苏教版必修5高一数学综合练习四
2021年苏教版高一数学测试四答案详解(苏教版必修5)
必修五模块测试四一、填空题1. 2.在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则b 等于 。
1. 46。
提示:A ＝180°－(B ＋C )＝45°，则结合正弦定理可得。
2. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是 。
2. 60°＜∠A ＜90°。
提示:∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＞0∴cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0 ∴∠A ＜90°，又∵a 边最大，∴A 角最大∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180° ∴3∠A ＞180°，∴∠A ＞60°∴60°＜∠A ＜90° 3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0.则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是 。
3.B 【解析】∵d ＜0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3－a 9 即a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5＞0，a 7＜0.4.满足不等式x ＋y ＋1<0表示平面区域的一个点的坐标为 。
4.(-2，0)。
提示:答案不唯一，代入满足x ＋y ＋1<0即可。
5.函数y ＝lg (x 2－2x)＋x 2－3x ＋2的定义域是 。
5. (2，＋∞)∪(－∞0)。
提示:由已知条件得:⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＞0x 2－3x ＋2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜0x ≥2或x ≤1所以x ＞2或x<0，所求函数f(x)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞0) 6. 已知△ ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且∠A ＝60°，则sin B= 。
6. 55738。
提示:由余弦定理得:BC 2＝9＋25－2×3×5cos 60°＝34－15＝19∴BC ＝19，又由正弦定理得:BC sin 60°＝AB sin C ＝ACsin B。
苏教版高中数学必修五模块综合检测卷
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作模块综合检测卷(测试时间： 120 分钟评论分值：150分)一、选择题 (每题共 10 个小题，每题共 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求 )1．已知 {a n}为等比数列， a4＋a7＝ 2，a5a6＝－ 8，则 a1＋a10＝ (D) A．7 B．5 C．－ 5D．－ 7分析：∵{a n}为等比数列，∴ a4a7＝a5a6＝－ 8.又a4＋a7＝ 2，∴a4＝4，a4＝－ 2，或a7＝ 4.a7＝－ 2当 a4＝4，a7＝－ 2 时， a1＝－ 8， a10＝1，∴ a1＋a10＝－ 7；当 a4＝－ 2，a7＝ 4 时， a10＝－ 8，a1＝1，∴ a1＋a10＝－ 7.综上， a1＋a10＝－ 7.2．某人投资 10 000 万元，假如年利润利率是5% ，按复利计算，5 年后能回收本利和为 (B)A ．10 000×(1＋5×5%)B ． 10 000× (1＋5%)5C ．10 000××（ 1－4）D ．10 000××（ 1－5）1－1－分析：注意与每年投入 10 000 万元差别开来．533．在△ ABC 中，已知 cosA ＝13，sin B ＝5，则 cosC 的值为 (A)1656A.65B.6516 56 16C.65或65D ．－ 65512 3分析： ∵cosA ＝13＞0，∴ sin A ＝13＞sin B ＝5.∴B 为锐角，故 cosB ＝4进而 ＝－ ＋ ＝－5.cosC cos(A B) cos Acos16B ＋ sin Asin B ＝ 65.4．若 a<b<0，d>c>0，则不等式① ad>bc ；②a c >cb ；③ a 2>b 2；④ a－d<b －c 中正确的个数是 (C)A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个分析：①错，②③④正确． 将 a<b<0 转变为－ a>－b>0，可得 (－1 1ad)>(－bc)，即 ad<bc ，故知 ①错；由 a<b<0? a >b ，c>0，故 ②正确；由于函数 y ＝x 2 在(－∞，0)上单一递减，故 ③正确；由 d>c>0，得－d<－c<0，故知 a －d<b －c ，故 ④正确．＋5．设 x ，y ∈R ，且 xy －(x ＋y)＝1，以下结论中正确的选项是 (A)C．x＋y≤( 2＋1)2D．xy≥2 2＋2分析：∵1＋x＋y＝xy≤x＋y 2，∴ (x＋ y)2－4(x＋ y)－4≥0.即 x 2＋y≥2(1＋2)(当 x＝y＝1＋ 2等号建立 )，x＋ y 的最小 2(1＋2)．nπ6．数列 {a n}的通公式a n＝ncos 2，其前n和S n，S2 015等于 (D)A．1 006 B．1 008C．－ 1 006 D．－ 1 008nπ分析：由 a n＝ ncos 2 可得S2 015＝1×0－2×1＋3×0＋ 4×1＋⋯－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋⋯－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－ 1 008.7．已知方程 x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0 有两个正根，数m 的取范是 (D)A．(－∞，－ 2) B．(－∞，－ 4]C．(－5，＋∞ ) D．(－5，－ 4]分析：方程两根正，Δ≥0，－（ m＋2）>0，?－5<m≤－4.m＋5>08．已知－ 1＜a＋b＜3 且 2＜a－b＜4， 2a＋3b 的取范是(D)A. －13，17B. －7，11 2222C. －7，13D. －9，132222分析：用待定系数法可得512a＋3b＝2(a＋b)－2(a－b)，－1＜a＋b＜ 3，－5＜5（a＋b）＜15，2 22由＜－＜?12 a b 4－2＜－2（a－ b）＜－ 1.913两式相加即得－2＜2a＋3b＜2 .9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则 x 的取值范围是(B)A．(1，3) B．( 5，13) C．(0， 5) D．( 13，5)分析：由三角形的三个角为锐角，联合余弦定理的推论可知，22＋32－ x2>0，22＋x2－ 32>0，解得 5＜ x2＜13，即 5<x<13.32＋x2－ 22>0，10．已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋ 4(a>0)，若 x1<x2，x1＋x2＝ 0，则(A)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．f(x1)与 f(x2)的大小不可以确立分析：函数 f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，二次函数的图象张口向上，对称轴为 x＝－ 1，a>0，又∵ x1＋ x2＝0，x1与 x2的中点为 0，x1<x2，∴x2到称的距离大于 x1到称的距离．∴ f(x1)<f(x2)，故 A. 二、填空(本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分，把答案填在中横上 )11．(2013 ·新全国卷Ⅰ)已知角△ ABC 的内角 A，B，C 的2分 a，b，c，23cosA＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6， b＝________．分析：先求出角 A 的余弦，再利用余弦定理求解．2＋＝得2＋2－＝，由 23cosA cos 2A 023cosA2cosA 101解得 cosA＝±.51∵A 是角，∴ cosA＝5.又 a2＝b2＋c2－2bccosA，∴49＝b2＋36－ 2×b×6×1 5.13∴b＝5 或 b＝－5 .又∵b＞ 0，∴ b＝5.答案：512． (2013 · 西卷 )察以下等式： 12＝ 1，12－22＝－ 3，12－22＋32＝ 6，12－22＋32－ 42＝－ 10，⋯，照此律，第n 个等式可____________．分析：当 n 偶数， (12－22)＋(32－42＋⋯＋－2－n2]＝)[(n1)－n（n＋1）；2当 n 奇数， (12－22)＋(32－42)＋⋯＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2（n －1）n2n （＋ ）＝－n1.2＋n ＝2答案： 12－22＋ 32－42＋⋯＋ (－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （ n ＋1）2y ≤1，．若 量 x ， y 足 束条件x ＋y ≥0，＝ － 2y 的最13z xx －y －2≤0，大 ________．分析：作出可行域 (如 )，由 z ＝x － 2y 得 y ＝12x －2z， 当目函数 C(1，－ 1)z 获得最大 ，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若b a b ＋m a ＋ na ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， a ，b ，a ＋m ，b ＋ n 由大到小的 序是．分析：用特别 法或作差比 法都很简单得出答案．a a ＋nb ＋m b答案： b＞b ＋n＞a ＋m＞a三、解答 (本 共 6 小 ，共 80 分．解答 写出文字 明、证明过程或推演步骤 )15．(本小题满分 12 分)等差数列{a n}不是常数列， a5＝ 10，且 a5，a7，a10是某一等比数列{b n}的第 1，3， 5 项．(1)求数列{a n}的第 20 项；(2)求数列{b n}的通项公式．分析：(1)设数列{a n}的公差为 d，则 a5＝10，a7＝10＋2d，a10＝10＋5d.由于等比数列 {b n}的第1、3、5项成等比数列，所以 a72＝ a5a10，即 (10＋2d)2＝10(10＋5d)．解得 d＝，d＝ 0(舍去 )．所以 a20＝47.5.(2)由 (1)知{a n}为各项非负的数列，所以2b3a73q＝b1＝a5＝2.∴q＝±3.又 b1＝a5＝ 10，2－3 n－1∴b n＝b1q n 1＝±10·2，n∈ N* .216．(本小题满分12 分)(2013 北·京卷 )在△ ABC 中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求 cosA 的值；(2)求 c 的值．分析： (1)由正弦定理得：3266sin A ＝sin 2A，解得cosA＝3.(2)由＝6? sin A ＝3，又 ∠B ＝2∠ A ，cosA33212 2∴cosB ＝2cosA － 1＝3.∴ sin B ＝ 3 ，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝ 3 1 6 2 23 ×3＋3 × 3＝59 3.asin C∴c ＝ sin A ＝5.17．(本小题满分 14 分)已知对于 x 的不等式 ax 2＋2x ＋c ＞0 的解集为 －31，12 ，求－ cx 2＋2x －a ＞0 的解集．21 11 1分析：由 ax ＋2x ＋c ＞ 0 的解集为 －3，2 知 a ＜0，－3和2是方21 1 21 1 c程 ax ＋2x ＋c ＝0 的两个根，由韦达定理－ 3＋2＝－a ，－ 3×2＝a ，解得 a ＝－ 12，c ＝2，∴－ cx 2＋2x －a ＞0，即－ 2x 2＋2x ＋12＞0 亦即x 2－x －6＜0.其解集为 (－2，3)．18． (本小题满分 14 分 )某营养师要为某个小孩预定午饭和晚餐．已知一个单位的午饭含12 个单位的碳水化合物、 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ；一个单位的晚饭含 8 个单位的碳水化合物、 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.此外，该小孩这两餐需要的营养中起码含64 个单位的碳水化合物、42 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素C.假如一个单位的午饭、晚饭的花费分别是元和 4 元，那么要知足上述的营养要求，而且花销最少，应该为该小孩分别预定多少个单位的午饭和晚饭？分析：方法一设需要预定知足要求的午饭和晚饭分别为 x 个单位和y 个单位，所花的花费为 z 元，则依题意得： z＝＋4y，且 x，y知足x≥0，y≥0，x≥ 0，y≥0，12x＋8y≥64，3x＋2y≥16，即6x＋6y≥42，x＋y≥7，6x＋10y≥54，3x＋5y≥27.z在可行域的四个极点 A(9， 0)，B(4， 3)，C(2，5)，D(0，8)处的值分别是z A＝×9＋4×0＝，z B＝×4＋4×3＝22，z C＝×2＋4×5＝25，z D＝×0＋ 4×8＝32.比较之， z B最小，所以，应该为该小孩预定 4 个单位的午饭和3个单位的晚饭，便可知足要求．方法二设需要预定知足要求的午饭和晚饭分别为x 个单位和 y 个单位，所花的花费为 z 元，则依题意得 z＝＋4y，且 x，y 知足x≥0，y≥0，x≥ 0，y≥0，12x＋8y≥64，3x＋2y≥16，即6x＋6y≥42，x＋y≥7，6x＋10y≥54，3x＋5y≥27.作出平行域以以下图所示．让目标函数表示的直线＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知z＝＋4y 在 B(4，3)处获得最小值．所以，应该为该小孩预定 4 个单位的午饭和 3 个单位的晚饭，就可知足要求．19．(本小题满分 14 分)如右图，某观察站 C 在城 A 南偏西 20°的方向上，由 A 城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得距 C 为31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去，走了20 千米后，抵达 D 处，此时 C、D 间距离为 21 千米，问这人还需走多少千米抵达 A 城？分析：依据题意，可得以下图，此中 BC ＝ 31 千米， BD ＝ 20 千米， CD ＝21 千米，∠CAD ＝60 ° .设∠ACD ＝α，∠ CDB ＝β.在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝ CD 2＋BD 2－BC 2 212＋202－312 12CD · ＝ × × ＝－ 7，BD 2 21 202 4 3sin β＝ 1－cos β＝ 7 .sin α＝sin(180°－ ∠CAD －∠CDA)＝sin(180°－ 60°－ 180°＋ β)＝ s in(β－60°)＝sin βcos 60°－ cos βsin 60°4 3 1 1 3＝ 7 ×2＋7×25 3＝ 14 .在△ACD 中，由正弦定理得：CD 215 3AD ＝sin A ·sin α＝ °× 14 ＝ 15.sin 60这人得走 15 千米抵达 A 城．20．(本小分 14 分)数列 {a n}中， a1＝8，a4＝2 且足 a n＋2＝2a n＋1－a n， n∈N *.(1)求数列 {a n}的通公式；(2)S n ＝|a1＋ 2 ＋⋯＋n，求S n；||a ||a |(3)b n ＝1∈ *，T n＝b1＋b2＋⋯＋ b n∈*，是n（12－a n）(n N )(n N )否存在最大的整数m，使得随意 n∈N*，均有 T n＞m建立？若存32在，求出 m 的；若不存在，明原因．分析：(1)由 a n＋2＝2a n＋1－a n? a n＋2－ a n＋1＝a n＋1－a n，a4－a1可知 {a n}成等差数列， d＝＝－2，∴a n＝8＋ (n－1) ·(－2)＝ 10－ 2n(n∈N)．(2)由 a n＝10－2n≥0 得 n≤5，∴当 n≤5 ， S n＝－ n2＋9n.当 n＞5 ，S n＝|a1|＋ |a2|＋⋯＋|a n|＝a1＋a2＋⋯＋a5－a6－a7－⋯－a n＝2(a1＋a2＋⋯＋a5)－(a1＋a2＋⋯＋ a n)＝n2－9n＋40.－n2＋9n，1≤n≤5，故 S n＝n2－ 9n＋40，n≥5.11 1 11(3)b n＝n（12－a n）＝n（2n＋2）＝2 n－n＋1.∴T n＝b1＋ b2＋⋯＋b n1 1 1 1 1 1＝2 1－2 ＋ 2－3 ＋ 3－ 4 ＋⋯＋1 1 1 1－ －n ＋ n － ＋ 1 n 1n 1 1＝2 1－n ＋1n ）＞ n －1 ＝ （ ＋ 2n ＝T n －1＞T n － 2＞⋯T 1. 2 n 1∴要使 m T n ＞32 建立，需 m 1 32＜ T 1＝4恒建立，即 m ＜ 8(m ∈ Z)．故合适条件的 m 的最大。
苏教版必修5高一数学综合练习试卷及答案
高一数学必修5综合练习一、填空题：（每小题5分，共70分）1.若点(,3)P a 在23x y +<表示的区域内，则实数a 的取值范围是___________；0a <2.在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC = 7∶8∶9，则cosA=______； 233.已知数列 ，那么8是这个数列的第 项；114.若不等式220x ax a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的范围为 ；01a <<5.设数列{}n a 的通项公式为227n a n =-+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当 n =_______时，n S 取得最大值；136.不等式212x x -+<1的解集为____________；(2,3)- 7.在ABC ∆中，已知4,6,120,a b C ==∠= 则sinA 的值是_________8.已知变量x y 、满足约束条件102020x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值是__ _；59.数列{}n a 中，11a =，1223n n a a +-=，则通项n a = ；2log (31)n -10.ABC ∆中，已知4,45a B =∠=︒，若解此三角形时有且只有唯一解，则b 的值应满 足_____ ___；b =b ≥411.已知点(,)P x y 在经过两点(3,0),(1,1)A B 的直线上，那么24x y +的最小值是__；12.已知数列{}n b 是首项为4-，公比为2的等比数列；又数列{}n a 满足160,a = 1n n n a a b +-=，则数列{}n a 的通项公式n a =_______________；1264n +-+13.在4别填上____________和．6，414.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形 ，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为 ； 132 二、解答题（共90分）15.ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等差数列，SinA 、SinB 、SinC 成等比数列，试判断△ABC 的形状.解：∵,,a b c 成等差数列，∴2a cb +=①又∵sin ,sin ,sin A B C 成等比数列， ∴2sin sin sin B A C =⋅，∴2b ac = ②将①代入②得：2()2a c ac +=，∴2()0a c -=， ∴a c =代入①得bc =,从而a b c ==，∴△ABC 是正△ 16.某村计划建造一个室内面积为72m 2的矩形蔬菜温室。
