向量代数与空间解析几何平面与直线方程
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第五节
平面与直线方程
第五节
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
平面与直线方程
一
平面方程的各种形式
二 三
直线方程的各种形式 平面直线间的夹角及相互关系
-1-
第五节
平面与直线方程
一
第 七 章
平面方程的各种形式
1 平面方程的点法式
z
n
M
如果一非零向量垂直于一 平面，这向量就叫做该平面的 空 间法向量． 解 法向量的特征： 析
（点向式） 直线的一组方向数
- 12 -
s
L
第五节
平面与直线方程
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
第 七 章
空 间 解 析 例6 求过两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 的直线方程。 几 何 解 所求直线的方向向量为 与 向 s AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 } 量 代 所求直线方程为 数 x x1 y y1 z z1 直线两点式方程
x x 0 y y0 z z 0 t 令 m n p x x0 mt 直线的参数方程 y y0 nt z z pt 0
x2 x1
y2 y1
z2 z1
- 13 -
第五节
平面与直线方程
例7
第 七 章
用对称式方程及参数方程表示直线
所求平面Leabharlann Baidu程为
14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得
14 x 9 y z 15 0.
-4-
第五节
平面与直线方程
由平面的点法式方程
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
几 何 与 向 量 代 数
M0
o
y
x
垂直于平面内的任一向量． 已知平面的法向量为 n { A, B , C }, 且过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
-2-
第五节
所求平面方程为
2 x 2 y 3 z 0.
-8-
第 七 章
例4 设平面与 x , y, z 三轴分别交于 P (a ,0,0)、 Q(0, b,0)、R(0,0, c ) （其中 abc 0) 求此平面方程.
第五节
平面与直线方程
空 间 解 析 几 何 与 向 代入所设方程得 量 x 代 数
1 cos 60
1 . 两平面相交，夹角 arccos 60
- 18 -
第五节
平面与直线方程
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
( 2) 2 x y z 1 0, n1 {2,1,1}, 解
4 x 2 y 2z 1 0
n2 {4, 2,2}
A n0 , 2 2 2 A B C B , 2 2 2 A B C
- 20 -
C 2 2 2 A B C
第五节
平面与直线方程
Prjn P1 P0 P1 P0 n0
a 1, b 6, c 1, 所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
- 10 -
第五节
平面与直线方程
二
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
直线方程的各种形式
1 空间直线的一般方程 空间直线可看成不平行两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
a
x 轴上截距 y 轴上截距
y z 1 平面的截距式方程 b c z 轴上截距
-3-
第五节
平面与直线方程
例1求过三点 A( 2,1,4) B( 1,3,2) 和 C (0,2,3)
第 的平面方程. 七 解 章 AB 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
{3, 4,6}
AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1},
空 间 所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA {2, 0, 4}, 解 析 x2 y3 z4 . 所求直线方程 几 2 0 4 何 与 或 向 量 2x z 0 代 数 y 3
- 15 -
第五节
平面与直线方程
三
第 七 章
平面直线间的夹角及相互关系
2 1 1 1 4 2 2 1
两平面平行但不重合．
( 3) 2 x y z 1 0,
解
4 x 2 y 2z 2 0
2 1 1 1 4 2 2 2
两平面重合.
- 19 -
第五节
平面与直线方程
例9
设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 Ax By Cz D 0
D
Ax By Cz D 0
法向量 n { A, B , C }.
平面的一般方程
-5-
第五节
平面与直线方程
) x yz7 和 ，且垂直于平面 例2 求过点 (1,1,1
第 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程. 七 章 解 n1 {1,1, 1}, n2 {3, 2,12} 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
平面与直线方程
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
第 七 章
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程 空 间 其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 解 析 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足 几 何 上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 与 向 量 代 数
1
- 16 -
n2 { A2 , B2 , C2 },
第五节
平面与直线方程
按照两向量夹角余弦公式有
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
第 外一点，求 P 到平面的距离. 0 七 章 解
n
P1 ( x1 , y1 , z1 )
P0
P1
N
空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
d | Prjn P1 P0 |
Prjn P1 P0 P1 P0 n0
P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
空间直线的一般方程
- 11 -
z
1 2
o
L
y
x
第五节
平面与直线方程
2 空间直线的对称式方程与参数方程
第 七 为这条直线的方向向量． 章
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称 设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
空 s {m , n, p}, 间 方向向量为
M 解 M ( x, y, z ) 为直线上任意一点 析 M0 几 M 0 M // s 何 y o 与 M M {x x , y y , z z } 0 0 0 0 向 x 量 （标准式） x x 0 y y0 z z 0 代 直线的对称式方程 m n p 数
-9-
第 七 章
例5 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0 而与三个 坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 .
