相似三角形基本类型

相似三角形基本模型

模型1X字型及其变形

(1)对顶角的对边平行; (2)对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD

例1（2016哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）

A.AD：AB=AE：AC

B.DF：FC=AE：EC

C.AD：DB=DE：BC

D.DF：BF=EF：FC

1、（2016贵港）如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB 于点E,交BD于点F,且∠ABC=60∘，AB=2BC，连接OE.下列结论：

①∠ACD=30∘;②S▱ABCD=AC⋅BC;③OE:AC=√3:6;④S△OCF=2S△OEF

成立的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

模型2A字型及其变形

例2、如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB.

2．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1

AB＋1

CD

＝1

EF.

模型3子母型

例2、如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足。

（1）若AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为；

（2）若AD：DB=2:3，则AC：CB=

3、（2016云南）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为15，那么DC= 。

模型4一线三等角型

例4．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF ＝3FD，∠BEF＝90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

4、（2017潮阳）如图,在边长为9的等边△ABC中,BD=3,∠ADE=60∘，则CE 的长为___.

模型5旋转型

例5、（2015秋•滦县期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）

A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．

5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当ADBD=1，AC=3时，求BF的长。

模型6垂直型

例6、如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x−3分别与x轴、y轴交于点A. B,点P 的坐标为(0,4).若点M在直线AB上，则PM长的最小值为___.

6、(1)问题

如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=90∘时，求证：AD⋅BC=AP⋅BP.

(2)探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=α时，上述结论是否依然成立?说明理由。