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高一数学必修5测试卷班级姓名一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是__________．2．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于___________．3．在等差数列{a n}中，a2＋a4＝8，则{a n}的前5项和为__________．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝3，B＝60°，则角C 的度数为．5．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＝．6．若不等式x2＋(a＋2)x＋1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－2，S4＝4S2，则a3的值为．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－17，a4＋a6＝－10，则当S n取最小值时，n 的值为．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2b cos C，则bc的值为．10．如果lg m＋lg n＝2，那么m＋n的最小值是．11．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为___ ___．12．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列AD C B（第11题图）第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …那么位于表中的第100行第101列的数是___ ___．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(2b－c)cos A＝a cos C，则角A的度数为．14．若实数a，b，c成等比数列，且a＋b＋c＝1，则a＋c的取值范围是______ _____．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）关于x的不等式x2＋mx＋6＞0（m为常数）．（1）如果m＝5，求不等式的解集；（2）如果不等式的解集为{x|x＜1或x＞6}，求实数m的值．16．（14分）在等差数列{a n}中，a2＋a3＝3，a6＝5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）如果b n＝2a n，求数列{b n}的前n项的和S n．17．（14分）已知函数y ＝x ＋mx －1（m 为正数）．（1）若m ＝2，求当x ＞1时函数的最小值；（2）当x ＜1时，函数有最大值－3，求实数m 的值．18．（16分）已知△ABC 的面积为3，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝45．（1）求AB →·AC →； （2）如果b －c ＝3，求△ABC 的周长． 19．（16分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西60°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从A出发，沿AP 方向以9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港 口P 出发，沿南偏东75°方向，以9 2 n mile/h 的速度 驶离港口．现两船同时出发，（1）出发后3 h 两船之间的距离是多少？ （2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？60° 75°AP北东·20．（16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n －1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ．①求T n ；②若x ＝2，求数列{nT n ＋1－2nT n ＋2－2}的最小项的值．高一数学必修5测试卷 参考答案 班级 姓名一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式是__________．23-=n a n2．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于___________．60° 3．在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝8，则{a n }的前5项和为__________． 204．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，b ＝3，B ＝60°，则角C 的度数为 ． 75°5．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 5＝ ．166．若不等式x 2＋(a ＋2)x ＋1≥0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ．[－4，0] 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 4＝4S 2，则a 3的值为 ．－6 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－17，a 4＋a 6＝－10，则当S n 取最小值时，n 的值为 ．69．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则bc的值为 ．1 10．如果lg m ＋lg n ＝2，那么m ＋n 的最小值是 ．2011．如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为___ ．56212．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列ADCB（第11题图）第1列 第2列 第3列 … 第1行 第2行 第3行 1 2 3 2 3 4 6 6 9 … … …那么位于表中的第100行第101列的数是___ ___．1010013．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2b －c )cos A ＝a cos C ，则角A 的度数为 ．60°14．若实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋c 的取值范围是______ _____．[23，1）∪（1，2]二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）关于x 的不等式x 2＋mx ＋6＞0（m 为常数）． （1）如果m ＝5，求不等式的解集；（2）如果不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞6}，求实数m 的值． 解：（1）由m ＝5，得x 2＋5x ＋6＞0，即(x ＋2)( x ＋3) ＞0． 解得x ＜-3或x ＞-2．所以原不等式的解集为{x | x ＜-3或x ＞-2} ．（2）根据题意，得⎩⎨⎧1＋m ＋6＝0，36＋6m ＋6＝0．解得m ＝－7． 16．（14分）在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝3，a 6＝5．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）如果b n ＝2a n，求数列{b n }的前n 项的和S n ．解：（1）根据题意，得⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝3，a 1＋5d ＝5．解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝1．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －1．（2）由a n ＝n －1，得b n ＝2n －1．所以S n ＝20＋21＋22＋…＋2n -1＝122121-=--n n． 17．（14分）已知函数y ＝x ＋mx －1（m 为正数）．（1）若m ＝2，求当x ＞1时函数的最小值；（2）当x ＜1时，函数有最大值－3，求实数m 的值． 解：（1）m ＝2时，y ＝x ＋12-x ＝x －1＋12-x ＋1．因为x ＞1，所以x －1＞0．所以y ＝x －1＋12-x ＋1≥212)1(-⋅-x x ＋1＝22＋1．当且仅当x －1＝12-x ，即x ＝2＋1时取等号． 所以当x ＞1时函数的最小值为22＋1．（2）因为x ＜1，所以x －1＜0．所以y ＝x －1＋m x －1＋1＝－(1－x ＋m1－x)＋1≤－2(1－x )·m1－x＋1＝－2m ＋1．当且仅当1－x ＝m1－x，即x ＝1－m 时取等号．即函数的最大值为－2m ＋1．所以－2m ＋1＝－3． 解得m ＝4．18．（16分）已知△ABC 的面积为3，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝45．（1）求AB →·AC →； （2）如果b －c ＝3，求△ABC 的周长．解：（1）因为在△ABC 中，cos A ＝45，所以sin A ＝35．因为S △ABC ＝12bc sin A ＝310bc ＝3，所以bc ＝10．所以AB →·AC →＝|AB →|×|AC →|cos A ＝10×45＝8．（2）由⎩⎨⎧bc ＝10，b －c ＝3，得⎩⎨⎧b ＝5，c ＝2， 或⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－5（舍去）．在△ABC 中， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋22－2×10×45＝13．所以a ＝13．所以△ABC 的周长为7+13.19．（16分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西60°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从A出发，沿AP 方向以9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港 口P 出发，沿南偏东75°方向，以9 2 n mile/h 的速度 驶离港口．现两船同时出发，（1）出发后3 h 两船之间的距离是多少？ （2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？解：（1）设出发后3h 甲船到达C 点，乙船到达D 点，则PC ＝54，PD ＝272．由题意，可知∠CPD ＝135°．在△PCD 中，CD 2＝PC 2＋PD 2－2 PC ·PD cos ∠CPD60° 75°AP北东·＝542＋(272)2－2×54×272×(－22)＝272×10＝7290． 所以CD ＝2710．所以出发后3h 两船相距2710 n mile ．（2）设出发后x h 乙船位于甲船的正东方向，此时甲船到达E 点，乙船到达F 点，则∠PEF ＝30°，∠PFE ＝15°，PE ＝81－9x ，PF ＝92x ． 在△PEF 中，PE sin ∠PFE ＝PF sin ∠PEF ．即81－9x sin15°＝92x sin30°．解得x ＝33．答：出发后3h 两船相距2710 n mile ，出发后33h 乙船在甲船的正东方向．20．（16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n －1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ．①求T n ；②若x ＝2，求数列{nT n ＋1－2nT n ＋2－2}的最小项的值．解：（1）a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ，n ≥2＝2n ．（2）c n ＝2nx n －1．T n ＝2＋4x ＋6x 2＋8x 3＋……＋2nx n －1 ． ① 则xT n ＝ 2x ＋4x 2＋6x 3＋8x 3＋……＋2nx n ． ② ①－②，得(1－x )T n ＝2＋2x ＋2 x 2＋……＋2 x n －1－2nx n ．当x ≠1时，(1－x )T n ＝2×1－x n 1－x －2nx n．所以T n ＝2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2．当x ＝1时，T n ＝2＋4＋6＋8＋……＋2n ＝n 2＋n ． （3）当x ＝2时，T n ＝2＋(n －1)2n ＋1． 则nT n ＋1－2n T n ＋2－2＝n 22(n ＋1)． 设f (n )＝n 22(n ＋1)．因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)22(n ＋2)－n 22(n ＋1)＝n 2＋3n ＋12(n ＋1) (n ＋2)＞0，所以函数f(n)在n∈N＋上是单调增函数．所以n＝1时，f(n)取最小值14，即数列{nT n＋1－2nT n＋2－2}的最小项的值为14．。
高中数学苏教版必修5 综合练习4 [hty]
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数学苏教版必修5 综合练习4一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．1．设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈，{|0,}3x B x x R x =≥∈+，则 A B =( D )A 、(32]--B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞D 、5(0,3)[,)2-+∞2．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g3．已知lg3,lg(sin x －21),lg(1－y )顺次成等差数列，则 ( ) A ．y 有最小值1211，无最大值 B ．y 有最大值1，无最小值 C ．y 有最小值1211，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值14．如果数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．)1(22++=n n a n B ．n n a 23⋅= C ．23+=n a n D ．n n a 32⋅=5．在数列}{n a 中，24,721==a a ，对所有的自然数n ，都有21+++=n n n a a a ，则2005a 为（ ） A ．7 B ．24 C ．13 D ．25 6．设动点坐标（x ，y ）满足⎩⎨⎧≥≥-++-341x )y x )(y x (，则22y x +的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．217D ．10 二、填写题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．7．已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005|n f a -取得最小值时，n = ．8．若不等式n)(a )(n n1121+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9． △ABC 中，若)cos(cos ,5tan tan C B AC B -=⋅则的值为 ．10．如图，一艘船上午9：30在A 处得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile ．此船的航速是 nmile/h ．三、解答题：本大题共11小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在湖面上高hm 处，测得天空中一热气球的仰角为α,测得热气球在湖中倒影的俯角为β，试求该热气球离湖面的高度．12．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)＞f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由．13． ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ； （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n yy n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．14． 某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC = 80（米），塔所在的山高OB = 220（米），OA = 200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，1a ．试问此人距tan2水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）．参考答案一、选择题： 1． D 2． A ．设天平的两边臂长分别为,a b ，两次所称黄金的重量分别是,xg yg ，于是有关系式 5a x b =，5ya b =．则 ()5510.a bx y a b b a+=+>≠ 3．A 解析：由已知得2lg(sin x －21)=lg3+lg(1－y )，且⎪⎩⎪⎨⎧<>121sin y x ,得(sin x －21)2=3(1－y ), 得y =1－3)21(sin 2-x , 当sin x =1时，y min =1211，无最大值，选A ．4． D 解：2≥n 时，,32,3,2323111n n n n n n n n a a a a a S S ⋅=∴=∴-=----又n = 1时，a 1 = 6，故选D ．5． A 解：31221,++++++=∴+=n n n n n n a a a a a a ，两式相加，得n n n n n a a a a a =-=-=+++363,，∴数列}{n a 是以6为一个周期的数列， ∴71133462005===+⨯a a a ．6． B 解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+30104x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+30104x y x y x 知，在x 点（3，1）处，22y x +最小为10．二、填空题：7．【 答案】110 8．【 答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,29．【 答案】3210． 【 答案】32三、解答题： 11． 【 解】12． 【 解】 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数． 于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)＞f (2m cos θ－4m ), 即cos2θ－3＞2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2＞0． 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正． ∴当2m＜0,即m ＜0时，g (0)=2m －2＞0⇒m ＞1与m ＜0不符； 当0≤2m≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2＞0 ．⇒4－22＜m ＜4+22,4－22＜m ≤2． 当2m＞1,即m ＞2时，g (1)=m －1＞0⇒m ＞1． ∴m ＞2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m ＞4－22．13． 【 解】 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2， 得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414nn y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n yy y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 14． 【 解析】 20、解：以O 为原点，OA 为x 轴、OB 为y 轴建立直角坐标系，各点坐标为：A （200，0），B （0，220），C （0，300） 直线l 的方程为：()12002y x =- 设点P 的坐标为（x ，2002x-） （200x >）直线PC 的斜率20030080022BCx x k x x ---==直线PB 的斜率20022064022BCx x k x x---==由直线PC 到直线PB 的角的公式，得216064642tan 8006401606401288160640128822PB BCPB BCk k x x BPC x x k k x x x x x x-∠====--⨯+-+⨯+⨯+-由均值不等式：1606402282880x x⨯+-≥> 当且仅当160640x x⨯=时，即320x =时上式等号成立，这时，点P 的纵坐标为()1310220602y =-= 当tan BPC ∠最大时，BPC ∠最大．所以，当此人距地面60米的时，观看铁塔的视角最大．。
