第四章 谓词逻辑及演算PPT课件
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谓词逻辑学习课件PPT
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3 2018/4/11
பைடு நூலகம் 第三节
等价与蕴涵
与命题逻辑一样，一阶逻辑也有等价与蕴 涵的问题,考虑了下列问题: 1.量词与否定联结词之间的关系 ; 2.量词辖域的扩张与收缩规律； 3.量词与联结词之间的13个基本等价式； 4.5个基本蕴涵式； 5.改变公式的两个量词排列次序的变化规律； 6.对偶式的概念与对偶原理
7 2018/4/11
第五章
谓词逻辑
本章可视为前一章的深入和提高； 由于命题逻辑的局限性我们必须 引入谓词逻辑.学习本章时要求掌 握好谓词与命题的关系、量词、 辖域、公式等概念.比较谓词公式 的等价、蕴涵与命题公式相应的 概念的异同；能将自然语言符号 化；能用谓词逻辑进行推理；理 解前束范式的意义.
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1 2018/4/11
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4 2018/4/11
第四节
前束范式
范式是解决公式的标准表示形式问题.在 一阶逻辑性中同样有范式的概念并且范式 也不只一种.但我们仅介绍一种范式—— 前束范式 1.前束范式的定义； 2.前束范式的存在性,即一阶逻辑中的任意 公式，都存在一个与之等价的前束范式； 3.前束范式的求法,见书中给出的例子.
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5 2018/4/11
第五节 谓词演算的演绎与推理
与命题逻辑中的推理一样 ,谓词逻辑中的推理 也是利用公式间的各种等价关系，蕴涵关系. 通过一些推理规则，从已知的公式推出某些 新的公式 . 且命题逻辑的推理规则在谓词逻 辑中仍可使用 , 但由于谓词逻辑中引进了个 体词，谓词和量词，因此我们还必须添加一 些与量词有关的推理规则, 1.添加的推理规则是 :全称特定规则、存在特 定规则、全称推广规则、存在推广规则; 2.此外本节给出许多例子说明推理方法.
3 2018/4/11
பைடு நூலகம் 第三节
等价与蕴涵
与命题逻辑一样，一阶逻辑也有等价与蕴 涵的问题,考虑了下列问题: 1.量词与否定联结词之间的关系 ; 2.量词辖域的扩张与收缩规律； 3.量词与联结词之间的13个基本等价式； 4.5个基本蕴涵式； 5.改变公式的两个量词排列次序的变化规律； 6.对偶式的概念与对偶原理
7 2018/4/11
第五章
谓词逻辑
本章可视为前一章的深入和提高； 由于命题逻辑的局限性我们必须 引入谓词逻辑.学习本章时要求掌 握好谓词与命题的关系、量词、 辖域、公式等概念.比较谓词公式 的等价、蕴涵与命题公式相应的 概念的异同；能将自然语言符号 化；能用谓词逻辑进行推理；理 解前束范式的意义.
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第四节
前束范式
范式是解决公式的标准表示形式问题.在 一阶逻辑性中同样有范式的概念并且范式 也不只一种.但我们仅介绍一种范式—— 前束范式 1.前束范式的定义； 2.前束范式的存在性,即一阶逻辑中的任意 公式，都存在一个与之等价的前束范式； 3.前束范式的求法,见书中给出的例子.
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第五节 谓词演算的演绎与推理
与命题逻辑中的推理一样 ,谓词逻辑中的推理 也是利用公式间的各种等价关系，蕴涵关系. 通过一些推理规则，从已知的公式推出某些 新的公式 . 且命题逻辑的推理规则在谓词逻 辑中仍可使用 , 但由于谓词逻辑中引进了个 体词，谓词和量词，因此我们还必须添加一 些与量词有关的推理规则, 1.添加的推理规则是 :全称特定规则、存在特 定规则、全称推广规则、存在推广规则; 2.此外本节给出许多例子说明推理方法.
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)
证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：
谓词逻辑的等值和推理演算
• 例2:人皆有死,孔子是人,所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
谓词演算与消解(归结)原理_图文
否定与全称量词、存在量词之间的关系 。 对于谓词 P, Q, 变元 X, Y有： ~彐X P(X) ＝ X ~P(X) ~ X P(X) ＝ 彐X ~P(X) 彐X P(X) ＝ 彐Y P(Y) X Q(X) ＝ Y Q(Y) X (P(X)∧Q(X) ) ＝ X P(X)∧ Y Q(Y) 彐X (P(X)∨Q(X) ) ＝ 彐X P(X)∨彐Y Q(Y)
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
2.savings (adequate)∧income (adequate ) => investment (stocks).
3. Savings (adequate)∧income (inadequate) => investment (combination).
4. X amountsaved (X)∧彐Y(dependents (Y)∧ greater (X, minsavings (Y))) => savings (adequate).
3.2 谓词演算
原子命题：是一个n元谓词，后跟n个项，用括号括起来
并用逗号分开。 常元符
例：
号
谓词符号
likes (george, kate). likes (X, george).
likes (george, susie). likes (X, X).
likes (george, sarah, tuesday).
