高中数学坐标系

第1讲 坐标系

1.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ－π4＝22.

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ－π4＝22，

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.

(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2

－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1，π2.

2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝2

1－sin θ.

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝

2

1－sin θ

化为ρ－ρsin θ＝2，

∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·2

1－sin （θ0＋π），

解得θ0＝π6或θ0＝5π

6，

直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π

6(ρ∈R ).

3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π

4对称的曲线的极坐标方程. 解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角

坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝π

4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，

所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.

所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π

4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 4.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.

(1)求圆C 的极坐标方程；

(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨

迹方程.

解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点.

在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

θ－π3，由余弦定理得

|CM |2＝|OM |2＋|OC |2

－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ－π3，

化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ－π3.

(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →

， ∴ρ1＝2

3ρ，θ1＝θ， 代入圆C 的方程，得

23ρ＝6cos

⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π3. 5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，

其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.

解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.

联立⎩⎨⎧x 2

＋y 2

－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，

解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，

y ＝32.

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，32.

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.

因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪

⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π

6时，|AB |取得最大值，最大值为4.

6.(2017·唐山质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，

y ＝2sin φ(φ为参数).以

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.

(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；

(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离. 解 (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ＋π6＝32.

曲线C 2化为x 26＋y 2

2＝1(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式

得ρ26cos 2θ＋ρ22

sin 2

θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2

＝61＋2sin 2θ.

(2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，12，

∴OP 的极坐标方程为θ＝π

6，

把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1，π6.