苏教版高中数学必修五高一专项练习八(阶段小综合4).4.docx
江苏省泰州中学高一数学专项练习八（阶段小综合4） 2010.4一、填空题1．在ABC ∆中, 已知060,34,4===B b a ,则角A 的度数为 .2．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 . 3．在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a =________. 4．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，若10s =2,30s =14,则40s = ___ . 5．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有12n n a n a n++=，则n a =_____. 6.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 .7．若不等式(m+1)x 2－mx+m －1>0的解集为R , 则实数m 的取值范围是_______.8．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n－1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2= .9. 等差数列{}n a 的前m 项和为20，前2m 项和为70，则它的前3m 的和为 . 10．在等比数列}{n a 中，公比q=2，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ =_________.11．已知⎩⎨⎧<-≥=01;01)(x x x f ，，，则不等式()5)2(2≤+⋅++x f x x 的解集是________.12．若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a . 13. 已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<，则不等式250bx x a -+>的解集 .14．已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积=________.二、解答题15．已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.16．已知：ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当)2,3(-∈x 时，0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)(<x f（1）求)(x f y =的解析式;（2）c 为何值时，02≤++c bx ax 的解集为R.17．已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,12N n a S n n ∈+=(1)试求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n B ，求证：21<n B .18．在ΔABC 中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，已知c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22.求：(1)A 的大小；(2)cBb sin 的值.19．某厂用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品，已知生产1t A 产品，1t B 产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A 、B 产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：A 产品（1t ） B 产品 （1t ） 总原料 （t ） 甲原料（t ）2 5 10 乙原料（t ） 63 18 利润（万元）4320．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．产品 所需原料 原料江苏省泰州中学高一数学专项练习八答案（阶段小综合4） 2010.4一、填空题 1. 030 2. 101 3.32或23 4. 30 5.2)1(+n n 6. 7 7. m>332 8. ()1413n -9. 150 10. 202 11．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23, 12．2 13．1{|3x x <-或1}2x > 14．2-π二、解答题：15.解：设公比为q ，由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 即21321(1)105(1) 4a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 21,813==q q 即 ， 将21=q 代入①得 81=a ，1)21(83314=⨯==∴q a a ，231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s16. ⑴由)2,3(-∈x 时，0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)(<x f 知：3,2-是是方程2(8)0ax b x a ab +---=的两根83232b a a aba -⎧-+=-⎪⎪⎨--⎪-⨯=⎪⎩35a b =-⎧⇒⎨=⎩,2()3318f x x x ∴=--+ ②⑵由0a <，知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下要使2350x x c --+≤的解集为R ，只需0∆≤,即252512012c c -≤⇒≥ ∴当2512c ≥时02≤++c bx ax 的解集为R. 17．(1)12-=n a n (2)略18.解析:由已知得2b ac =，因此22a c ac bc -=-可化为a 2=b 2+c 2-bc(1)∴cosA=21 ∴A=600(2)法一：在ΔABC 中，由正弦定理得aAb B sin sin =2,60b ac A ︒==2sin sin 6032b B b c ac ︒∴==.法二：在ΔABC 中，由面积公式得B ac A bc sin 21sin 21=. 2,60,b ac A ︒== 2sin sin bc A b B ∴=23sin sin ==∴A c B b .19． [解析]：设生产A 、B 两种产品分别为x t ，y t ，其利润总额为z 万元, 根据题意，可得约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,018361052y x y x y x作出可行域如图：目标函数z=4x +3y ，作直线l 0：4x +3y =0，再作一组平行于l 0的直线l ： 4x +3y =z ，当直线l 经过P 点时z=4x +3y 取得最大值，由⎩⎨⎧=+=+18361052y x y x ，解得交点P )1,25( , 所以有)(1313254万元=⨯+⨯=P z 所以生产A 产品2．5t ，B 产品1t 时，总利润最大，为13万元． 20．解：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=． 又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，)2(32221≥⋅==--n S a n n n ，∴⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；当2n ≥时，2103236341-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，x2503P( ,1)52-y 6x+3y=182x+5y=1012132363433-⋅++⋅+⋅+=n n n T ，-①②得：122132)333(2422--⋅-+++++-=-n n n n T =2+2123231)31(3--⋅---⋅n n n=－1+(1－2n )13-⋅n ．1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥． 又111T a ==也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N ．。
2019-2020年高一数学综合练习一(苏教版必修5)
2019-2020年高一数学综合练习一（苏教版必修5）一．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°2．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于( ) A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．D ．1834．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 7．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．8．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 9．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________． 三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．在△ABC 中，已知b c =1，45B =︒，求a ，A ，C ．（12分）11．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-（13分）12．△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．（16分）B 组题（共100分）四．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。
高中数学苏教版必修5 综合练习4
高中数学苏教版必修5 综合练习4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1． 已知a 、b 、c 满足a b c <<，且0<ac ，那么下列选项中一定成立的是 ( C ) A ． ac ab > B ． 0)(<-a b c C ． 22ab cb < D ． 0)(>-c a ac 2． 若+∈+==+==R b a ba abf H ab f G b a f A x x f ,),2(),(),2(,log )(21其中，则A ，G ，H 的大小关系是（ A ）A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．H ≤G ≤AD ．G ≤H ≤A3． 等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于 （ B ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2974． 等差数列{}n a 中，已知51014,0S S a =≠，则适合19a a n =的n 的值是 （ B ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．35． 当log 2a>1时，不等式x 2－(a ＋2)x ＋2a>0的解集为 （B ） A ．{x|x<a 或x>2} B ．{x|x<2或x>a} C ．{x|a<x<2} D ．{x|2<x<a}6． 在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ B ）A ．0B ．1C ．2D ．37． 变量x 、y 满足下列条件212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x ＋2y 的值最小的（x ，y ）是 ( B ) A ． ( 4．5 ，3 ) B ． ( 3，6 ) C ． ( 9， 2 ) D ． ( 6， 4 )8． 设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )9． 实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧---22y x yx y，则W =11+-x y 的取值范围是（ D ） A ．[－1，31] B ．[－21，31]C ．[－21，∞ )D ．[－21，1)10．设f (x)= x 2＋ax ＋b ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a ，b)在aOb 平面上的区域的面积是( C )A ．92B ．2C ． 1D ．1211． 由约束条件0,21y y x y x t x t ≥⎧⎪≤⎪⎨≤-⎪⎪≤≤+⎩所确定的区域面积是S ，记S =f (t )(0≤t ≤1)，则f (t )= ( A )A ．－t 2＋ t ＋12B ．－2 t 2 ＋2 tC ．1－12t 2D ．12(t －2)212． 已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ B ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21＋3二、填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置．13． 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．14． 已知数列{}n a 满足：*11214,()3n n a a a n N +==-∈，则使20n n a a +<成立的n 的值是 ．≥0 ≥0 ≥015．当x 、y 满足不等式组2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+=⎩时，目标函数k=3x －2y 的最大值为 ．16． 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_____，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ ．三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明：(Ⅰ)数列{nS n}是等比数列；(Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．18． （本小题满分12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值．19． （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{}n a 的通项n k20． （本小题满分12分）在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值．21． （本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元． （1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?22． （本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A ，B 为常数．（Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列；（Ⅲ）证明不等式51mn m n a a a >对任何正整数m 、n 都成立．参考答案一、选择题： 1． C 2． A 3． B 4． B 5． B 6． B7． B 8． A 9． D 10． C 11． A 12．B二、填空题： 13．【 答案】5 14．【 答案】21 15．【 答案】616． 【 答案】3；当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212三、解答题：17． 【 解】(1)由a 1=1，a n ＋1=nn 2+S n (n=1，2，3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1，224212==a S ， 111=S ，∴21212=SS 又a n ＋1=S n ＋1－S n (n=1，2，3，…)，则S n ＋1－S n =nn 2+S n (n=1，2，3，…)，∴nS n ＋1=2(n ＋1)S n ，211=++nS n S n n (n=1，2，3，…)．故数列{n S n }是首项为1，公比为2的等比数列．(2)解法一：由（I ）知，)2(14111≥-•=+-+n n Sn S n n ，于是S n ＋1=4(n ＋1)·11--n S n =4a n (n 2≥) 又a 2=3S 1=3，则S 2=a 1＋a 2=4=4a 1，因此对于任意正整数n ≥1都有S n ＋1=4a n ．解法二：由数列{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n =2n －1，∴S n ＋1=(n ＋1)2n (n ≥1)而a n ＋1=nn 2+S n (n=1，2，3，…)，则a n =11-+n n S n －1=11-+n n ·(n －1)2n －2=(n ＋1)2n －2(n=2，3，…)， ∴S n ＋1=4a n ． 又a 2=3S 1=3，则S 2=a 1＋a 2=4=4a 1，因此对于任意正整数n ≥1都有S n ＋1=4a n ．18． 【 解】 （Ⅰ）由3cos 4B =得237sin 144B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =于是11cot cot tan tan A C A C +=+cos cos sin sin A CA C=+cos sin cos sin sin sin A C C A A C +=()2sin sin A C B += 2sin sin B B =1sin B =477= （Ⅱ）由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b = 由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+=， ∴ 3a c +=19． 【 解】依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠ ∴1d a = 得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列 由0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1， 公比为331q ==，由此得19k = 等比数列{}n a 的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k q n -+=⨯==，，， 即得到数列{}n a 的通项为13n n k +=20． 【 解析】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力．