2019北京中考数学二模16区-分类汇编-08 新定义(教师版)

082019北京中考二模分类汇编-新定义西城二模28．对于平面内的∠MAN 及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为1d ，2d ，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率”．在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点．①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为_________；②若第一象限内点Q （a ，b ）关于∠MON 的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为_________；（2）已知点A （4，0），(2,B ，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）．若点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），⊙T 是以点T 为圆心，半径为1的圆．若⊙T 上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF 的“偏率”t 的取值范围．【答案】28．解：（1）①5；……………………………………………………………………………1分②a =b ；…………………………………………………………………………2分（2）∵点A （4，0），B （2，），∴OA =4，OB4=，AB4=．∴OA =OB =AB ．∴△OAB 是等边三角形．∴∠OAB =∠OBA =60°．过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CH ⊥OB 于点H ，如图，则∠CDA =∠CHB =90°．∴△ACD ∽△BCH ．∴CD CA CH CB=．∵点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，∴2CD CH =或2CH CD=．当2CD CH =时，则2CA CB=．∴2833CA AB ==．∴4cos603DA CA =⋅=，sin 60CD CA =⋅=．∴83OD OA DA =-=．∴点C 的坐标为（83，433）．同理可求，当2CH CD =时，点C 的坐标为（103，）．∴点C 的坐标为（83，）或（103．…………………………5分（3）2313t <<或2t >+．……………………………………………………7分28．对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系()M N ，φ．（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，则点1(02)P ，，2(11)P ，，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____；（2）已知点()20P ，，点()02Q ，，记线段PQ 为图形X ．①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y 为以(0)T t ，5⊙T 时，若图形X 与图形X 具有关系()X Y ，φ，求t 的取值范围．【答案】28．（1）1P ；（2）①是，图1图2如图1，在直线y x =上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上.这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点.故图形X 与图形Y 满足(),X Y ϕ.直线y x =与线段PQ 交于点M （1，1），过点M 作MH ⊥y 轴于H ，与1A B 交于点N ，则11MA =，22MN =，可得1A （212-，212+）.同理可求得2A （212+，212-）.如图2，在线段PQ 上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，4A 两点.故图形X 与图形Y 满足(),Y X ϕ.同上可求得3A （212-，212-），4A （212+，212+）.②51t -≤≤-或225t -≤≤.28.对于平面直角坐标系xoy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作d （P ，直线AB ）．已知A (2，0)，B (0，2)．（1）求d （点O ，直线AB ）；（2）⊙T 的圆心为(,0),T t 半径为1，若d (⊙T ，直线AB )≤1，直接写出t 的取值范围；（3）记函数,(11,0)y kx x k =-≤≤≠的图象为图形Q ．若d (Q ，直线AB )=1，直接写出k 的值．【答案】28.(1)∵A (2，0)，B (0，2),∴△AOB 是等腰直角三角形，如图，作OH ⊥AB 于点H ，∴点H 是AB 的中点.∵AB =2 ，∴d （点O ，直线AB ）=OH = ；......................................................................2分（2）22t -≤≤+5分．（3）3k =-或1k =-7分．28．1(1,)2M --，1(1,2N -是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点．（1）在点11(0,)2A ，21(,0)2A ,3A ,4(2,2)A 中，线段MN 的可视点为_____；（2）若点B 是直线12y x =+上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围；（3）直线(0)y x b b =+≠与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围．【答案】28．解：（1）A 1，A 3；……………………………………………………………………………………2分（2）如图，以（0，12-）为圆心，1为半径作圆，以（0，12为半径作圆，两圆在直线MN 上方的部分与直线12y x =+分别交于点E ，F ．可求E ，F 两点坐标分别为（0，12）和（1，32）．只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点．∴点B 的横坐标t 的取值范围是01t ≤≤．……………………………………………5分（3）1522b ≤≤或322b -<≤-．…………………………………………………………7分28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得点P 在射线BC 上，且14APB ACB ∠=∠（0°＜∠ACB ＜180°），则称P 为⊙C 的依附点．（1）当⊙O 的半径为1时，①已知点D （-1，0），E （0，-2），F （2.5，0），在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是__________；②点T 在直线y =-x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y =-x +2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ．若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）①E ，F ；.........................2分②22t t <<-<<或.........................5分（2）42m -<<-4m <<..........................7分………………………………5分28．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h=PQ ，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”.（1）已知点A (4,0)，①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt △ABC 是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线25y x =-上，则点B 的坐标为_________________________________；（2）⊙T 的圆心为点T )0,2(，半径为2，点M 的坐标为)6,2(，N 为直线4+=x y 上一点，若存在Rt △MND ，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与⊙T 有公共点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．