第五节
平面与直线方程
x y z 解 设平面为 1, a b c
1 1 空 | abc | 1, V 1 , 间 3 2 1 1 1 解 a b c, 析 由所求平面与已知平面平行得 几 6 1 6 令 何 1 1 1 1 1 1 t a , b , c , 与 6a b 6c 6t 6t t 向 1 1 1 1 1 量 1 | | t 代 代入体积式 6 6t t 6t 6 数
第五节
平面与直线方程
例9
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0,
解
y 3z 1 0
| 1 0 2 1 1 3 | cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, ( 2) A 0, D 0,
平面通过 x 轴；
平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 对称式方程 数
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0 解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 ) y0 z 0 2 0 , 解得 y0 0, z0 2 取 x0 1 y0 3 z 0 6 0 点坐标 (1,0,2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 s n1 n2 {4,1,3},
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;
A1 B1 C1 . ( 2) 1// 2 A2 B2 C 2
特别 1 与 2 重合
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C 2 D2
- 17 -
1 两平面间的夹角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
定义
空 （通常取锐角） 间 解 析 n1 几 n2 何 与 2 向 量 代 数
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 },
x 1 4t . x 1 y 0 z 2 参数方程 y t , z 2 3 t 4 1 3
- 14 -
第五节
平面与直线方程
例8 一直线过点 A( 2,3,4), 且和 y 轴垂直相交，
第 求其方程. 七 章
解
因为直线和 y 轴垂直相交,
取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
-6-
第五节
平面与直线方程
平面一般方程的几种特殊情况：
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
-7-
第五节
平面与直线方程
例3
第 七 章
设平面过原点及点 (6,3, 2), 且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
空 间 由平面过原点知 D 0, 解 析 由平面过点 ( 6,3, 2) 知 6 A 3B 2C 0 几 何 4 A B 2C 0 与 n {4,1,2}, 向 量 2 代 A B C, 数 3
平面与直线方程
第五节
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
平面与直线方程
一
平面方程的各种形式
二 三
直线方程的各种形式 平面直线间的夹角及相互关系
-1-
第五节
平面与直线方程
一
第 七 章
平面方程的各种形式
1 平面方程的点法式
z
n
M
如果一非零向量垂直于一 平面，这向量就叫做该平面的 空 间法向量． 解 法向量的特征： 析
（点向式） 直线的一组方向数
- 12 -
s
L
第五节
平面与直线方程
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
第 七 章
空 间 解 析 例6 求过两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 的直线方程。 几 何 解 所求直线的方向向量为 与 向 s AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 } 量 代 所求直线方程为 数 x x1 y y1 z z1 直线两点式方程
x x 0 y y0 z z 0 t 令 m n p x x0 mt 直线的参数方程 y y0 nt z z pt 0
x2 x1
y2 y1
z2 z1
- 13 -
第五节
平面与直线方程
例7
第 七 章
用对称式方程及参数方程表示直线
所求平面Leabharlann Baidu程为
14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得
14 x 9 y z 15 0.
-4-
第五节
平面与直线方程
由平面的点法式方程
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
几 何 与 向 量 代 数
M0
o
y
x
垂直于平面内的任一向量． 已知平面的法向量为 n { A, B , C }, 且过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
-2-
第五节
所求平面方程为
2 x 2 y 3 z 0.
-8-
第 七 章
例4 设平面与 x , y, z 三轴分别交于 P (a ,0,0)、 Q(0, b,0)、R(0,0, c ) （其中 abc 0) 求此平面方程.