解法1：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且DE=,,36221x BE AB ==设 在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2=BE 2＋ED 2－2BE ·EDcosBED ，,6636223852x x ⨯⨯++= 2227281,(),2,2cos ,33x x BC AC AB BC AB BC B ==-==+-⋅=解得舍去故从而221221302703sin sin 30AC B A A ==即又故 解法2：以B 为坐标原点，x BC 为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限．22304646445sin ()(),334325(,0),().64325||()() 5.63142,().3B BA B B x BC x BD x BD x x ==+==+=+==-由则设则由条件得从而舍去 ),354,32(-=CA 故288031499cos ||||1680480999970sin 1cos BA CA A BA CA A A -+⋅===++∴=-于是 解法3：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC ，过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcosB=,354,34=AH 2222222245104(25)(),,33322212,,322123sin 3070sin BN BP PN BP AH CN HB BC BN CN HC AC AH HC A A ---==∴=-===+=∴=而故由正弦定理得21． 【 解】 （1）由1)(+=n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8， 所以)10100()(n n f +=n n 100)1810(-+-．（2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n 19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．22． 【 解析】 本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．（1）由已知，得S 1=a 1=1，S 2=a 1＋a 2=7，S 3=a 1＋a 2＋a 3=18． 由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n =An ＋B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n ＋1－(5n ＋2)S n =－20n －8， ① 所以 (5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1=－20n －28， ② ②－①，得， (5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n =－20， ③ 所以 (5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1=－20．④④－③，得 (5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)S n ＋1－(5n ＋2)S n =0． 因为 a n ＋1=S n ＋1－S n所以 (5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1=0． 又因为 (5n ＋2)0≠，所以 a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1=0，即 a n ＋3－a n ＋2=a n ＋2－a n ＋1， 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5， 所以数列}{n a 为等差数列．方法2．由已知，S 1=a 1=1，又(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n =－20n －8，且5n －80≠， 所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4，则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n 于是 (5n －8)T n ＋1－(5n ＋2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a ，即数列}{n a 为等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a n =1＋5(n －1)=5n －4． 要证了 ,15>-n m mn a a a 只要证 5a mn >1＋a m a n ＋2n m a a因为 a mn =5mn －4，a m a n =(5m －4)(5n －4)=25mn －20(m ＋n)＋16， 故只要证 5（5mn －4）>1＋25mn －20(m ＋n)＋16＋2,n m a a因为 )291515(8558552-++-+<-+=+≤n m n m n m a a a a n m n m=20m ＋20n －37，所以命题得证．[评析]：本题主要考查了等差数列的有关知识，不等式的证明方法，考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等．。
苏教版高中数学必修五高一测试卷
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作高一数学必修 5 测试卷一、填空题（本大题共14 小题，每题班级5 分，共 70 分）姓名1．数列 1,3,6,10， ⋯的一个通 公式是 __________．2．在△ ABC 中，三内角 A 、B 、 C 成等差数列 ， 角 B 等于 ___________ ． 3．在等差数列 { a n } 中， a 2＋ a 4＝ 8， { a n } 的前 5 和 __________ ．4．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所 的 分 a ， b ， c ，若 a ＝6，b ＝ 3， B ＝ 60°， 角 C的度数 ．5．已知等比数列 { a n } 足 a 1 ＋a 2＝ 3， a 2＋ a 3＝ 6， a 5＝．6．若不等式 x 2＋ (a ＋ 2)x ＋ 1≥ 0 的解集 R ， 数 a 的取 范 是． 7． 等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＝－ 2， S 4＝ 4S 2， a 3 的．8． 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＝－ 17，a 4＋ a 6＝－ 10， 当 S n 取最小 ， n的．b9．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所 的 分 a ，b ，c ，若 a ＝ 2bcosC ， c的．A10．假如 lgm ＋ lgn ＝ 2，那么 m ＋ n 的最小 是．11．如 ，在 △ ABC 中， B ＝ 45°， D 是 BC 上的一点，AD ＝ 5， AC ＝ 7， DC ＝ 3， AB 的 ______．BDC（第 11 题图）12．在以下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列第 1 列第 2 列第 3 列 ⋯第 1 行 1 2 3 ⋯ 第 2 行 2 4 6 ⋯ 第 3 行 3 6 9 ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯那么位于表中的第100 行第 101 列的数是 ______．13．在△ ABC中，角 A，B， C 所对的边分别为a， b，c，若 (2b－ c)cosA＝ acosC，则角 A 的度数为．14．若实数a， b， c 成等比数列，且a＋ b＋ c＝ 1，则 a＋ c 的取值范围是 ______ _____．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15．（ 14 分）对于 x 的不等式x2＋mx＋ 6＞0（ m 为常数）．（1）假如 m＝ 5，求不等式的解集；（2）假如不等式的解集为 { x|x＜ 1 或 x＞ 6} ，务实数 m 的值．16．（ 14 分）在等差数列{ a n} 中， a2＋ a3＝ 3， a6＝ 5．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（2）假如b n＝2a n，求数列{ b n}的前n项的和S n．m17．（ 14 分）已知函数y＝ x＋（m为正数）．（1）若 m＝ 2，求当 x＞ 1 时函数的最小值；（2）当 x＜ 1 时，函数有最大值－ 3，务实数 m 的值．18．（ 16 分）已知△ABC 的面积为3，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 cosA＝4．5→ →（ 2）假如 b－ c＝3，求△ ABC 的周长．（ 1）求 AB·AC；19．（ 16 分）如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 60°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从 A 出发，沿 AP 方向以 9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港北口 P 出发，沿南偏东 75°方向，以 9 2 n mile/h 的速度P东驶离港口．现两船同时出发，60°75°（ 1）出发后3h 两船之间的距离是多少？（ 2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？·A20．（ 16 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n， S n＝ n2＋ n，数列 { b n} 的通项公式为b n＝x n－1．（1）求数列 { a n } 的通项公式；（2）设 c n＝a n b n，数列 { c n} 的前 n 项和为 T n．①求 T n；nT n＋1－ 2n②若 x＝ 2，求数列 { T n＋2－2 } 的最小项的值．高一数学必修 5 测试卷参照答案一、填空题（本大题共14 小题，每题班级5 分，共 70 分）姓名1．数列1,4,7,10，⋯的一个通公式是__________．a n3n22．在△ ABC 中，三内角 A、B、 C 成等差数列，角 B 等于 ___________ ． 60°3．在等差数列 { a n} 中， a2＋ a4＝ 8， { a n } 的前 5 和 __________ ． 204．在△ ABC 中，角 A， B， C 所的分 a， b， c，若 a＝6，b＝ 3， B＝ 60°，角 C 的度数． 75°5．已知等比数列 { a n} 足 a1＋a2＝ 3， a2＋ a3＝ 6， a5＝．166．若不等式 x2＋ (a＋ 2)x＋ 1≥ 0 的解集R，数 a 的取范是．[－4，0]7．等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，若 a1＝－ 2， S4＝ 4S2， a3的．－6 8．等差数列{ a n} 的前 n 和S n，若 a1＝－ 17，a4＋ a6＝－ 10，当S n取最小，n的． 6b9．在△ ABC 中，角 A，B，C 所的分a，b，c，若 a＝ 2bcosC，c的．1 10．假如 lgm＋ lgn＝ 2，那么 m＋ n 的最小是． 20A11．如，在△ ABC 中， B＝ 45°， D 是 BC 上的一点，AD＝ 5， AC＝ 7， DC ＝ 3， AB 的 ___．52612．在以下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列B D C第 1 列第 2 列第 3 列⋯（第 11 题图）第 1 行123⋯第 2行246⋯第 3行369⋯⋯⋯⋯⋯⋯那么位于表中的第100 行第 101 列的数是 ___ ___． 1010013．在 △ ABC 中，角 A ，B ， C 所 的 分 a ， b ，c ，若 (2b － c)cosA ＝ acosC ， 角 A 的度数． 60°14．若 数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝ 1， a ＋ c 的取 范 是 ______ _____．2[3， 1）∪（ 1， 2]二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15．（ 14 分）对于 x 的不等式 x 2＋mx ＋ 6＞0（ m 常数）．（ 1）假如 m ＝ 5，求不等式的解集；（ 2）假如不等式的解集 { x|x ＜ 1 或 x ＞ 6} ，求 数 m 的 ．解：（1）由 m ＝ 5，得 x 2＋ 5x ＋ 6＞0，即 (x ＋ 2)( x ＋ 3) ＞ 0．解得 x ＜ - 3 或 x ＞- 2．因此原不等式的解集 { x| x ＜ - 3 或 x ＞ - 2} ．1＋ m ＋ 6＝ 0，（2）依据 意，得36＋ 6m ＋ 6＝0．解得 m ＝－ 7．16．（ 14 分）在等差数列 { a n } 中， a 2＋ a 3＝ 3， a 6＝ 5．（ 1）求数列 { a n } 的通 公式；（ a n2）假如 b n ＝ 2 ，求数列 { b n } 的前 n 的和 S n ．2a 1＋ 3d ＝ 3， 解：（ 1）依据 意，得a 1＋ 5d ＝ 5．解得a1＝0， d ＝1．因此数列 { a n } 的通 公式a n ＝a 1＋ (n － 1)d ＝ n －1．（ 2）由 a n ＝ n －1，得 b n ＝ 2n －11 ＋2 2＋⋯＋2n -11 2n 2n 1．．因此 S n ＝ 2＋2 ＝2117．（ 14 分）已知函数 m（ m 正数）．y ＝ x ＋x － 1（ 1）若 m ＝ 2，求当 x ＞ 1 函数的最小 ；（ 2）当 x ＜ 1 ，函数有最大 － 3，求 数 m 的 ．解：（ 1） m ＝ 2 ， y ＝ x ＋2＝x － 1＋2＋ 1．因 x ＞1，因此 x － 1＞ 0．x 1 x 1因此 y ＝ x － 1＋ 2 ＋ 1≥ 2 (x1)2 2 ＋1．＋ 1＝2x 1x 1当且仅当 x －1＝2，即 x ＝2 ＋ 1 时取等号．x 1因此当 x ＞ 1 时函数的最小值为 22 ＋1．（ 2）由于 x ＜ 1，因此 x － 1＜ 0．因此 y ＝ x － 1＋m＋ 1＝－ (1－ x ＋m)＋ 1≤－ 2 (1－ x) ·m＋ 1＝－ 2 m ＋ 1．x － 11－x 1－ x当且仅当 1－ x ＝m ，即 x ＝ 1－ m 时取等号．1－ x即函数的最大值为－ 2 m ＋ 1．因此－ 2 m ＋ 1＝－ 3． 解得 m ＝ 4．18．（ 16 分）已知 △ABC 的面积为 3，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 cosA ＝ 45 ．→ →（ 2）假如 b － c ＝3，求 △ ABC 的周长．（ 1）求 AB ·AC ；解：（ 1）由于在 △ ABC 中， cosA ＝ 4，因此 sinA ＝ 3．55 由于 S △ABC ＝1bcsinA ＝3bc ＝ 3，因此 bc ＝ 10．210→ → → →4因此 AB ·AC ＝|AB| ×|AC|cosA ＝ 10× ＝ 8．5（2）由 bc ＝ 10， 得 b ＝ 5，b ＝－ 2，（舍去）．b －c ＝ 3，c ＝ 2， 或c ＝－ 5在△ABC 中，22 222 4a ＝b ＋c － 2bccosA ＝ 5＋ 2－ 2×10× ＝ 13．5因此 a ＝ 13．因此 △ABC 的周长为 7+ 13.19．（ 16 分）如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 60°方向，距离港口81 n mile 处．甲船从 A出发，沿 AP 方向以 9 n mile/h 的速度驶向港口，乙船从港 北口 P 出发，沿南偏东75°方向，以 9 2 n mile/h 的速度P东驶离港口．现两船同时出发，60°75°（ 1）出发后 3h 两船之间的距离是多少？（ 2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？·A解：（ 1）设出发后 3h 甲船抵达 C 点，乙船抵达 D 点，则 PC ＝ 54， PD ＝ 27 2．由题意，可知∠ CPD ＝ 135°．在 △ PCD 中， CD 2 ＝ PC 2＋ PD 2－ 2 PC ·PDcos ∠ CPD22－ 22×10＝ 7290．＝ 54 ＋ (27 2) － 2×54×27 2×( 2 )＝ 27因此 CD ＝ 27 10．因此出 后 3h 两船相距 2710 n mile ．（ 2） 出 后 xh 乙船位于甲船的正 方向，此 甲船抵达E 点，乙船抵达F 点，∠ PEF ＝ 30°，∠ PFE ＝ 15°，PE ＝ 81－ 9x ，PF ＝ 9 2x ．PE＝ PF ．即 81－ 9x ＝ 9 2x ．在 △ PEF 中， sin ∠ PFE sin ∠ PEF sin15 ° sin30 ° 解得 x ＝3 3． 答：出 后 3h 两船相距27 10 n mile ，出 后 3 3h 乙船在甲船的正 方向．20．（ 16 分） 数列 { a n } 的前 n 和 S n ， S n ＝ n 2＋ n ，数列 { b n } 的通 公式b n ＝x n －1．（ 1）求数列 { a n } 的通 公式；（ 2） c n ＝a n b n ，数列 { c n } 的前 n 和 T n ．①求 T n ；②若 x ＝ 2，求数列 {nT n ＋ 1－ 2n＋ － 2 } 的最小 的 ．T n 2解：（ 1） a n ＝S 1， n ＝ 1，2， n ＝1，＝ 2n ．S n － S n －1 ，n ≥2＝2n ， n ≥2（ 2） c n ＝ 2nx n －1．T n ＝2＋ 4x ＋ 6x 2＋ 8x 3＋⋯⋯ ＋ 2nx n －1．① xT n ＝2x ＋ 4x 2＋ 6x 3＋8x 3＋ ⋯⋯ ＋ 2nx n．②①－②，得 (1－ x)T n ＝ 2＋2x ＋ 2 x 2＋ ⋯⋯ ＋ 2 x n －1－ 2nx n．当 x ≠1 ，1－ x n n(1－ x)T n ＝ 2×－2nx ．因此1－ xn n ＋12－ 2(n ＋ 1)x ＋2nxT n ＝(1－ x)2．当 x ＝ 1 ， T n ＝ 2＋4＋ 6＋ 8＋ ⋯⋯ ＋2n ＝ n 2＋ n ．（ 3）当 x ＝ 2 ， T n ＝ 2＋ (n － 1)2n ＋1．nT n ＋ 1－ 2nn 2 ．＝2(n ＋T n ＋ 2－ 21) f(n) ＝n 2．2(n ＋ 1)因 f(n ＋ 1)－ f(n)＝(n ＋1)2n2n 2＋ 3n ＋ 1＞ 0，－ ＝2(n ＋ 1) (n ＋2(n ＋ 2) 2(n ＋ 1) 2)因此函数 f(n)在 n∈N＋上是单一增函数．因此 n＝ 1 时， f(n)取最小值1，即数列 {nT n＋1－ 2n1．n＋2－2 } 的最小项的值为44T。
高中数学苏教版必修5 综合练习1 [hty]
