同步训练003——5.1.2垂线第二课时

同步训练003——5.1.2垂线第二课时

◆典型例题

【例1】 (山东)如图5-29，107国道a 上有一出口M ，现想在附近公路b 旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工

?

图5-29 图5-30

【解析】 由垂线段最短知，可过点M 作b 的垂线，垂足为N ，则MN 即为所求. 【答案】 如图5-30，过点M 作MN ⊥b ，垂足为N ，欲使通道最短应沿线路MN 施工. 【例2】 如图5-31，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，小明、小颖、小涵三人各抒己见，你认为哪个说法正确

?

图5-31

小明说:BD 、DC 、AD 分别表示点A 到BC 、点D 到AC 、AB 的距离. 小颖说:DA 、DE 、DF 分别表示点A 到BC 、点D 到AC 、AB 的距离. 小涵说:DA 、DE 、DF 的长度分别表示点A 到BC ，点D 到AC 、AB 的距离.

【解析】 要判断三人说法是否正确，深刻理解点到直线的距离的含义是解题的关键. 线段BD 、DC 的长度是点D 分别到点B 、C 的距离，是两点间的距离，AD 的长才是点A 到BC 的距离，因此小明的说法是错误的.DA 、DE 、DF 指的是垂线段,是几何图形。而不是距离，因此小颖的说法是错误的.根据点到直线的距离的概念，小涵的说法是正确的.

【答案】 小涵的说法是正确的.

【例3】 如图5-32，在河岸l 的同侧有一村庄A 和自来水厂B.现要在河岸l 上建立一抽水

站D ，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A 村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D 应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管?在图中画出来

.

图5-32

【解析】 要使水管最短，则抽水站与自来水厂间的路程应最短，自来水厂与A 村的路程应最短.需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理.

【答案】 如图5-32所示，过点B 画l 的垂线，则垂足D 为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A 的路线铺设水管，可使所用的水管最短. ◆课前热身

1.直线外________与直线上各点连接的所有线段中，垂线段________.

2.定点P 在直线外，动点O 在直线AB 上运动，当线段PO 最短时，∠POA=________度.这时，点P 到直线AB 的距离是线段________的长度.

◆课上作业

3.如图5-33，计划把池中的水引到C 处，可过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是________.

4.如图5-34，OD ⊥BC ，垂足为D ，BD=6 cm ，OD=8 cm ，OB=10 cm ，那么点B 到OD 的距离是________，点O 到BC 的距离是________.O 、B 两点之间的距离是

________.

图5-33 图5-34 图5-35

5.如图5-35，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，则AB 、AC 、CD 之间的大小关系是________(用“＜”号连接起来).

6.直线l上有A、B、C三点，直线l外有点P，若PA=5 cm，PB=3 cm，PC=2 cm,那么点P到直线l 的距离________.

◆课下作业

一、填空题(每题5分，共50分)

7.如图5-36，点P是直线l外一点，过点P画直线PA、PB、PC、…交l于点A、B、C、…，请你

用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量PA，PB，PC的长度.你发现的规律是

:__________

图5-36 图5-37 图5-38

8.如图5-37，已知直线AD、BE、CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则

∠DOE=___________.

9.如图5-38，O为直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.则∠AOC=_________，OD 与AB的位置关系是____________.

10.将一张长方形的白纸，按如图5-39所示的折叠，使D到D′，E到E′处，并且BD′与BE′在同一

条直线上，那么AB与BC的位置关系是

_________.

图5-39 图5-40 图5-41

二、选择题(每题5分，共10分)

11.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直段最短”.

在此基础上，人们定义了点到点的距离、点到直线的距离，类似地，若点P

是O外一点(如图5-40)，则点P 与O的距离应定义为( )

A.线段PO的长度

B.线段PA的长度

C.线段PB的长度

D.线段PC的长度

12.在图5-41所示的长方体中，和平面AC垂直的棱有( )

A.2条

B.4条

C.6条

D.8条

三、解答题(每题20分，共40分)

13.如图5-42，∠α与∠β有公共顶点，且∠α两边与∠β的两边互相垂直，∠α=

7

5

∠β.试求∠α，∠β的度数

.

图5-42

14.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图5-43.

(1)汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学

校影响最大?在图中标出来；

(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐

渐减小而对N学校影响逐渐增大

?

图5-43