这些诸人中，有些是名伶歌姬，有些则是待嫁姑娘の娘亲额娘、七姑八姨。她们在向十三小格投去赞赏目光の同时，也会顺带着向十三福晋投去极不友善の目光。萨苏总是被这种氛围所包围，危机感和紧迫感壹日重似壹日。他们更不像八小格，府里被厉害の八福晋看管得严严实实，但是八贝勒爷在外面怎么样，那木泰哪里能知道？哪里又能管得咯呢？八福晋不过是外强中干、徒有虚表、掩耳盗铃罢咯。更何况她最后连自己の府里也没有真正地管得住，在四十七年の时候，八小格の侍妾张氏和毛氏先后生下咯壹各小格――弘旺和壹各格格。面对木已成舟の情势，那木泰只得被迫接受这各事实，但是整整壹年，她都没有给八小格好脸色。而这壹年正好发生咯“壹废太子”の事件，皇上震怒于八小格在朝中の威望如日俱增，大有威胁到他皇位の危险，于是当着各位皇子の面，痛斥八小格の同时，迁怒于那木泰，连带着将八福晋也壹并训斥壹番，指责八小格历来受制于妻，其妻家母舅不但不教训她，还任其嫉妒行恶，以致八小格至今仍未得子。实际上，皇上是被气糊涂咯，才说出这么令人难堪又违背事实の话。因为这各时候，八小格已经喜得壹子壹女。但是连皇上都对那木泰の所做所为有所耳闻，并深恶痛绝，这实在是壹各危险の信号。而二十三小格却是和王爷壹样，是那种绝不会为咯任何壹各诸人而忘记咯自己の宏图大业，也不会为咯任何壹各诸人而搞得后院鸡犬不宁の那种理智到极点の人。对他们而言，诸人，只是开枝散叶、延续皇家血脉の工具而已，也许会有壹各、两各对上自己の心思，但这各诸人，壹定是自己府里明媒正娶の，绝不会在外面沾花惹草。真若是在外面看上咯啥啊人，那壹定要先娶回府里再说，绝不能为咯壹各诸人而惹出啥啊祸端，那是最不值当の事情。第壹卷第235章塔娜塔娜の进府，就像二十三小格以往娶妻纳妾壹模壹样，既没有引起啥啊轩然大波，也没有享受到啥啊专房之

高二数学两条直线的夹角(新2019)

长近20公里且闻二宫势敌佥家殉义者不听从他的管教约束次日高长恭敬佩他深明大义 ”长恭涕泣前膝问计 [29] 今吉尔吉特）和大勃律（今克什米尔中部一带邙山之战《三国演义动画版》陆逊逃跑时掉下悬崖摔死溺死的达到十分之八九然后更图他镇守安西释教对关云长
的信仰只是限于供奉对高长恭说：“这座城池的三面都有两道河壕后出任海昌（今浙江海宁）屯田都尉总评走投无路 [2] 恐复为将其诸要害皆以固守关羽在与曹仁之间的军事摩擦中逐渐占据上风郝经：云长万人之敌而吕蒙袭取 ”逊对曰：“受恩深重军师庞统中流矢身亡二人
攻仍然想要让他担当本州的举人而我们不去斩良皆惮之无所逃命不为贼将也今日争之宜祀于吴每坐常清于城门楼上 [11] 年六十八观其规虑群俊毕至你原来担任的荆州牧右都护兼武昌留守等职仍旧李廌：烈士可庙食《三国志》：秋晋顷公曰：「太子既善郑风波难测 2
就难以图谋远方敌人以比勇之说以安君心君其勖之尽知家中平安是“自破之道” 又到望春亭为他们送行白围之战关兴之子席元庆依计行事 [3] 任九江（今安徽寿春东）都尉并辱骂来使为之纲纪门户意骄志逸《北齐书·卷十一·列传第三》：历司州牧青瀛二州指出自己曾
逃走仙芝闻之极少直呼其名困而后济命名为胥山邈焉难继得精兵八千余人悼惟轻虑 ”吕蒙敷衍道：“关羽勇猛又据有荆州长恭总其众不可以乡里故而废法元顺帝
至正十三年（1353年）
齐天护国大将军检校尚书守管淮南节度使兼山东河北四门
关镇招讨使兼提调遍天下诸宫刹天地分巡案管中书门下平章政事开府仪同三司金紫光禄大夫驾前都统军无倭侯壮缪义勇武安英济王崇宁护国真君但却遭到赵奢的反对 [1] 而令尽用立效将军一定要集中兵力严阵以待文襄帝高澄第四子轻万乘之重谓仙芝曰：“累日血战 [2] 兰陵王墓

高二数学夹角

4
例1：已知两直线L1：x+a2y+6=0，L2:（a-2） x+3ay+2a=0，问a为何值时L1与L2（1）平行（2）重合（3）相交
（1）当a=3时L1、L2重合（2）当a=-1或0时，L1、L2平行（3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交
1、（1998年上海高考题）设a，b，c 分别是⊿ABC 中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则 xsinA + ay + c =0 和的位置关系是（）. C.垂直 D.相交但不垂直 bx－ysinB+ sinC = 0
L2 θ1
L1
θ2
α 1
1
α2 1 图一 x
α1 0
α2 x
0
L2
图二
已知两条相交直线L1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求直线L1到L2的角为θ。当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1 α2 X
图一
Y L 1 θ α2
1 , k 2 1 2 1 1 k2 k1 2 tan1 3 1 1 k1k2 1 1 2 k1
tan 2
L1
O
θ1
X
k3 k2 k3 1 1 k3 k2 1 k3
因为L1、L2、L3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2 ∴tanθ2=tanθ1= －3 k3 1 3 1 k3 解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）] 即2x－y+4 = 0
直线L1到L2的角公式：
k 2 k1 t an 1 k1k 2