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高中数学苏教版必修5 综合练习1 [hty]一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1.设实数x, y 满足x + y=4, 则22222++-+y x y x 的最小值为 （ C ）A ． 2B ．4C ．22D ．82. 已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值为 （ A ）A ．21 B ．2C ．2D ．22 3. 不等式22+>+x x |x x |的解集是（ A ）A ．（－2，0）B ．]0,2(-C ．RD ．),0()2,(+∞--∞4. 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( B ) A.–4 B.–6 C.–8 D. –105. 不等式)x )(x (x y 31031<<-=的最大值是 （ B ）A ．2434 B ．121 C ．641 D ．7216. 将进货单价为80元的商品按90元一个出售能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大利润，售价应定为每个 ( A ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元7. 在x cos y ,x y ,x log y ,y x 2222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使222121)x (f )x (f )x x (f +>+恒成立的函数的个数是 （ B ）A ．0B ．1C ．2D ．38. 已知数列}{n a 满足)N n (a a a ,a *n n n ∈+-==+133011，则20a =（ B ）A ．0B ．3-C ．3D ．239. 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-0302y x ,y x 则z 的最小值为 ( A ) A. 1 B.–1 C. 3 D. –310. 在ABC 中，3,13,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为 （ B ）A. 322 332C. 32D.3311. △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ B ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+12. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最 大利润为 （ B ） A ．45.606 B ．45.6 C ．45.56 D ．45.51二、填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 13. 函数x lg x x )x (f ---=432的定义域是 .14.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.15.集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 16.已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，已知63313===AC ,C cos ,B tan ，求△ABC 的面积.18. （本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.b )a a (b ,b a 112211=-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .19. （本小题满分12分）药片A 每片中含成分α为5g ，成分β为2g ；药片B 每片中含成分α为3g ，成分β为3g ；A 每片2角，B 每片1角5分，若应至少服用20g 的α和10g 的β时，应服用A 、B 各几片既符合要求又省钱. (g ：克)20. （本小题满分12分）解关于x 的不等式).R a (a x ax ∈<--0221. （本小题满分12分）数列).n (a a a a a }a {n n n n n 10521681111≥=++-=++且满足记).n (a b n n 1211≥-=（1）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（2）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S22. （本小题满分14分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，有下列两个条件：（1）a 、b 、c 成等差数列;（2）a 、b 、c 成等比数列.现给出三个结论：（1）30π≤<B ;（2）232cos 2cos 22b A C a =+;（3）2sin cos 2sin 11≤++<BB B.请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.参考答案一、选择题： 1. C 2. A 3. A 4. B 5.B 6. A7. B 8. B 9. A 10. B 11. B 12.B二、填空题：13．【 答案】)4,3()3,2[⋃ 14．【 答案】 50015．【 答案】 }30|{<<x x 16. 【 答案】2!n 三、解答题：17. 【 解析】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 222sin 1cos C C =-又应用正弦定理得：sin 36228sin 3b Cc B ⨯===.3112332sin sin()sin cos cos sin 323A B C B C B C ∴=+=+=+= 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法2：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得2222212212cos ,546428,8100.246,4 6.60,090,30120.361,sin sin 30323,sin sin sin sin 232463,,4 6.b ac ac B a a a a a a B C A a b b b a A A B B B a a =+-=+-⨯⨯∴-+==+=-=<<∴<<==⋅>⋅=⋅=>=-<=+即所得由得而舍去故 故所求面积1sin 628 3.2ABC S ac B ∆==+18. 【 解析】本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.（1）：当;2,111===S a n 时,n )n (n S S a ,n n n n 241222221-=--=-=≥-时当故{a n }的通项公式为42241==-=d ,a }a {,n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.q ,d ,b qd b ,q 41411=∴==则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）1142(21)4,24n n n nn a n c n b ---===- 12112231[13454(21)4],4[143454(23)4(21)4]n n n n n n T c c c n T n n --∴=+++=+⨯+⨯++-=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T19. 【 解析】 设应服A 片，B 片y 片，根据题意，得到约束条件为 5x+3y ≥20 2x+3y ≥10 x ≥0y ≥0 x 、y ∈N目标函数为z=20x+15y 作出可行区域作直线l ∶20x+15y=0， 如图把直线l 向右上方平行移动 至l ＇，则l ＇过可行区域上点A ，解方程组 5x+3y=20得A(910,310)2x+3y=10 因910,310不是整数，因此点A 不是最优解。
高中数学 模块综合检测 苏教版必修5
(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2答案： 22．(2012·曲阜师大附中月考)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 解析：∵a 5·a 7＝4a 24， ∴a 26＝4a 24. ∴a 24·q 4＝4a 24. ∵a 4≠0，∴q 4＝4. 又∵q ＞0，∴q ＝ 2. ∴a 1＝a 2q ＝22. 答案：223．等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于________． 解析：∵{a n }是等差数列且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20， ∴5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案：44．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为________． 解析：∵x >1， ∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2x －1·1x －1＋6＝8.当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号． ∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3. ∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为3. 答案：35．(2011·扬州高三期中)已知△ABC 的面积为30，内角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.若c －b ＝1，则a 的值是________．解析：∵cos A ＝1213，∴sin A ＝1－cos 2A ＝513，∴12bc ·sin A ＝12bc ×513＝30. ∴bc ＝156. ∵c －b ＝1. ∴c 2－2bc ＋b 2＝1. ∴c 2＋b 2＝1＋2bc ＝313.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝313－2×156×1213＝25.∴a ＝5. 答案：56．(2011·合肥一中高二期中)设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程 4x 2－8x ＋3＝0的两个根，则a 6＋a 7＝________. 解析：由4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝32，x 2＝12.∵q >1， ∴a 4＝12，a 5＝32.∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 4、a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，∴a 4＋a 5＝2. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2 ＝2·32＝18. 答案：187．(2011·东城区模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ≤3x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y的最小值为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ≤3x ＋y ≥0.所表示的平面区域如图，A (3,8)，B (－52，52)，C (3，－3)利用平移法可知直线经过点(3，－3)时z min ＝3－6＝－3 答案：－38．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 4＝2，则S 13S 7的值为________． 解析：S 13S 7＝13a 1＋a 13272a 1＋a 7＝13a 1＋a 137a 1＋a 7＝13×a 77×a 4＝267答案：2679．(2011·葫芦岛模拟)在△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________. 解析：由已知得b 2＝ac . 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：3410．(2011·上海高二检测)已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－1<x <3}，则a ·c ＝________解析：由已知得－1,3是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a ，－1×3＝c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3.∴a ·c ＝－3. 答案：－311．在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形解的个数为________． 解析：∵a <b ，∴A <B ，又A ＝130°， ∴B 为钝角矛盾，故无解． 答案：012．某种产品平均每三年降低价格14，目前售价640元，则9年后此产品价格为________元．解析：由题意知9年后的价格为640×(1－14)3＝270(元)答案：27013．(2011·苏北四市模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________． 解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域[0，＋∞)， ∴a >0，且4ac －14a ＝0.∴ac ＝14，∴c >0.∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c≥2c a ·ac＋24ac＝2＋8＝10.[当且仅当a ＝c 时取等号． 答案：1014．(2012·潍坊联考)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴9S 3＝S 6. ∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6. ∴a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝8.∴q ＝2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴数列{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{1a n }的前5项和为1×[1－125]1－12＝3116.答案：3116二、解答题(本大题共有6个小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2012·浙江省杭州高中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2 012.解：(1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1.即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝(13)n.(2)由已知得f (a n )＝log 3(13)n ＝－n∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n ) ＝－1－2－3－…－n ＝－n n ＋12∴1b n ＝－2(1n －1n ＋1) ∴T n ＝－2[1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1]＝－2(1－1n ＋1). 所以T 2 012＝－4 0242 013.16．(本小题满分14分)(2011·盐城模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求c 的值；(2)求sin(2A －π3)的值．解：(1)根据正弦定理，c sin C ＝asin A ，所以c ＝sin Csin A·a ＝2a ＝2 5.(2)根据余弦定理，得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55， 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin(2A －π3)＝sin2A cos π3－cos2A sin π3＝4－3310.17．(本小题满分14分)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，数列{b n }的前n 项和为S n ，且有S n ＝2b n －1. (1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)∵{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13，设公差为d .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *). 在{b n }中，∵S n ＝2b n －1， 当n ＝1时，b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝2b n －1及S n －1＝2b n －1－1可得b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项为1公比为2的等比数列． ∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)c n ＝a n b n ＝(2n －1)·2n －1T n ＝1＋3·2＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1 ①2T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2·21－2n －11－2－(2n －1)·2n＝1＋4(2n －1－1)－(2n －1)·2n＝－3－(2n －3)·2n∴T n ＝(2n －3)n＋3(n ∈N *)18．(本小题满分16分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600 吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．19．(本小题满分16分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，a 2－c 2＝b 2－8bc 5，a ＝3，△ABC 的面积为6，D 为△ABC 内(不包括三角形的边)任一点，点D 到三边距离之和为d .(1)求角A 的正弦值； (2)求边b 、c; (3)求d 的取值范围．解：(1)a 2－c 2＝b 2－8bc 5⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝45⇒cos A ＝45⇒sin A ＝35.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·35＝6.∴bc ＝20.由b 2＋c 2－a 22bc ＝45及bc ＝20与a ＝3解得b ＝4，c ＝5或b ＝5，c ＝4.(3)设点D 到三边的距离分别为x 、y 、z ， 则S △ABC＝12(3x ＋4y ＋5z )＝6，d ＝x ＋y ＋z ＝125＋15(2x ＋y )， 又x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y <12，x >0，y >0，画出不等式表示的平面区域得125<d <4.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋a 2x ＋2b －a 3，当x ∈(－2,6)时，其值为正，而当x ∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负． (1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的解析式；(2)设F (x )＝－k4f (x )＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？解：(1)由题意可知－2和6是方程f (x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋6＝4，2b －a 3a ＝－2×6＝－12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－8.∴f (x )＝－4x 2＋16x ＋48.(2)F (x )＝－k4(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2＋4x －2. 当k ＝0时，F (x )＝4x －2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎪⎨⎪⎧k <016＋8k <0，解得k <－2.。
苏教版高中数学必修五模块综合检测