第五节
平面与直线方程
空 间 解 析 几 何 与 向 代入所设方程得 量 x 代 数
1 cos 60
1 . 两平面相交，夹角 arccos 60
- 18 -
第五节
平面与直线方程
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
( 2) 2 x y z 1 0, n1 {2,1,1}, 解
4 x 2 y 2z 1 0
n2 {4, 2,2}
A n0 , 2 2 2 A B C B , 2 2 2 A B C
- 20 -
C 2 2 2 A B C
第五节
平面与直线方程
Prjn P1 P0 P1 P0 n0
a 1, b 6, c 1, 所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
- 10 -
第五节
平面与直线方程
二
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
直线方程的各种形式
1 空间直线的一般方程 空间直线可看成不平行两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
a
x 轴上截距 y 轴上截距
y z 1 平面的截距式方程 b c z 轴上截距
-3-
第五节
平面与直线方程
例1求过三点 A( 2,1,4) B( 1,3,2) 和 C (0,2,3)
第 的平面方程. 七 解 章 AB 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
{3, 4,6}
AC {2, 3,1}
取 n AB AC {14, 9,1},
空 间 所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA {2, 0, 4}, 解 析 x2 y3 z4 . 所求直线方程 几 2 0 4 何 与 或 向 量 2x z 0 代 数 y 3
- 15 -
第五节
平面与直线方程
三
第 七 章
平面直线间的夹角及相互关系
2 1 1 1 4 2 2 1
两平面平行但不重合．
( 3) 2 x y z 1 0,
解
4 x 2 y 2z 2 0
2 1 1 1 4 2 2 2
两平面重合.
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第五节
平面与直线方程
例9
设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 Ax By Cz D 0
D
Ax By Cz D 0
法向量 n { A, B , C }.
平面的一般方程
-5-
第五节
平面与直线方程
) x yz7 和 ，且垂直于平面 例2 求过点 (1,1,1
第 3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程. 七 章 解 n1 {1,1, 1}, n2 {3, 2,12} 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
平面与直线方程
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
第 七 章
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程 空 间 其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 解 析 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足 几 何 上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 与 向 量 代 数
1
- 16 -
n2 { A2 , B2 , C2 },
第五节
平面与直线方程
按照两向量夹角余弦公式有
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
第 外一点，求 P 到平面的距离. 0 七 章 解
n
P1 ( x1 , y1 , z1 )
P0
P1
N
空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
d | Prjn P1 P0 |
Prjn P1 P0 P1 P0 n0
P1 P0 { x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 }
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
空间直线的一般方程
- 11 -
z
1 2
o
L
y
x
第五节
平面与直线方程
2 空间直线的对称式方程与参数方程
第 七 为这条直线的方向向量． 章
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称 设直线过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
空 s {m , n, p}, 间 方向向量为
M 解 M ( x, y, z ) 为直线上任意一点 析 M0 几 M 0 M // s 何 y o 与 M M {x x , y y , z z } 0 0 0 0 向 x 量 （标准式） x x 0 y y0 z z 0 代 直线的对称式方程 m n p 数
-9-
第 七 章
例5 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0 而与三个 坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 .
第五节
平面与直线方程
x y z 解 设平面为 1, a b c
1 1 空 | abc | 1, V 1 , 间 3 2 1 1 1 解 a b c, 析 由所求平面与已知平面平行得 几 6 1 6 令 何 1 1 1 1 1 1 t a , b , c , 与 6a b 6c 6t 6t t 向 1 1 1 1 1 量 1 | | t 代 代入体积式 6 6t t 6t 6 数
第五节
平面与直线方程
例9
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0,
解
y 3z 1 0
| 1 0 2 1 1 3 | cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, ( 2) A 0, D 0,
平面通过 x 轴；
平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 对称式方程 数
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0 解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 ) y0 z 0 2 0 , 解得 y0 0, z0 2 取 x0 1 y0 3 z 0 6 0 点坐标 (1,0,2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 s n1 n2 {4,1,3},
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;
A1 B1 C1 . ( 2) 1// 2 A2 B2 C 2
特别 1 与 2 重合
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C 2 D2
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1 两平面间的夹角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
定义
空 （通常取锐角） 间 解 析 n1 几 n2 何 与 2 向 量 代 数
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 },
x 1 4t . x 1 y 0 z 2 参数方程 y t , z 2 3 t 4 1 3
- 14 -
第五节
平面与直线方程
例8 一直线过点 A( 2,3,4), 且和 y 轴垂直相交，
第 求其方程. 七 章
解
因为直线和 y 轴垂直相交,
取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
-6-
第五节
平面与直线方程
平面一般方程的几种特殊情况：
第 七 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数
-7-
第五节
平面与直线方程
例3
第 七 章
设平面过原点及点 (6,3, 2), 且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
空 间 由平面过原点知 D 0, 解 析 由平面过点 ( 6,3, 2) 知 6 A 3B 2C 0 几 何 4 A B 2C 0 与 n {4,1,2}, 向 量 2 代 A B C, 数 3