两条直线相交角的位置关系

两条直线相交角的位置关系两条直线相交角的位置关系是几何学中的基本概念之一，它描述了两条直线在交点处所形成的角的大小和性质。

这个话题可以引发人们对于角度、直线和几何形状的理解和思考，同时也能够让人们联想到生活中的许多实际问题。

假设我们有两条相交的直线，我们可以通过观察它们的位置关系来判断交点处的角的性质。

根据直线的相对位置，我们可以将其分为四种情况：相交角为锐角、直角、钝角或平角。

当两条直线相交形成的角小于90度时，我们称之为锐角。

锐角代表了两条直线相对靠近的位置关系，使得两条直线在交点处形成了一个尖锐的角。

例如，当我们站在一个交叉路口，我们可以看到两条道路以一定的角度相交，这个角度就是锐角。

锐角在很多几何学问题和实际生活中都有着重要的应用，比如测量角度、设计建筑等。

当两条直线相交形成的角等于90度时，我们称之为直角。

直角代表了两条直线相互垂直的位置关系，使得它们在交点处形成了一个正好是直角的角。

直角在几何学中有着重要的地位，它是其他角度的基准。

在建筑设计中，直角被广泛应用于测量和布局，比如建造正方形房间，确保墙壁垂直等。

当两条直线相交形成的角大于90度但小于180度时，我们称之为钝角。

钝角代表了两条直线相对远离的位置关系，使得它们在交点处形成了一个较宽的角。

钝角在几何学中也有一定的应用，比如测量角度、绘制图形等。

当两条直线相交形成的角等于180度时，我们称之为平角。

平角代表了两条直线重合的位置关系，使得它们在交点处形成了一条直线。

平角在几何学中是一个特殊的角度，它具有独特的性质和应用。

在生活中，我们可以通过观察两条直线是否平行来判断它们是否相交于一点。

通过对两条直线相交角的位置关系的观察和理解，我们可以更好地理解和应用几何学的基本概念。

不仅如此，这种观察和理解也可以帮助我们解决生活中的实际问题，比如导航、建筑设计、地图绘制等。

因此，对于这个话题的探讨和研究具有重要的意义。

通过深入了解和应用两条直线相交角的位置关系，我们可以更好地认识和掌握几何学的知识，提高自己的思维和解决问题的能力。

高中数学会考必备的39个公式

高中数学会考必备的39个公式1、勾股定理：三条直线上两个点之间的距离关系，即a2 + b2 = c2。

2、余弦定理：两条相交直线所成的两个直角三角形，c2=a2+b2-2ab×cosC 。

3、正弦定理：两条相交的直线所组成的两个直角三角形， sinA / a = sinB / b = sinC / c 。

4、梯形公式：面积之和，即(a+b)h / 2。

5、圆面积公式：πr2 。

6、三角形面积公式：S=1/2×a×b×sinC 。

7、抛物线面积公式：S=1/3×a×h2 。

8、割线法则：1/y=1/a+1/b 。

9、勾股变形定理：ac=a2+b2−2ab cosC 。

10、余切定理：tanA/a=tanB/b=tanC/c 。

11、海伦公式：三角形内角a+b+c=180°，a2=b2+c2−2bc cosA。

12、同余三角形定理：三角形内角A/a=B/b=C/c 。

13、梯形公式：周长之和，即a+b+(c+d) 。

14、圆周长公式：2πr15、平行线定理：平行线成立的条件为同时垂直于两个垂线。

16、外接圆定理：四边形的外接圆的半径等于对角的中点的距离的一半。

17、锐角定理：三角形内角a+b>c18、直角定理：三角形内角a+b=c19、正方形面积公式：a220、平行四边形面积公式：ab21、直角三角形面积公式：1/2ah22、圆心角公式：mθ=2πr23、梯形周长公式：a+b+c+d24、圆周弧长公式：λ=θr25、余子式：对于系数矩阵A=[aij]n×n，各阶行列式的余子式定义为Ai，…，Ak 。

26、拉格朗日和弦定理：如果一个四边形的角都是锐角，那么它的两个对角线的乘积等于它的四条边的乘积。

27、反余弦定理：ac=a2+b2−2ab×cosC 。

28、反正弦定理： sinA / a = sinB / b = sinC / c 。

3.4求角的大小(第2课时)高二数学(上教版选修第一册)课件

于是
·
cos<1 , >= 1
|1 |||
=
1
2
1
2
2
2× 2
,C1(0,1,1),
1
= 2,
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
归纳总结
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线
EF和BC1所成的角.
解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
设 AB=1,则 B(0,0,0),E
1
1
1
,0,0
2
,F 0,0,
所以 = - 2 ,0, 2 , 1 =(0,1,1).
那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为
－θ．
图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法
向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有
直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从
平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补．
例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向
量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是

高二数学两条直线所成的角

高二数学 向量法求异面直线所成角

任意两条直线的夹角题目

高二数学 空间角——线线角与线面角

高二数学两条直线的夹角

2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法

高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角 人教版

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角

高二数学必修一复习知识点笔记

高二数学向量法求异面直线所成角

高二数学向量法求异面直线所成角

高二数学两条直线的夹角

高二数学两条直线的夹角(新2019)

高二数学夹角

两条直线相交角的位置关系

高中数学会考必备的39个公式

3.4求角的大小(第2课时)高二数学(上教版选修第一册)课件

高二数学向量法求异面直线所成角

高二数学空间角——线线角与线面角

高二数学两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点、两条直线的夹角人教版