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝2sin 60°3＝22. 又a <b ，B ＝60°，∴A <60°，∴A ＝45°. 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( ) A.116 B.117 C.110D.125解析：选C a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14， a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.4．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D. 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎡⎦⎤2＋(x ＋y )22＝⎝⎛⎭⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3d ＝13， ∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由已知可得cos 2C ＝2cos 2A ＋B2－1＝cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，则2cos 2C ＋cos C －1＝0.∵C ∈(0，π)，解得cos C ＝12，根据余弦定理得12＝a 2＋b 2－c 22ab.∵4sin B ＝3sin A ，由正弦定理可得4b ＝3a .又∵a －b ＝1，∴b ＝3，a ＝4，代入余弦公式得到c 的值为13.故选A.8．已知S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，S 3＝3a 1＋2a 2，且a 2－12，a 4，a 5成等差数列，则a 1＝( )A ．2 B.12 C.14D ．4解析：选C 设数列{a n }的公比为q (q >0)，则由S 3＝3a 1＋2a 2可得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，又a 2－12，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 2－12＋a 5，即a 2＝12，所以a 1＝14. 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35，且S △ABC ＝4，则c ＝( ) A.463B ．4C.263D ．5解析：选A 在△ABC 中，2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理可得2c ＝a ＋b .∵cos C ＝35，∴sin C ＝1－cos 2C ＝45.∵S △ABC ＝4，即12ab sin C ＝4，∴ab ＝10.由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝35，∴(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝35，即4c 2－20－c 220＝35，解得c ＝463(负值舍去)．故选A.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对任意的x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0] B.⎣⎡⎭⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，57 D.⎝⎛⎭⎫－∞，57 解析：选D 函数f (x )＝mx 2－mx －1， 若对任意的x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立， 即mx 2－mx ＋m －5<0对于x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，当m ＝0时，－5<0恒成立． 当m <0时，g (x )max ＝g (1)＝m －5<0，解得m <5， ∴m <0.当m >0时，g (x )max ＝g (3)＝7m －5<0，解得m <57，∴0<m <57.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，57. 11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334B.6＋324C.326－24D.36－324解析：选A 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，∴c ＝a ＋322，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a ＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立．此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5－n ，其前n 项和为S n ，将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n .若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由已知得S n ＝－12n 2＋92n ，(S n )max ＝S 4＝S 5＝10.等比数列{b n }的前3项为4,2,1，所以T n ＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ，显然{T n }是递增数列，且4≤T n <8.因为存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，则10<8＋λ，所以λ>2.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22(xy )2＝22，并且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°，∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 315．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴S n ＝－1n . 答案：－1n16．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围是________．解析：当x <0时，－9x －a 2x ≥6|a |， ∴f (x )≤7－6|a |.∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴当x >0时，f (x )≥6|a |－7. ∵a ＋1≤f (x )对一切x >0成立， ∴a ＋1≤f (x )min ，即a ＋1≤6|a |－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤6a －7，a ≥0，a ＋1≤－6a －7，a <0.解得a ≤－87或a ≥85.当x ＝0时，f (0)＝0≥a ＋1，∴a ≤－1. 综上可知a ≤－87.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－87 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0，所以b ＝－10，c ＝0， 所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， 所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， 所以10＋t ≤0，即t ≤－10， 所以t 的取值范围为(－∞，－10]．19．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.20．(本小题满分12分)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽、柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产汽车x (百辆)，需另投入成本C (x )(万元)，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10 000x －4 500，x ≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2018年的利润L (x )(万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大，并求出最大利润．解：(1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500； 当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10 000x＋4 500－2 500＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <40，2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥40. (2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1 500， ∴当x ＝20时，L (x )max ＝L (20)＝1 500；当x ≥40时，L (x )＝2 000－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤2 000－2 x ·10 000x ＝2 000－200＝1 800，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )max ＝L (100)＝1 800>1 500.∴当x ＝100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1 800万元．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C .(1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝AC sin A BC ＝12.因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21. (3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32， 所以AB ·AC ＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72， 所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <34.解：(1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)． ∴{a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n.由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1⎝⎛⎭⎫d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n. (2)证明：c n ＝a nb n＝n ⎝⎛⎭⎫13n ，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，则T n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ，13T n ＝1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，由错位相减，得23T n ＝13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝12－12×⎝⎛⎭⎫13n －n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以T n ＝34－34×⎝⎛⎭⎫13n －12n ×⎝⎛⎭⎫13n ＝34－2n ＋34×13n <34.由Ruize收集整理。
最新高中数学苏教版必修5模块综合测评 Word版含解析
最新教学资料·苏教版数学模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________． 【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14， ∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17， 令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．【解】(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2<x<4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8，当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)，∴对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2(x－1)×4x－1－2＝2(当x＝3时等号成立)．∴实数m的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得S n>60n＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。
最新高一数学题库 高一数学测试四答案详解(苏教版必修5)
必修五模块测试四一、填空题1. 2.在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则b 等于 。
1. 46。
提示：A ＝180°－(B ＋C )＝45°，则结合正弦定理可得。
2. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是 。
2. 60°＜∠A ＜90°。
提示：∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＞0∴cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0 ∴∠A ＜90°，又∵a 边最大，∴A 角最大∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180° ∴3∠A ＞180°，∴∠A ＞60°∴60°＜∠A ＜90° 3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0.则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是 。
3.B 【解析】∵d ＜0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3－a 9 即a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5＞0，a 7＜0.4.满足不等式x ＋y ＋1<0表示平面区域的一个点的坐标为 。
4.（-2，0）。
提示：答案不唯一，代入满足x ＋y ＋1<0即可。
5.函数y ＝lg (x 2－2x)＋x 2－3x ＋2的定义域是 。
5. (2，＋∞)∪(－∞0)。
提示：由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＞0x 2－3x ＋2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜0x ≥2或x ≤1所以x ＞2或x<0，所求函数f(x)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞0) 6. 已知△ ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且∠A ＝60°，则sin B= 。
6. 55738。
提示：由余弦定理得：BC 2＝9＋25－2×3×5cos 60°＝34－15＝19∴BC ＝19，又由正弦定理得：BC sin 60°＝AB sin C ＝ACsin B。
苏教版高中数学必修五高一下学期期终模拟试卷(4)教师版.docx
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．，在本试卷上作答一律无效．1. 在△ABC 中,已知2,45,2,a A b ===则B = ▲ .302. 已知等差数列{}n a 的前9项和963S =，则5a = ▲ .73．如果01,0<<-<b a ，则 2ab a ab ，，的大小关系是 ．ab ab a <<24．直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ▲ ．-1 5. 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋8y ＋15≥05x ＋3y －6≤02x －5y ＋10≥0，则z ＝x －y 的最大值是 . 66．经过点)1,2(P 的直线l 到)1,1(A 、)5,3(B 的距离相等，则直线l 的方程是▲ ．230x y --=或2x =7.在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，2sin A －sin B sin C 的值 . 358. 过点)1,4(A 的圆C 与直线01=--y x 相切于点)1,2(B ,则圆C 的方程为 ▲ .22(3)2x y -+=9. 设x>0,y>0，x+y=4，则yx u 11+=的最小值为 ．1 10. △ABC 中，若35sin ,cos ,513A B ==则cos C = ▲ .166511．已知c b a ,,是ABC ∆的三条边，c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，则ABC ∆的形状是 ▲ ．等腰三角形或直角三角形12. 若△ABC 中，030,1C a b =+=，则△ABC 面积S 的取值范围是 ▲ . 10,16⎛⎤⎥⎝⎦13. 对于数列{}n a ，定义数列{}1n n a a +-为数列{}n a 的“差数列”，若12,a ={}n a 的“差数列”的通项为2n ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ . 122n +-14．已知}{,2n nn a a 把数列=的各项排成如右侧三角形状，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则结论①(2,3)A =16； ②)2)(2,(2)3,(≥=i i A i A ；③)1(),12,()1,()],([2≥-⋅=i i i A i A i i A ；④)1(,2)1,()1,1(12≥⋅=+-i i A i A i ；其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．①②③④二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知直线02:1=++y ax l )(R a ∈.（1）若直线1l 的倾斜角为o120,求实数a 的值； （2）若直线1l 在x 轴上的截距为2,求实数a 的值；12345678910111213141516a a a a a a a a a a a a a a a a（3）若直线1l 与直线012:2=+-y x l 平行，求两平行线之间的距离. (1)3=a …………4分 (2) 1-=a …………8分 (3)553 ………………14分 16．（本题满分14分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边. （1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．（1）23sin 21==∆A bc S ABC ，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b 由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以3=a（2）由余弦定理得：2222222c b a ac b c a c a =+⇒-+⋅=，所以︒=∠90C 在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a cac b =⋅=所以ABC ∆是等腰直角三角形；17．