赫尔《期权、期货及其他衍生产品》(第7版)课后习题详解(利率衍生品HJM与LMM模型)

31.2　课后习题详解
一、问答题
1. 解释关于短期利率的马尔科夫模型与非马尔科夫模型之间的区别。

Explain the difference between a Markov and a non-Markov model of the short rate.
答：在一个马尔科夫模型中，短期利率在t 时刻的预期变化和波动仅仅取决于t 时刻的短期利率值；而在一个非马尔科夫模型中，短期利率的预期变化和波动取决于t 时刻以前的短期利率的历史数据。

2. 证明教材方程（31-6
）多因子HJM 模型下，远期利率的漂移项与波动率之间的关系式。

Prove the relationship between the drift and volatility of the forward rate for the multifactor version of HJM in equation (31-6).
说明：方程(31-6)是指：
答：教材方程（31-1）：
可变为：
因此得到：
由教材方程（31-2）：
得到：
令
T 1=T 和T 2
=T+△t，取极限，△t 趋近于0
时，上述等式变形为：
利用，可得：
代入教材方程（31-6）：
得结果：
3. “当HJM 模型中的远期利率波动率s （t ，T ）是常数时，所得到的模型是Ho-Lee
模型。

”通过证明HJM 给出的债券价格过程与教材第30章中Ho-Lee 模型一致性来验证这个结果是正确的。

"When the forward rate volatility s(t, T) in HJM is constant, the Ho-Lee model results" Verify that this is true by showing that HJM gives a
process for bond prices that is consistent with the Ho-Lee model in Chapter 30.
证明：
应用教材第31-1节的符号，如果s 是常数，有：
与结合，对于某些函数α，得到：
利用V （
T ，T ）=0，有：
由教材第30章中的符号可得，在模型中，。

短期利率的标准差是常数。

由伊藤定理，债券价格的标准差等于一个常数乘以债券价格乘以（T-t ）。

债券价格的波动率也为一个常数乘以（T-t ）。

这说明与Ho-Lee 一致。

4. “当HJM 模型中的远期利率波动率s(t ，T)是时，所得到的模型是Hull-White 模型。

”通过证明HJM 给出的债券价格过程与教材第30章中的Hull-White 模型一致性来验证这个结果是正确的。

"When the forward rate volatility, s(t, T) in HJM is the Hull-White model results." Verify that this is true by showing that HJM gives a process for bond prices that is consistent with the Hull-White model in Chapter 30.
证明：根据教材第31-1节知，当
时，利用v （T ，T
）=0，有：
利用教材第30章的内容，在Hull-White 模型中，，短期利率的标准差为常数。

由伊藤定理得，债券价格的标准差为。

因此，债券价格的波动率为，这说明了Hull-White 与相同。

5. 同HJM 模型相比，LMM 模型的优点是什么？
What is the advantage of LMM over HJM?
答：LMM 模型与HJM 模型相似。

与HJM 模型相比，LMM 模型的主要优点为：该模型包括了容易观察的远期利率，而HJM 模型包括的是瞬时远期利率。

6. 从直观上说明当因子的个数增加时，跳跃上限的价值也会增加。

Provide an intuitive explanation of why a ratchet cap increases in value as the number of factors increase.
答：如果两个相邻重置日利率都高（低），则跳跃上限倾向于提供低报酬；如果在一个重置日利率低,下一个重置日利率高时，则跳跃上限提供的报酬高。

随着因子个数的增加，两个连续远期利率之间的相关性下降，一个低利率后跟着一个高利率的可能性增强，所以跳跃上限的价值增加。

7. 证明当δj 趋于零时，教材方程(31-10)变为方程(31-4)。

Show that equation (31-10) reduces to (31-4) as the
δj tend to zero.
说明：方程（31-10
）是指：
方程(31-4)是指：
答：
方程(31-10)可以写成：
随着δi 趋于0，变成了t i 时刻到期的瞬时远期利率在时刻t 的标准差。

运用第31-1节中的符号即可将表示为s(t ，t
i ，Ω
t )。

随着δ
i 趋于0，
会趋向于：
因此，方程（31-10）变为：
这就是HJM 的结果，问题得证。

8. 解释为什么黏性上限要比一个类似的跳跃上限更贵。

Explain why a sticky cap is more expensive than a similar ratchet cap.
答：在跳跃上限里，上限利率等于前一重置利率R加上一个差价，用书中符号表示为R j+s。

在黏性上限里，上限利率等于前一上限利率加上一个差价，用符号表示为min(R j,K j) +s。

跳跃上限利率至少等于黏性上限利率。

因为上限价值是上限利率的减函数，从而得出黏性上限要比类似的跳跃上限更贵。

9．解释为什么提前偿还率对IO和PO有相反的影响。

Explain why IOs and POs have opposite sensitivities to the rate of prepayments.
答：当提前偿还增加时，本金将更快被偿还，这将增加PO的价值。

当提前偿还增加时，可获得的利息将减少，这会降低IO的价值。

10.“期权调整溢价与债券的收益率是类似的。

”解释这个结论。

"An option-adjusted spread is analogous to the yield on a bond." Explain this statement.
答：债券收益率是使得债券价格等于市场的价格的折现利率，相同的折现率用于所有到期期限。

期权调整利差是国库券零息曲线的平行移动，这使得金融工具的价格，比如抵押支持证券，等于其市场价格。

11．证明教材方程（31-15）。

Prove equation (31-15).
证明：当有p个因子时，教材方程（31-7）变为：。