谓词演算的字母表组成： （1）英文字母组合，包括大写与小写 （2）数字集合0,1,…,9 （3）下划线 如：George fires bill xxxx
3.2 谓词演算
谓词演算符号包括： 1.真值符号 true 和 false。 2.常元符号,第一个字符为小写字母的符号表达式。 3.变元符号,第一个字符为大写字母的符号表达式。 4.函词符号,第一个字符为小写字母的符号表达式, 函 词有一个元数, 指出从定义域中映射到值域中的每个元 素。
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
04-2第四章 推理技术-谓词逻辑
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
8
第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
交大数理逻辑4-2-谓词逻辑的基本概念PPT课件
该命题符号化为： (e)(d)(x)(((P(e,0)→P(d,0))∧Q(|x-a|,d)∧P(|x-a|, 0))
→Q(|f (x)-b|, e))
对谓词变元多次量化的分析
设P(x, y)是二元谓词，则两变元的量化形式为： (x)(y)P(x, y)= (x)((y)P(x, y))
对一切的x和一切的y, 都有关系P，量词次序可互换
如(x)(y)P(x, y)在{1, 2}上的解释
对(x)(y)P(x, y)一个解释I如下：
D={1, 2}; 谓词: P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=F; P(2,2)= T;
(x)(y)P(x, y) (y)P(1, y) (y)P(2, y)
(P(1, 1) P (1, 2)) (P(2, 1) P (2, 2)) =(T F) (F T) =T
自然语句的形式化
在《数学分析》中极限定义为： 任给小正数e ，则存在一个正数d ，使得当
0<|x-a|< d 时有 |f (x)-b|<e。此时即称
limf (x) b
xa
解1: (e)(e>0(d)(x)(d>0 (0<|x-a|<d|f (x)-b|<e))) 解2：设 P(x, y)：x>y, Q(x, y)：x<y
公式的解释举例
对(x)(P(x)→Q(f (x), a))一个解释I如下：
D={1, 2}; D中特定元素a=1; 函数f (x): f (1)=2, f (2)=1 谓词: P(x): P(1)=F, P(2)=T
Q(x, y): Q(1, 1)=Q(1, 2)=Q(2, 2)= T ，Q(2, 1)= F
→Q(|f (x)-b|, e))
对谓词变元多次量化的分析
设P(x, y)是二元谓词，则两变元的量化形式为： (x)(y)P(x, y)= (x)((y)P(x, y))
对一切的x和一切的y, 都有关系P，量词次序可互换
如(x)(y)P(x, y)在{1, 2}上的解释
对(x)(y)P(x, y)一个解释I如下：
D={1, 2}; 谓词: P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=F; P(2,2)= T;
(x)(y)P(x, y) (y)P(1, y) (y)P(2, y)
(P(1, 1) P (1, 2)) (P(2, 1) P (2, 2)) =(T F) (F T) =T
自然语句的形式化
在《数学分析》中极限定义为： 任给小正数e ，则存在一个正数d ，使得当
0<|x-a|< d 时有 |f (x)-b|<e。此时即称
limf (x) b
xa
解1: (e)(e>0(d)(x)(d>0 (0<|x-a|<d|f (x)-b|<e))) 解2：设 P(x, y)：x>y, Q(x, y)：x<y
公式的解释举例
对(x)(P(x)→Q(f (x), a))一个解释I如下：
D={1, 2}; D中特定元素a=1; 函数f (x): f (1)=2, f (2)=1 谓词: P(x): P(1)=F, P(2)=T
Q(x, y): Q(1, 1)=Q(1, 2)=Q(2, 2)= T ，Q(2, 1)= F
谓词逻辑的等值和推理演算共46页文档48页PPT
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
谓词逻辑的等值和推理 演算共46页文档
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8பைடு நூலகம்我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
谓词逻辑的等值和推理 演算共46页文档
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8பைடு நூலகம்我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
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例4：这个人正在看那本红皮面的书。 解：F（x，y）表示“x正在看y”，G（x）表 示“x是人”，H（y）表示“y是红皮面的”，U （y） 表示“y是书”，a表示“这个”，b表示“那 本”，
则此式可表示为： F（a，b）∧G （a）∧H（b）∧U（b）
10.08.2020
7
一般地讲，对日常的语句，我们可给出一个大体的准则， 根据这些准则可写出其逻辑表达式来。
10.08.2020
8
§ 4.2量词
在数学上或日常生活中经常碰到“对一切”、“所有的”、 “存在一个”、“至少有一个“等的概念。我们以上学过的方 法与技巧是无法表达清楚的，一个谓词演算中的表达不一定是 确定的，个体域中不同而个体代入后可得到不同的真假值。如 我们考察下面两个式子（它们均以整数作为其个体域）：
