第二章树PPT课件
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判定树是图论中最常见的模型之一， 判定树把做出判决的逻辑关系用树的形 式表现出来，使得条理清晰，一目了然。
往往最后的结果都集中在叶子顶点上。
20
例2.1 设有4个银币，已知其中3个一定是真的， 真假的区别在于银币的重量，现用一天平设 法找出假币。
解：用a、b、c、d分别表示银币，a:b表示在天 平上作比较。
12
• 定理2-5、设G是阶为n，边数为m的图，若G满足 如下性质中的任意两个，则G为树。 （1）G是连通的，（2）G是无圈的，（3）m=n-1
证明： 若G满足(1)和(2)，则根据树的定义即可知G是树。因此，我 们只需要假设G满足(1)和(3)或满足(2)和(3)即可。 情形1：满足(1)和(3) ，由于G是连通的，只需证明G是无圈 的，假设G含有一个圈C，设e是C的一条边，故G-e是一个连 通图，其阶为n，边数为n-2，而每一个n阶连通图的边数至 少为n-1，因此G是无圈的，从而G是树。 情形2：满足(2)和(3) ，由于G是无圈的，只需证明G是连通 的，因为无圈，所以G是一个森林，且其阶为n，边数为n-1。 由定理2-4知，G的边数为n-k，其中k是G的连通分支个数， 因此，n-1=n-k，可知k=1，所以G是连通的，从而G是树。
23
例2.2
右表中表示10个
A
B
C
D cla
对象的4种属性， 1
a0
b0
c0
d0
每种属性取值分
9
• 定理2-3、每个非平凡树至少有2个端点（叶 子）
证明： 设T是一个非平凡树，并且在T的所有路中，设P是一条最长 的路，不妨设P：u=u0,u1,u2, …uk=v为一条u-v路，其中k≥1， 现在我们来证明u和v是T的端点。 显然，u和v都不会邻接到不在P上的任何一个顶点，否则将 产生一条更长的路，当然u邻接到u1，v邻接到uk-1，另外， 由于T不含圈，所以u和v都不会邻接到P上的其它任何顶点， 因此，deg u=deg v=1。
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第三章 图的算法 第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
1
第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
2
§1 树的概念和基本性质
3
§1-1 树的概念
在图论中：
• 1、没有回路的图称为无圈图， 连通的无圈图称为树，即连通
的无环图称为树。
根
• 2、除根之外，
度＝1的顶点称为叶子（端点）， 度＞1的顶点称为分支点或者 内点。
叶子
分支点
4
• 3、多个树称为森林（无圈图称为森林）； • 4、孤立顶点叫做平凡树 。
1
9
15
2
3
4
10
11
平凡树
5
6
7
8 12
13
14
a:b
a:c
＜ ＝
a轻 b重
＜
＝
＞
a:c
＜
＞
c重
＝
a:d c轻
＜
＝＞
a:c
＝＞
b轻 a重
d重 全真 d轻
21
容易看出，上例中方法并不唯一。
a:c ＜
a:b ＜
＜
a:b ＝
＝
＝＜
a,b:c,d
＝
a轻 c重
d重 b轻 全真
＞
a:c
＜
＞
＝ d:c
＜
＞
＝
d轻 b重
d:c
＝＞
a重 c轻
22
课后思考题
1、已知有12个金币，其中有一个是假的， 且不知道假币和金币的重量关系，现在 要求用一个天平，只称3次，把假币找出 来。
13
• 定理2-6、若G无回路，而且在不相邻的两顶点 间增加一条边，则有且仅有一条回路，则G是树。
证明： G无圈（无回路），现在只需证明G连通即可。 假设G非连通，在G的两个分支中各取一个顶点u和v， 明显地G+uv仍然无回路，与已知条件相矛盾，故G连通，从 而，G是树。
14
下面五个命题是等价的 （1）G是一棵树； （2）G的任意两顶点间仅有一条道路； （3）G是连通的且m＝n－1； （4）G不包含回路且m＝n－1； （5）G不含回路而且在不相邻的两顶点间增加
1
2
3
4
5
6
7
8
a图
互为父
b图
子
7
§1-2 树的基本性质
• 定理2-1：若连通图G=(V,E)，n=|V|，则 图的生成树有n－1条边。
用归纳法易证明。见教材P45。
8
• 定理2-2、图G是树当且仅当G的任何两个顶 点都被唯一的路连接。
证明：（反证法证明） 必要性，设G是一个树，则由树的定义可知G是连通的，因此 G的两个顶点之间都会连接一条路，假设G的某两个顶点之间 连接了2条不同的路，这可由这两条路的全部或部分边产生 一个圈（回路），导致矛盾（树无圈）。 充分性：设G的每两个不同顶点之间都被唯一的路相连接， 显然G是连通的。假设G含有一个圈C，设u,v是C的两个不同 的顶点，因此C就确定了两条不同的u-v路，导致矛盾。所以 G是无圈的，即G是无圈连通图，从而G是树。
5
• 5、如果一棵树T是图G的生成子图，则树T称为图G
的生成树或支撑树； • 6、G－E(T)称为树T的余树，记作：T’； 余树 • 7、T’中的边称为图G的弦，也是树T的弦。
1
1
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5
6
7
8
5
6
7
8
弦 6
8、树——（1）不具明显层次的树 (a图) （2）具有层次的树 (b图)
根
互为兄弟
