计量经济学 第六章 自相关 PPT

E(ut) = E( ut-1 + vt) = E(ut-1) + E(vt) (1- ) E(ut) = E(vt) = 0
E(ut) = E(vt) = 0
Var(ut) = E(ut)2 = E( ut-1+ vt)2 = E( 2 ut-12 + vt2 + 2 ut-1 vt) = 2 E(ut-12) + E(vt2) + 2 E(ut-1 vt)， （E(ut-1 vt) = 0）
(Xt X)2
1 E
(Xt (Xt
X )ut X)2
1
(Xt (Xt
X )E(ut X)2
)
1
同理可证，E( ˆ0 ) = 0。对于多元回归模型也有 E( ˆ0 ) = 0。
2. Var( ˆ j ) 不再具有最小方差。
以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1 Xt + ut , (t = 1, 2, … T)，其中 ut = ut -1 + vt，（存在一阶自相关）
2
ts
(
X
t
X )( X s
X)
T t1
(Xt
2 X )2
E(ut us )
Var( ˆ j ) =
T
(Xt X)2
t 1
T
2
t1
(Xt
X )2
E(ut ) 2
2
ts
(
X
t
X )( X
s
X)
T t1
(Xt
2 X )2
E(ut us )
20 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99
21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1.81 0.83 1.96 （2）样本容量T , 22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94 （3）原回归模型中解释变 23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92 量个数k（不包括常数项）。
H0: = 0 (ut 不存在自相关)。H1: 0 (ut 存在一阶自相关) 用残差值 et 计算统计量 DW。
DW =
T
(et et1 ) 2
t2
=
T
et 2
t 1
T
T
T
et 2 et12 2 et et1
t2
t2
t2
T
et 2
t 1
T
T
T
因为在样本容量充分大条件下有 et 2 ≈ et12 ≈ et 2
与 DW 值的对应关系及意义
=0 =1 = -1 0<<1 -1 < < 0
DW DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW < 4
ut 的表现 ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
不确 拒绝 H0 定区
第6章 自相关
非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述 自相关系数的估计 案例分析（2例）
6.1 非自相关假定：Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j)
如果 Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项 ut 存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类。 （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1) （2）高阶自回归形式。ut = f(ut- 1, ut -2 , … ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。
24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.90
25 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89
26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88
2
4
6.2自相关的来源与后果
自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。
28
Y
24
YF1
YF2
20
16
12
8
4
X 0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
4
RESID
0
3
2
1
0
-1
-2
-3 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。
接受 H0
不确 定区 拒绝 H0
DW
0
dL
dU
2
4 - dU 4 - dL
4
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。
DW检验临界值与三个参数有关。
附表 4 DW 检验临界值表（ = 0.05）
(X2
X )2u22
... (XT
X )2uT 2
2[ ( X1 X )u1( X 2 X )u2 ( X1 X )u1( X3 X )u3 ... ( XT 1 X )( XT X )uT 1uT ]}
=
T
(Xt X)2
t 1
T
2
t1
(Xt
X )2
E(ut ) 2
27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86
28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85
T
k =1
k =2
k =3
k =4
k =5
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
dL
dU
15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21
16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15
17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10 DW检验临界值与三个参数 18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06 有关。 19 1.18 1.40 1.08 1.53 1.97 1.68 0.86 1.85 0.75 2.02 （1）检验水平，
t2
t2
t 1
T
T
2
et
2 1
2
et et1
T
et et1
所以 DW 可以近似表示为， DW≈ t2