（本题满分14分）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()20f x x +>的解集为（1，3）． ⑴若方程()60f x a +=有两个相等实数根，求()f x 的解析式． ⑵若()f x 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．解：⑴∵二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()20f x x +>解集为（1，3）， ∴可设()2(1)(3)f x x a x x +=--，且0a < ∴2()(24)3f x ax a x a =-++由方程()60f x a +=得2(24)90ax a x a -++=，∵方程()60f x a +=有两个相等的实根，∴01a ∆=⇒=或15-，而0a <， ∴15a =-从而2163()555f x x x =--- ⑵由2()2(12)3,f x ax a x a =-++得∴2max41()a a f x a++=-∴20,410a a a a <⎧⎪⎨++->⎪⎩解得23a <--或230a -+<<∴实数a 的取值范围是(,23)-∞--(23,0)-+．18．（本题满分16分）已知圆4:22=+y x O 和点()2,1M ，过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直， 设21,d d 分别为圆心O 到弦BD AC ,的距离． （1）求1d 的最小值与最大值； （2）求证2221d d +为定值；（3）求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由题意知点M 在圆内，所以当AC 过圆心O 时，1d 有最小值0， 当AC ⊥OM 时，1d 有最大值3；………………4分 （2）当都不过圆心时，设于，则为矩形，，………………8分当中有一条过圆心时，上式也成立；………………9分综上所述：2221d d +为定值3；………………10分 （3）∴………………12分（当且仅当时等号成立）………………14分所以四边形ABCD 面积521≤⋅=BD AC S 所以四边形ABCD 面积的最大值是5. ………………16分 19．（本题满分16分）某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界4AB AD ==，6BC =，2CD =．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；（2）因地理条件的限制，边界,AD DC 不能变更，而边界,AB BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．20．（本题满分16分）设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,公比为(1)q q ≠．(1)若4128,,S S S 成等差数列,求证:101814,,a a a 成等差数列；(2)若,,(,,m k t S S S m k t 为互不相等的正整数)成等差数列,试问数列{}n a 中是否存在不同的三项成等差数列?若存在,写出两组这三项;若不存在,请说明理由；(3)若q 为大于1的正整数．试问{}n a 中是否存在一项k a ,使得k a 恰好可以表示为该数列中连续两项的和?请说明理由．ABCDP。
【苏教版】2021年高中数学必修5配套练习+章节检测试卷+章节知识点汇总
(苏教版)高中数学必修5配套练习+章节检测试卷+章节知识点汇总第1章解三角形1.1 正弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC 中, 边长BC ＝10, ∠A ＝30°, ∠B ＝45°, 那么边长AC 等于( )A ．202 B.1063C ．10 2 D.563解析: 由正弦定理得10sin 30°＝ACsin 45°, 解之得AC ＝10 2.答案: C2．在△ABC 中, ∠A ＝60°, a ＝43, b ＝42, 那么∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 解析: 因为sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22,所以∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时, 不符合题意, 所以∠B ＝45°. 答案: C3．假设a sin A ＝b cos B ＝ccos C , 那么△ABC 为( )A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形解析: 由a sin A ＝b sin B ＝csin C, 故sin B ＝cos B ,sin C＝cos C,所以B＝C＝45°.答案: C4．在△ABC中, 假设∠A＝30°, ∠B＝60°, 那么a∶b∶c＝()A．1∶3∶2 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．1∶2∶2解析: 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.答案: A5．在△ABC中, 假设sin A>sin B, 那么A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A、B的大小关系不能确定解析: sin A＞sin B⇔2R sin A＞2R sin B⇔a＞b⇔A＞B(大角对大边)．答案: A二、填空题6．△ABC中, AB＝6, ∠A＝30°, ∠B＝120°, 那么△ABC的面积为________．解析: 由正弦定理得ABsin C＝BCsin A, 解得BC＝6,所以S△ABC＝12AB·BC·sin B＝12×6×6×32＝9 3.答案: 9 37．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.A＝π6, a＝1, b＝3, 那么B＝________．解析: 由正弦定理a sin A ＝bsin B .把A ＝π6, a ＝1,b ＝3代入, 解得sin B ＝32.因为b >a , 所以B >A , 结合题意可知B ＝π3或2π3.答案: π3或2π38．在△ABC 中, c ＋b ＝12, A ＝60°, B ＝30°, 那么b ＝________, c ＝________．解析: 由正弦定理知sin B b ＝sin C c , 即b ＝12c , 又b ＋c ＝12, 解得b ＝4, c ＝8.答案: 4 8 三、解答题9．在△ABC 中, a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 判断△ABC 的形状．解: 因为a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 所以a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得: a ·a 2R ＝b ·b2R ,所以a 2＝b 2, 所以a ＝b . 所以△ABC 为等腰三角形．10．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且A ＋C ＝2B . (1)求cos B 的值;(2)假设b 2＝ac , 求sin A sin C 的值．解析: (1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°, 得∠B ＝60°,所以cos B ＝12.(2)由b 2＝ac 及正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34.B 级 能力提升一、选择题11．在△ABC 中, a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a , 那么ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析: 因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .由正弦定理可得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A , 即sin B ＝2sin A , 所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案: D12．在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , 假设3a ＝2b , 那么2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.72解析: 由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1, 又3a ＝2b , 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×94－1＝72.所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×sin 2B sin 2A －1＝2×94－1＝92－1＝72.答案: D 二、填空题13．在△ABC 中, 假设a ＝3, b ＝3, A ＝π3, 那么C 的大小为________．解析: 在△ABC 中, 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ,即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又因为a >b , 所以B ＝π6.所以C ＝π－A －B ＝π2.答案: π214．在△ABC 中, a ＝1, b ＝3, A ＋C ＝2B , 那么sin C ＝________．解析: 在△ABC 中, A ＋B ＋C ＝π, 又A ＋C ＝2B , 故B ＝π3, 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12,又a ＜b , 因此A ＝π6, 从而C ＝π2, 即sin C ＝1.答案: 115．在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .假设a ＝2, b ＝2, sin B ＋cos B ＝2, 那么角A 的大小为________．解析: 因为sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1, 解得B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A＝12, 因为a ＜b , 所以0＜A ＜B ＝π4.所以A ＝π6.答案: π6三、解答题16．在△ABC中, a＝3, b＝26, B＝2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值．解: (1)因为a＝3, b＝26, B＝2A,由正弦定理得3sin A＝26sin2A.所以2sin A cos Asin A＝263.故cos A＝6 3.(2)由(1)知cos A＝63, 所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A, 所以cos B＝2cos2A－1＝1 3.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中,sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.第1章解三角形1.2 余弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC中, A, B, C的对边分别为a, b, c, 假设c2－a2－b22ab>0,那么△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析: 由题意知a2＋b2－c22ab<0, 即cos C<0,所以△ABC为钝角三角形．答案: C2．在△ABC中, a＝1, b＝3, c＝2, 那么B等于() A．30°B．45°C．60°D．120°解析: cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12,所以B＝60°.答案: C3．边长为5, 7, 8的三角形的最大角与最小角的和是() A．90°B．120°C．135°D．150°解析: 设边长为7的边所对的角为θ, 那么由余弦定理得:cos θ＝52＋82－722×5×8＝12, 所以θ＝60°.所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案: B4．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a2＝b2－c 2＋2ac , 那么角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135° 解析: 因为a 2＝b 2－c 2＋2ac , 所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ,由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22,又0°<B <180°, 所以B ＝45°. 答案: A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7, BC ＝5, CA ＝6, 那么AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19 解析: 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935,所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案: D 二、填空题6．△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0, 那么cos C ＝_____________________________.解析: 由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab , 从而cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13.答案: －137．(2021·福建卷)在△ABC 中, A ＝60°, AC ＝2, BC ＝3, 那么AB 等于________．解析: 由余弦定理可知: cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB ＝12, 所以AB ＝1. 答案: 18．设2a ＋1, a , 2a －1为钝角三角形的三边, 那么a 的取值范围是________．解析: 由题意知2a ＋1是三角形的最大边, 那么⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋2a －1>2a ＋1a 2＋ (2a －1 )2－ (2a ＋1 )22a (2a －1 )<0所以2<a <8. 答案: (2, 8) 三、解答题9．在△ABC 中, B ＝120°, 假设b ＝13, a ＋c ＝4, 求△ABC 的面积．解: 由余弦定理得: b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ,即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.10．在△ABC 中, ∠C ＝90°, 现以a ＋m , b ＋m , c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′, 试判断△A ′B ′C ′的形状．解: 最大边长c ＋m 所对角为C ′, 那么cos C ′＝ (a ＋m )2＋ (b ＋m )2－ (c ＋m )22 (a ＋m ) (b ＋m )＝ (a 2＋b 2－c 2 )＋2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＝2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＞0,所以C ′为锐角, 而C ′为△A ′B ′C ′的最大角, 故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级 能力提升一、选择题11．三角形的两边分别为5和3, 它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根, 那么三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析: 设夹角为α, 所对的边长为m , 那么由5x 2－7x －6＝0, 得(5x ＋3)(x －2)＝0, 故得x ＝－35或x ＝2, 因此cos α＝－35, 于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52, 所以m ＝213.答案: B12．在不等边三角形中, a 为最大边, 如果a 2<b 2＋c 2, 那么A 的取值范围是( )A ．90°<A <180°B ．45°<A <90°C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析: 由余弦定理可知, cos A >0, 故知A 为锐角, 又A 是不等边三角形的最大角, 故A >60°, 所以60°<A <90°.答案: C13．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac , 那么B ＝( )A.π6B.π3或2π3C.π6或5π6D.π3解析: 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3actan B , 再由余弦定理得: cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B,即tan B cos B ＝32, 即sin B ＝32, 所以B ＝π3或2π3. 答案: B 二、填空题14．(2021·天津卷)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c .b －c ＝14a , 2sin B ＝3sin C , 那么cos A 的值为________．解析: 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c , 即b ＝32c .代入b －c ＝14a , 整理得a ＝2c .故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ·c ＝－14.答案: －1415．△ABC 的三边a , b , c , 且面积S ＝a 2＋b 2－c 24, 那么C ＝________．解析: 由12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C , 再由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab得sin C ＝cos C ,所以C ＝π4.答案: π4三、解答题16．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , a ＝1, b ＝2, cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A －C )的值．解: (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4, 所以c ＝2.所以△ABC 的周长为1＋2＋2＝5.(2)因为cos C ＝14, 所以sin C ＝1－cos 2C ＝154,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78.所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.第1章解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级根底稳固一、选择题1．在某测量中, 设点A在点B的南偏东34°27′, 那么点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案: A2.