一条边，则有且仅有一条回路。
15
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全 图有几棵生成树？4个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？n个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
16
思考题参考答案
1、答：不唯一，如下图：
1
Baidu Nhomakorabea
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
2、答：对于求无向完全图的生成树的数目，有 Cayley定理，1889：τ(Kn)=nn-2。
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第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
18
§2 几类常用树
19
§2-1 判定树(decision tree)
10
• 举例：设T为某个13阶树（13个顶点），其顶 点的度为1，2，5。如果T恰有3个度为2的顶 点，那么T有多少个端点。
解： 设端点数为x,则 x+3*2+5*(10-x)=2*12 x+6+50-5x=24 x=8
11
• 定理2-4：阶为n且有k个连通分支的每一个森 林有n-k条边。
证明比较简单，请同学们自己完成
往往最后的结果都集中在叶子顶点上。
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例2.1 设有4个银币，已知其中3个一定是真的， 真假的区别在于银币的重量，现用一天平设 法找出假币。
解：用a、b、c、d分别表示银币，a:b表示在天 平上作比较。
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• 定理2-5、设G是阶为n，边数为m的图，若G满足 如下性质中的任意两个，则G为树。 （1）G是连通的，（2）G是无圈的，（3）m=n-1
证明： 若G满足(1)和(2)，则根据树的定义即可知G是树。因此，我 们只需要假设G满足(1)和(3)或满足(2)和(3)即可。 情形1：满足(1)和(3) ，由于G是连通的，只需证明G是无圈 的，假设G含有一个圈C，设e是C的一条边，故G-e是一个连 通图，其阶为n，边数为n-2，而每一个n阶连通图的边数至 少为n-1，因此G是无圈的，从而G是树。 情形2：满足(2)和(3) ，由于G是无圈的，只需证明G是连通 的，因为无圈，所以G是一个森林，且其阶为n，边数为n-1。 由定理2-4知，G的边数为n-k，其中k是G的连通分支个数， 因此，n-1=n-k，可知k=1，所以G是连通的，从而G是树。
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例2.2
右表中表示10个
A
B
C
D cla
对象的4种属性， 1
a0
b0
c0
d0
每种属性取值分
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• 定理2-3、每个非平凡树至少有2个端点（叶 子）
证明： 设T是一个非平凡树，并且在T的所有路中，设P是一条最长 的路，不妨设P：u=u0,u1,u2, …uk=v为一条u-v路，其中k≥1， 现在我们来证明u和v是T的端点。 显然，u和v都不会邻接到不在P上的任何一个顶点，否则将 产生一条更长的路，当然u邻接到u1，v邻接到uk-1，另外， 由于T不含圈，所以u和v都不会邻接到P上的其它任何顶点， 因此，deg u=deg v=1。
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第三章 图的算法 第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
1
第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
2
§1 树的概念和基本性质
3
§1-1 树的概念
在图论中：
• 1、没有回路的图称为无圈图， 连通的无圈图称为树，即连通
的无环图称为树。
根
• 2、除根之外，
度＝1的顶点称为叶子（端点）， 度＞1的顶点称为分支点或者 内点。
叶子
分支点
4
• 3、多个树称为森林（无圈图称为森林）； • 4、孤立顶点叫做平凡树 。
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平凡树
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a:b
a:c
＜ ＝
a轻 b重
＜
＝
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a:c
＜
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c重
＝
a:d c轻
＜
＝＞
a:c
＝＞
b轻 a重
d重 全真 d轻
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容易看出，上例中方法并不唯一。
a:c ＜
a:b ＜
＜
a:b ＝