t2
T
et
2 1
= 2 (1 - t2
) = 2 (1 - ˆ )
T
et12
t2
t2
6.3 自相关检验
DW= 2 (1 - ˆ )
的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
4. 由于 ut 存在自相关时，Var( ˆ1 ) 和 su2 都不具有最小方差性。用依据 OLS 法得到的回归方程去预测，预测无有效性。
6.3 自相关检验
（1）图示法：依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。 （2）DW（Durbin-Watson）检验法 使用 DW 检验，应首先满足如下三个条件。（1）误差项 ut 的自相关为一阶自回归形式。（2） 因变量的滞后值 Yt-1 不能在回归模型中作解释变量。（3）样本容量应充分大（T 15） DW 检验步骤如下。
6.2 自相关的来源与后果
B1F1
B1F2
B1F3
5
4
3
模型存在自相关的后果：
2
1. 回归系数的最小二乘估计量 ˆ j 仍具有无偏性。 1
0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
E( ˆ ) = E[ (X 'X )-1 X 'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X + u) ] = + (X 'X)-1 X ' E(u) =
以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1 Xt + ut , (t = 1, 2, … T)，其中 ut = ut -1 + vt，
（存在一阶自相关）为例，推导 ˆ1 的期望。
E(ˆ1) E
(X
t
(
X
X )(Yt t X)
2
Y
)
E
( X t X )[1 ( X t X ) ut ]
依据 OLS 公式，模型 ut = 1 ut -1 + vt 中1 的估计公式是
aˆ1
=
t2 T
。
u
t
2 1
t2
若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是 ˆ =
T
ut ut1
t2
。
T
T
ut 2
ut 12
t2
t2
T
T
T
ut ut1
对于充分大的样本显然有
ut 2
ut 12
(1- 2 ) Var(ut) = E(vt2) = v2
Var(ut) =
v2 ， 1- 2
（ut 的自相关越严重， 2 越大，Var(ut) 越大）
Cov(ut, ut-1) = E(ut ut-1) = E[ ( ut-1+ vt) ut-1 ] = E( ut-12 + ut-1 vt) = E(ut-12) + E(ut-1 vt)
Var( ˆ1 )
=
Var(ut )
T
(Xt X)2
t 1
2
ts
( X t X )( X s X )
T t1
(Xt
2 X )2
sVar (u t
)
,
s>t
Var(ut) =
v2 1- 2
3. ut 存在自相关时，低估误差项 ut 的方差，低估 ˆ1 的方差（估计小了）。
ut = 1 ut -1 + vt
E(vt ) = 0, t = 1, 2 …, T
Var(vt) = v2, t = 1, 2 …, T。Cov(vi, vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 …, T
Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 …, T
T
ut ut1
c. 负自相关序列
b. 正自相关序列散点图
6 X
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
d. 负自相关序列散点图
X(-1)
4
6
X(-1)
4
6
3 U
2 1 0 -1 -2 -3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
e. 非自相关序列
4 U
2
0
-2
-4
-4
-2
0
f 非自相关序列散点图
U (-1)
为例，推导 ˆ1 的方差。
Var(ˆ1) E(ˆ1 1)2 E
(Xt
X )E(ut )
2
( X t X ) 2
1 (Xt X)2
2
E ( X1 X )u1 ( X 2 X )u2 ... ( X T
X )uT
2
1 (Xt
X )2
2
E
(X1
X )2u12
Var( ˆ1 )
=
Var(ut )
T
(Xt X)2
t 1
2
ts
( X t X )( X s X )
T t1
(Xt
2 X )2
sVar(ut )
,
s>t
对于经济序列，上式右侧第二项常常是正的（为什么？），所以 ˆ1 不再具有最小方差。
对于多元回归模型， ˆ1 同样不再具有最小方差。
=
Var(ut )
T
(Xt X)2
t 1
2
ts
(
X
t
X
)( X
s
X
)
T t1
(Xt
X )2
2
Cov(ut , us )
当 ut 不存在自相关时，Cov(ut, us) = 0，s > t，Var( ˆ1 ) = T Var(ut )
(Xt X)2
t 1
。当 ut 具有一阶自回归形式时，
同理，Cov(ut, ut - s) = s Var(ut)
序列的自相关特征分析。
4 X
2
0
6 X
4
2
0
-2 -2
-4
-4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
源自文库
-6 -6
-4
-2
0
2
a. 正自相关序列
6 X
4
2
0
-2
-4
-6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
。代入上式得
ˆ
t2 T
ˆ1 。
t2
t2
ut
2 1
t2
对于总体参数有 = 1。ut 的一阶自回归形式可表示为，ut = ut-1 + vt
下面以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1 Xt + ut , (t = 1, 2, … T)，其中 ut = ut -1 + vt，
（存在一阶自相关）为例，推导 ut 的期望、方差与协方差公式。
（E(ut-1 vt) = 0）
= Var(ut-1) = Var(ut)
（Var(ut) 越大，Cov(ut, ut-1)）
Cov(ut, ut-2) = E(ut ut-2) = E[ ( ut-1+ vt) ut-2 ] = E( ut-1ut-2 + ut-2vt) = E(ut-1ut-2) + E(ut-2vt) = Cov(ut, ut-1) = 2 Var(ut)。（E(ut-2vt) = 0）