2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程

方法二
∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 16 9 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝ ，b＝－ ， 3 4 16 9 2 ∴所求抛物线的方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4
2
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(2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
基 础 梳 理
1．抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条不过该定 点的定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛 物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 例：点 M 与点 F(4,0)的距离等于它到直线 l：x＋4＝0 的 距离，点 M 的轨迹是( D ) A．圆 C．双曲线 D．抛物线 B．椭圆
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基 础 梳 理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x
p p 轴的正半轴上，坐标是 ，0，它的准线方程是 x＝－ . 2 2
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基 础 梳 理 3．抛物线方程的几种形式.
图 形 标准方程 焦点坐标
p ，0 2 p － ，0 2 p 0， 2 p 0，－ 2
准线方 程
y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
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自 测 自 评
3．准线方程为x＝1的抛物线的标准方程是( B )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
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C．y2＝－2x
D． y2 ＝4x
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题型一 例1
求抛物线的焦点坐标和准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
x＝－
p
2
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x＝
p
2 2
p y＝－ y＝ p
2
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自 测 自 评
1．已知曲线 C：y2＝2px 上一点 P 的横坐标为 4，P 到焦点 的距离为 5，则曲线 C 的焦点到准线的距离为( C ) 1 A. 2 B ．1 C．2 D．4
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2．抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( B ) 17 A. 16 7 C. 8 15 B. 16 D．0
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变 式 训 练 2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－ 3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值．
解析：方法一 因为抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， 所以设抛物线方程为 y
2 m ＝6p， 2
p ＝－2px(p>0)，则焦点坐标 F－ ，0. 2
1 1 所以焦点坐标是0， ，准线方程是 y＝－ . 10 10 a (3)由 a＞0 知 p＝ ，所以焦点坐标是 ，0，准线方程 2 4
a
是 x＝－ . 4 点评：求抛物线的焦点坐标和准线方程，首先将抛物线 方程化为标准方程，然后再按照抛物线的定义和 p 的几何意 义求解．
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点评：求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若
已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程， 求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况 讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝
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ay(a≠0)．
2
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x 2 y2
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a
1 p 1 所以 2p＝－ ，所以 p＝－ ，所以准线方程为 y＝ ＝－ ＝2，所 a 2a 2 4a 1 1 以 a＝－ . 8
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(2)由椭圆方程可知 a＝ 6，b＝ 2，c＝ a2－b2＝2， 所以椭圆右焦点为(2,0)，所以 ＝2，得 p＝4. 2 1 答案：(1)－ 8 (2)4
(1)y2＝－14x； (2)5x2－2y＝0； (3)y2＝ax(a＞0)．
7 解析：(1)因为 p＝7，所以焦点坐标是－ ，0， 2
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7 准线方程是 x＝ . 2 2 1 (2)抛物线方程化为标准形式为 x2＝ y，因为 p＝ ， 5 5
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a
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变 式 迁 移
1．(1)抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值为 ________． (2)若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆 ＋ ＝1 的右焦点 6 2 重合，则 p 的值为______________．
1 解析：(1)抛物线方程化为标准形式为 x ＝ y，由题意得 a<0，
第二章
圆锥曲线与方程
物 线
2． 4 抛
2．4.1 抛物线及其标准方程
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1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画
现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
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p
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题型二 例2
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
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(1)顶点在原点，过点(3，－4)； (2)顶点在原点，焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解析：(1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1 ＞0)． 把点(3， －4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y， 得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)． 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4 www.gzjxw.net