例如： 所有的科学是有用的。 数理逻辑是科学。 所以，数理逻辑是有用的。
又例如：凡人必死。 张三是人 故张三必死。
10.08.2020
3
上述两个例子的主要原因就是在于这种推理中需要对原子命 题作进一步分解，在上述两个例子中，每个例子三个命题间， 具有必然的内在逻辑关系，只有对这种内存逻辑联系深入研究 后，才能解决形式逻辑中的一些推理问题。谓词演算正是为了 这样的目的，换言之也就是对原子命题进行进一步的分解。
（1）（X+1）2=X2+2X+1 （2）X+6=5 对于（1）我们发现任何整数代入后等式总是正确，但是对 （2）分析则不然，它只存在一个整数即（-1）代入后使得等式
成立。 又如：“q或者大于0，或者等于0，或者小于0”，当然
该句可写成：q＞0∨q=0∨q<0 这有一个问题是，“每一个数或者大于0，或者小于0，或者
名词：专用名词（如王强，美国等）为个体 用名词（如楼房，人等）一般可为谓词 代名词：人称代词（如：你，我，他），指示代词（如 这个，那个）为个体。 不定代词（如任何，每个，有些，一些等）为量词。 形容词：一般为谓词 数词： 一般为量词 动词： 一般为谓词 副词： 与所修饰的动词合并为一谓词，不在分解。 前置词：与其它有关字合并为一，本身不独立表示。 连接词：一般为命题联结词。 以上准则只供参考，在具体应用时常常也有许多例外。
在谓词演算中，将原子命题分解为谓词与个体两部分，在上 例中，“数理逻辑是科学”即主语“数理逻辑”与谓语“是科 学”，“张三是人”中的“张三”是主语，“是人” 为谓语。 换言之在数理逻辑中将主语称为个体，将谓语称为谓词。
所谓个体既是可以独立存在的物体。它可以是抽象的，也可 以是具体的，如：鲜花代表团，自行车，自然数，唯物主义等 等都是个体。谓词是用来刻划个体的性质或关系。如“3整除6” 这里3与6是个体，关系“整除”是谓词。
一个谓词可以与某个个体相联，此种谓词称为一元谓词。上 例中张三，3，6等也可以是抽象的，比如x，y。由个体组成的 集合称为个体域（或论述域），以某个个体域I为变域的变元叫 做个体变元。
10.08.2020
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一个单独的谓词是没有含义的，如：“…是大学生“，这 个谓词必须跟随一定数量的个体后才有明确的含义，最重要的 是能分别其真假。个体谓词中的次序有时也是很重要的，如 “上海位于南京与杭州之间”，此命题为真，其中“上海”、 “南京”、“杭州”三个个体间次序不能随便颠倒，如果写成 “杭州位于南京和上海之间”，则此时命为假。所以，由谓词 以及跟随它的若干个有一定次序的个体便可构成一个完整的命 题。
例2：我国领导人访问美国 。 解：F（x，y）表示x访问y，a表示我国领导人， b表示美国，则此式可表示为： F（a，b）
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例3：这座大楼建成了。
解：F（x）表示“x建成了”，G（x）表示 “x是大的”， H（x）表示“x是大楼”， 则此 式可表示为：
F（a）∧G （a）∧H（a）
n元谓词当然需要赋于n个个体变元才有意义，我们把谓词 后填以个体称为谓词填式。
有了谓词的概念后我们可以将一些日常用语及命题更深刻 地刻划出来，下面我们以几个例子说明：
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例1：王强是大学生李华也是大学生。 解：F表示大学生， F（x）表示x是大学生。 a表示“王强”，b表示“李华”，则此式可表 示为： F（a）∧F （b）
那么如何在谓词演算中刻划谓词与个体间的关系 呢？只有一个办法来引进一些新的符号，它们叫做量 词。量词有两种，一种叫做全称量词，一种叫做存在 量词。
它的定义如下:
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定义1：凡表示“任意一个”，“一切”，“每 个”，“任何”等词时，均为全称量词（全称变元） 记作 x 。
定义2：“某个”，“一个”，“一些” 等词 时均可用存在性变元翻译，记为ヨx。凡表示确定的 但目前尚未知道的或不必明白指出的个体变元称之 为存在量词。
等于0，”那么我们不仿把每个数看成为一个个体，而译为： a>0∨a=0∨a<0 (a表示”每一数”)这样的结果为,”每一数大 于0或每一数等于0或每一数小于0,”显然这与原意不同。
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通过上述例子说明：任一谓词演算与其个体间存 在着一些关系。
例如：1.对个体域中（所有个体）式子均为真 2.对个体域中（一些个体）式子均为真
第四章 谓词逻辑及演算
4.1 谓词与个体 4.2 量词 4.3 函词（函数） 4.4 自由变元与约束变元
习题及参考答案
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§4.1 谓词与个体
我们知道，命题演算的基本研究单位是原子命题， 在命题演算中，原子命题是不能再分割的了。这对研 究命题间的关系是比较合适的。但是，在进一步研究 时就会发现，仅仅命题演算对我们是很不够的并且也 不充分，比如：三段论在命题演算系统中是无法完成 的。
下面我们一般用大写拉丁字母A，B…E表示谓词，用小写拉 丁字母a，b，c…z表示个体（或叫个体变元），这样x，y间具 有关系B可记作B（x，y），x，y，z具有关系C，记作C（x，y， z），上述是二元谓词和三元谓词，当然也可以表示为n元谓词 就是有n个个体变元的谓词，并约定0元谓词是命题。并记为P， Q，R。