作业二答案单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩

作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩 1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m 5=20kg ，l AB =l ED =100mm ，l BC =l CD =l EF =200mm ，φ1=φ2=φ3=90o ，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N ．当取曲柄AB 为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．

图1

答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．

②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出． 做出机构的位置图，用图解法进行运动分析． V C =V B =ω1×l AB ω2=0 V D =V C =ω1×l AB 且ω3=V C /l CD =ω1

V F =V D =ω1×l AB (方向水平向右) ω4=0 由等效转动惯量的公式：

e J =m 5(V F /ω1)2

=20kg ×(ω1×l AB ／ω1)2

=0．2kgm 2

由等效力矩的定义： e M =500×ω1×l AB ×cos180o

／ω1＝－50Nm （因为ＶF 的方向

与Ｐ方向相反，所以α＝180o ）

∑=+=n

i i Si Si

i e J v m J 1

2

1

21

])(

)(

[ωωω∑=±=n

i i

i i

i i e M v F M 1

1

1

)](

)(

cos [ωωωα

2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z 1=z 2’=20，z 2=z 3=40，J 1=J 2’=0．01kg ·m 2，J 2=J 3=0．04kg ·m 2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N ·m ．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．

图2

答案：该轮系为定轴轮系．

i 12=ω1/ω2=(-1)1z 2/z 1

∴ ω2=－ω1/2=－0．5×ω1 ω2’=ω2=－0．5×ω1

i 2’3=ω2’/ω3=(-1)1z 3/z 2’ ∴ ω3=0．25×ω1 根据等效转动惯量公式

e J = J 1×(ω1/ω1)2

＋J 2×(ω2/ω1)2

＋J 2’×(ω2’/ω1)2

＋J 3×(ω3/ω1)2

＝J 1＋J 2／４＋J 2’／４ ＋J 3／16

＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16 ＝0．025 kg ·m 2

根据等效力矩的公式： e M =M 3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N ·m

3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z 1=z 3=25，z 2=z 4=50，各轮的转动惯量J 1=J 3=0．04kg ·m 2，J 2=J 4=0．16kg ·m 2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M 3=100N ·m ．试求选取轴

∑=+=n

i i Si Si

i e J v m J 12

1

21

])(

(

[ωωω∑=±=n

i i

i i

i i e M v F M 11

1

)](

)(

cos [ωωωα

Ⅰ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J和M3的等效阻力矩M r．

图3

答案：i12=ω1／ω2=z2/z1ω2=ω1/2 ω3=ω2=ω1/2

i

=ω3/ω4=z4/z3ω4＝ω1/4

34

等效转动惯量：

J=J1(ω1/ω1)2+J2(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2+J4(ω4/ω1)2

=0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2

=0．04+0．04+0．01+0．01

=0．1kg·m2

等效阻力矩：

M r=M3×ω4/ω1=100/4=25(N·m)

4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n0＝1500r/min，小带轮直径d=100mm，转动惯量J d=0．1kg·m2，大带轮直径D＝200mm，转动惯量J D=0．3kg·m2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z1=32，

J1=0．1kg·m2，z2=56，J2=0．2kg·m2，z2’=32，J2’=0．4kg·m2，z3=56，J3=0．25kg·m2．

要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M1．

图4

答案：电机的转速n0＝1500r/min

其角速度ω0＝2π×1500/60=50π(rad/s)

三根轴的转速分别为：

ω1=d×ω0/D=25π(rad/s)

ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π(rad/s)

ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π(rad/s)

轴的等效转动惯量：

J V=J d×(ω0/ω1)2+J D×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+ J2’×(ω2/ω1)2+ J 3×(ω3/ω1)2

∴J V=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2

=0．4+0．4+0．098+0．027

=0．925 (kg·m2)

轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度