＝
＝＜
a,b:c,d
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a轻 c重
d重 b轻 全真
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a:c
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＝ d:c
＜
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d轻 b重
d:c
＝＞
a重 c轻
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课后思考题
1、已知有12个金币，其中有一个是假的， 且不知道假币和金币的重量关系，现在 要求用一个天平，只称3次，把假币找出 来。
13
• 定理2-6、若G无回路，而且在不相邻的两顶点 间增加一条边，则有且仅有一条回路，则G是树。
证明： G无圈（无回路），现在只需证明G连通即可。 假设G非连通，在G的两个分支中各取一个顶点u和v， 明显地G+uv仍然无回路，与已知条件相矛盾，故G连通，从 而，G是树。
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下面五个命题是等价的 （1）G是一棵树； （2）G的任意两顶点间仅有一条道路； （3）G是连通的且m＝n－1； （4）G不包含回路且m＝n－1； （5）G不含回路而且在不相邻的两顶点间增加
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a图
互为父
b图
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§1-2 树的基本性质
• 定理2-1：若连通图G=(V,E)，n=|V|，则 图的生成树有n－1条边。
用归纳法易证明。见教材P45。
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• 定理2-2、图G是树当且仅当G的任何两个顶 点都被唯一的路连接。
证明：（反证法证明） 必要性，设G是一个树，则由树的定义可知G是连通的，因此 G的两个顶点之间都会连接一条路，假设G的某两个顶点之间 连接了2条不同的路，这可由这两条路的全部或部分边产生 一个圈（回路），导致矛盾（树无圈）。 充分性：设G的每两个不同顶点之间都被唯一的路相连接， 显然G是连通的。假设G含有一个圈C，设u,v是C的两个不同 的顶点，因此C就确定了两条不同的u-v路，导致矛盾。所以 G是无圈的，即G是无圈连通图，从而G是树。
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• 5、如果一棵树T是图G的生成子图，则树T称为图G
的生成树或支撑树； • 6、G－E(T)称为树T的余树，记作：T’； 余树 • 7、T’中的边称为图G的弦，也是树T的弦。
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弦 6
8、树——（1）不具明显层次的树 (a图) （2）具有层次的树 (b图)
根
互为兄弟
一条边，则有且仅有一条回路。
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思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全 图有几棵生成树？4个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？n个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
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思考题参考答案
1、答：不唯一，如下图：
1
Baidu Nhomakorabea
2
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2
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2、答：对于求无向完全图的生成树的数目，有 Cayley定理，1889：τ(Kn)=nn-2。
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第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
18
§2 几类常用树
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§2-1 判定树(decision tree)
10
• 举例：设T为某个13阶树（13个顶点），其顶 点的度为1，2，5。如果T恰有3个度为2的顶 点，那么T有多少个端点。
解： 设端点数为x,则 x+3*2+5*(10-x)=2*12 x+6+50-5x=24 x=8
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• 定理2-4：阶为n且有k个连通分支的每一个森 林有n-k条边。
证明比较简单，请同学们自己完成