【答案】28．解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，则OR=AR ．过点R 作RH ⊥OA 于点H ，∴OH=HA ．∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”，∴RH =OA=4．∴OR=25即腰长为25②（1，0）（3，0）（7，0）若A 为直角顶点时，点B 的坐标为（1，0）或（7，0）；若B 为直角顶点时，点B 的坐标为（1，0）或（3，0）综上，点B 的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）.（2）若N 为直角顶点：120N x --≤≤；若M 为直角顶点：62N x -≤≤-；综上：60N x -≤≤．……………1分………………………………7分……………2分28．对于平面直角坐标系xOy 中的动点P 和图形N ，给出如下定义：如果Q 为图形N 上一个动点，P ，Q两点间距离的最大值为d max ，P ，Q 两点间距离的最小值为d min ，我们把d max +d min 的值叫点P 和图形N 间的“和距离”，记作(),d P N 图形．（1）如图，正方形ABCD 的中心为点O ，A （3，3）．①点O 到线段AB 的“和距离”(),d O AB =线段；②设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，(),7d P ABCD =正方形，求点P 的坐标．图1（2）如图2，在（1）的条件下，过C ，D 两点作射线CD ，连接AC ，点M 是射线CD 上的一个动点，如果(),6d M AC <<+线段，直接写出M 点横坐标t 取值范围．28．（本小题满分7分）解：（1）①323；…………………………………………………………………………………2分②如图，设P （0，t ）.∵点P 在线段EF 上，∴-3≤t ≤3.当0≤t ≤3时，由题意可知d max =PC ，d min =PE .∴PE =3-t ，PF =t +3，CF =3.∵(),7d P ABCD =正方形，∴PC +PE =7.∴PC =4+t .在Rt △PCF 中，由勾股定理得()()222433t t +=++，解得 1.t =…………………………………………………………………………………4分∴P （0，1）.当0＞t ≥-3时，由对称性可知P （0，-1）.综上，P 的坐标为（0，1）和（0，-1）.………………………………………………5分（2）3 3.t -＜＜…………………………………………………………………………………7分房山二模28.对于平面直角坐标系x Oy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC =30°，则称P 为⊙C 的半角关联点.当⊙O 的半径为1时，（1）在点D （12，-12），E （2，0），F （0，32）中，⊙O 的半角关联点是__________；（2）直线l ：323y x =--交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围.【答案】28.(1)D 、E ………………………………………………2分(2)((0,2)M N -………………………………………3分以O 为圆心,ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ，可得m ≤0………………………………………………4分设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ，连接OG ，HG∵M （-，0），N （0,2）∴OM =，ON =2，tan ∠OMN =33∴∠OMN =30°，∠ONM =60°∴△OGN 是等边三角形∴GH ⊥y 轴，∴点G 的纵坐标为-1，代入323y x =--可得，横坐标为，∴m ≥………………………………………………6分∴≤m ≤0………………………………………………7分28.对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，给出如下定义：点M 与点N 的“折线距离”为：2121),(y y x x N M d -+-=．例如：若点M (-1，1)，点N (2，-2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：(,)121(2)336d M N =--+--=+=．根据以上定义，解决下列问题：(1)已知点P (3，-2)．①若点A (-2，-1)，则d (P ，A )=；②若点B (b ，2)，且d (P ，B )=5，则b =；③已知点C （m ,n ）是直线y x =-上的一个动点，且d (P ，C )<3，求m 的取值范围．(2)⊙F 的半径为1，圆心F 的坐标为(0，t )，若⊙F 上存在点E ，使d (E ，O )=2，直接写出t 的取值范围．【答案】28.解：(1)①)1()2()2(3),(---+--=Q P d =6-------------1分②5432)2(3),(=+-=--+-=b b H P d ∴13=-b ∴b =2或4----------------------3分③32323)2(3),(<-+-=+-+-=--+-=m m m m n m C P d 即数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3，所以1＜m ＜4----------------5分(2)223322-≤≤-≤≤-t t 或-------------------7分28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP =2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3（2，2）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是；（2）在直线b +=x y 33上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围；（3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】28.解：（1）①4,2……………………………2分②A 1……………………………3分（2）∵O 到直线b +=x y 33的距离是9.∴36±=b ∴3636≤≤-b …………………………5分（3）31m ≤≤-或4m ≤≤-…………………7分28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P’，当点P’在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（1,0），B（0,2），C（3,3）（1）当⊙O的半径为1时，①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；②已知点M在直线323y x=-+上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；（2）已知点D()，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T（t，－1），半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．【答案】28．解：（1）①B； (1)②0m≤≤ (4)（2）4t-≤≤ (7)28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 及以点C 为圆心，1为半径的⊙C ，给出如下定义:P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙C 上任意一点，如果P ,Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙C 的“圆距离”，记作d （M -C ）.（1）点C 在原点O 时，①记点A (4,3)为图形M ,则d （M -O ）=______；②点B 与点A 关于x 轴对称，记线段AB 为图形M ,则d （M -O ）=______；③记函数4y kx =+（0k >）的图象为图形M ，且d （M -O ）1≤，直接写出k 的取值范围；（2）点C 坐标为（t ,0）时,点A ，B 与（1）中相同，记∠AOB 为图形M ，且d （M -C ）=1，直接写出t 的值.【答案】28．解：（1）①4………………………………………………………………………………………………1分②3…………………………………………………………………………………………2分③k ……………………………………………………………………………………2分（2）10t=-2t=3或………………………………………………………………………………2分更多初中数学试卷，分类汇编，专题视频请微信关注。