如以下图, 为了测量某湖泊两侧A, B的距离, 绘出以下数据, 其中不能唯一确定A, B两点间的距离的是()A．角A, B和边bB．角A, B和边aC．边a, b和角CD．边a, b和角A解析: 根据正弦定理和余弦定理可知, 当知道两边和其中一边的对角解三角形时, 得出的结果不一定唯一, 应选D.答案: D3．一船自西向东匀速航行, 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处, 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处, 那么这只船的航行速度为( )A.1762 n mileB ．34 6 n mile C.1722n mileD ．34 2 n mile解析: 如以下图, 在△PMN 中, PM sin 45°＝MNsin 120°,所以MN ＝68×32＝34 6.所以v ＝MN 4＝1726( n mile/h)． 答案: A4．某人向正东方向走x km 后, 他向右转150°, 然后朝新方向走3 km, 结果他离出发点恰好 3 km, 那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析: 依题意可得, 32＋x 2－2×3·x cos 30°＝(3)2. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案: C5．江岸边有一炮台高30 m, 江中有两条船, 由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°, 而且两条船与炮台底部连线成30°角, 那么两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析: 设炮台顶部为A , 两条船分别为B 、C , 炮台底部为D , 可知∠BAD＝45°,∠CAD＝60°, ∠BDC＝30°,AD＝30.分别在Rt△ADB, Rt△ADC中,求得DB＝30, DC＝30 3.在△DBC中, 由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos 30°,解得BC＝30.答案: D6．有一长为10 m的斜坡, 倾斜角为75°, 在不改变坡高和坡顶的前提下, 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°, 那么坡底要延长的长度(单位: m)是()A．5 B．10 C．10 2 D．10 3解析: 如以下图, 设将坡底加长到B′时, 倾斜角为30°,在△ABB′中, 利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中, ∠B′＝30°,∠BAB′＝75°－30°＝45°, AB＝10 m,由正弦定理, 得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时, 坡底延伸10 2 m. 答案: C二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后, 望见塔在正北, 假设路途测得塔的最大仰角为30°, 那么塔高为________m.解析: 设塔高为AB, 某人由C前进到D, 依题意可得CD＝40 m, ∠ACD＝90°－60°＝30°, 作AE⊥CD于点E, 那么∠AEB ＝30°, 那么AD＝CD sin 30°＝20,AE＝AD sin 60°＝103,所以AB＝AE tan 30°＝103×33＝10 m.答案: 108．一树干被台风吹断, 折断局部与残存树干成30°角, 树干底部与树尖着地处相距5 m, 那么树干原来的高度为________．解析: 如以下图, AB＝AC·tan 60°＝53, BC＝ACsin 30°＝10,所以AB＋BC＝(53＋10)m.答案: (10＋53)m三、解答题9.如以下图, 一船以每小时15 km 的速度向东航行, 船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°, 行驶4 h 后, 船到达C 处, 看到这个灯塔在北偏东15°, 求此时船与灯塔的距离．解: 如题图所示, 由正弦定理得, BCsin (90°－60° )＝15×4sin 45°,所以BC ＝30 2 km.所以此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如以以下图所示, 在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°, 在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°, AB 的距离是84 m, 求塔高．解: 设塔高CD ＝x m , 那么AD ＝x m , DB ＝3x m.在△ABD 中, 利用余弦定理得842＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x tan 45°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫xtan 30°2－23·x 2cos(90°＋60°),解得x ＝±127(负值舍去), 故塔高为127 m.B 级 能力提升一、选择题11．如以下图, 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等, 灯塔A在观察站C的北偏东40°, 灯塔B在观察站C的南偏东60°, 那么灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析: 如题图所示, 结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因为AC＝BC, 所以∠ABC＝50°, α＝60°－50°＝10°.答案: B12．假设水平面上, 点B在点A南偏东30°方向上, 那么在点A 处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析: 根据方位角的意义, 可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案: C13．当甲船位于A处时得悉, 在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船, 乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救, 那么sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714解析: 连接BC.在△ABC中, AC＝10, AB＝20,∠BAC ＝120°, 由余弦定理, 得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC · cos120°＝700,所以BC ＝107, 再由正弦定理, 得BC sin ∠BAC＝ABsin θ, 所以sin θ＝217.答案: A 二、填空题14．(2021·课标全国Ⅰ卷)如以下图, 为测量山高MN , 选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°, C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°; 从C 点测得∠MCA ＝60°.山高BC ＝100 m, 测山高MN ＝________m.解析: 根据图示, AC ＝100 2 m.在△MAC 中, ∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中, MNAM ＝sin 60°,所以MN ＝1003×32＝150(m)．答案: 15015．甲船在岛B 的正南A 处, AB ＝10千米, 甲船以每小时4千米的速度向正北航行, 同时, 乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是________小时．解析: 设行驶x h 后甲到点C , 乙到点D , 两船相距y km , 那么∠DBC ＝180°－60°＝120°.所以y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100.所以当x ＝514时, y 2有最小值, 即两船相距最近．答案:514三、解答题16．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , b ＝27, B ＝60°, a ＋c ＝10.(1)求sin ()A ＋30°;(2)假设D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC , 求四边形ABCD 的面积．解: (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝473,因为a ＋c ＝10, 所以sin A ＋sin C ＝5327. 因为B ＝60°, 所以C ＝120°－A ,所以sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327,于是得sin ()A ＋30°＝5714. (2)因为A , B , C , D 共圆, B ＝60°, 所以D ＝120°.在△ADC 中, 由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12,解之得AD ＝2,所以S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23,在△ABC 中, 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得ac ＝24.所以S △ADC ＝12ac sin 60°＝63,所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.第2章数列2.1 数列A级根底稳固一、选择题1．以下命题中错误的选项是()A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案: C2．以下说法中正确的选项是()A．数列2, 3, 5可表示为{2, 3, 5}B．数列2, 4, 6, 8与数列8, 6, 4, 2是相同的数列C．集合{1, 3, 5, 7}与集合{7, 5, 3, 1}是相同的集合D．数列1, 3, 5, 7, …可记为{2n＋1}(n∈N*)解析: 考查数列的定义及数列与数集的区别．答案: C3．数列1, 3, 7, 15, …的一个通项公式是a n＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析: 由数列的前四项可知, 该数列的一个通项公式为a n＝2n －1.答案: D4．数列{a n}的通项公式是a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1n 2n ≥2那么这个数列的前3项是( )A ．1, 4, 9B ．2, 4, 9C ．2, 1, 4D ．2, 6, 11解析: 考查数列的通项． 答案: B5．数列12, 23, 34, 45, …, nn ＋1, …, 那么0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项 解析: 由a n ＝n n ＋1, 令nn ＋1＝0.96, 解得n ＝24.即a 24＝0.96.答案: C 二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n12n ＋1, 那么a 10＝______;a 2n ＋1＝________．解析: a 10＝(－1)1012×10＋1＝121,a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112 (2n ＋1 )＋1＝－14n ＋3.答案: 121 －14n ＋37．a n ＝n 2－7n ＋6, 那么从第________项起{a n }的各项为正数．解析: 由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6, 而n ∈N *, 所以n ＞6. 答案: 78．由数列53, 108, 17a ＋b ,a －b24, …, 可得有序数对(a , b )为________．解析: 从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15a －b ＝26 解得⎩⎨⎧a ＝412b ＝－112.答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫412 －112 三、解答题9．根据数列的通项公式, 写出数列的前5项, 并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2; (2)a n ＝n ＋1n.解: (1)a 1＝1, a 2＝3, a 3＝1, a 4＝3, a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2, a 2＝32, a 3＝43, a 4＝54, a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项; (2)98101是不是该数列的项? (3)判断数列{a n }的单调性, 并求数列的最大项、最小项． 解: (1)由a n ＝3n －23n ＋1, 令n ＝10, 得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101, 得: 9n ＝300,所以n ＝1003, 由于n 不是正整数,因此, 98101不是该数列的项．(3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1, 那么a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1 ＝9(3n ＋1 ) (3n ＋4 ). 又n ∈N ＋, (3n ＋1)(3n ＋4)>0, 所以a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列, 所以数列中的最小项为a 1＝14, 无最大项．B 级 能力提升一、选择题11．在数列a 1, a 2, a 3, a 4, …, a n , …的每相邻两项中插入4个数, 构成一个新数列, 那么新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析: 在数列中插入四个数后, 原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得, 5(k －1)＋1＝36, 解得k ＝8.应选C.答案: C12．数列1, －1, －1, 1, 1, －1, －1, 1, …的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1D ．a n ＝ (－1 )n ＋1＋12解析: 令n ＝1, 2, 3, 检验可知, 数列的通项为a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4. 答案: A13．a n ＝n 2－21n 2, 那么数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项, 第10项B ．第10项, 第11项C ．第11项, 第12项D ．第12项, 第13项解析: 假设a n ＝a n ＋1, 那么有n 2－21n 2＝ (n ＋1 )2－21 (n ＋1 )2,解之得n ＝10, 所以, 相等的连续两项是第10项和第11项．答案: B 二、填空题14．数列32, 83, 154, 245, 356, 487, …的一个通项公式为________．解析: 数列的分母具有明显规律, 因而只要进一步观察分子, 发现分母比分子的平方小1, 故知数列的通项公式为a n ＝ (n ＋1 )2－1n ＋1＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)．答案: a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋), 那么a n ＋1－a n等于________．解析: 因为a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋),所以a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2.所以a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案: 12n ＋1－12n ＋2三、解答题16．数列{a n }中, a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋), 且{a n }单调递增, 求实数k 的取值范围．解: 因为a n ＝n 2－kn , 所以a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)．所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 因为数列{a n }单调递增, 所以a n ＋1－a n >0,即2n ＋1－k >0对n ∈N ＋恒成立． 所以k <2n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立． 而2n ＋1的最小值为3. 故只需k <3即可．所以k 的取值范围为(－∞, 3)．第2章数列2.2 等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n, 那么它的公差d为() A．2 B．3 C．－2 D．－3－a n＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2.选C.解析: d＝a n＋1答案: C2．等差数列{a n}的首项a1＝4, 公差d＝－2, 那么通项公式a n＝()A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6解析: a n＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.答案: C3．m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5, 那么m和n的等差中项是()A．2 B．3 C．6 D．9解析: 由题意2m＋n＝10, 2n＋m＝8, 两式相加得3m＋3n＝18,所以m ＋n ＝6.所以m ＋n2＝3.答案: B4．在首项为81, 公差为－7的等差数列中, 值最接近零的项是( )A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项解析: 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88, 令a n ≥0, 解得n ≤887＝1247.而a 12＝4, a 13＝－3, 故a 13的值最接近零． 答案: C5．假设数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1, 那么数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列解析: 因为3a n ＋1＝3a n ＋1, 所以3a n ＋1－3a n ＝1. 所以a n ＋1－a n ＝13.故数列{a n }为公差为13的等差数列．答案: B 二、填空题6．在等差数列{a n}中, a3＋a7＝37, 那么a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析: 根据等差数列的性质, a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37.所以原式＝37＋37＝74.答案: 747．在等差数列{a n}中, a3＋a8＝10, 那么3a5＋a7＝______．解析: 由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10, 即2a1＋9d＝10, 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2 (2a1＋9d )＝20.答案: 208．假设a, b, c成等差数列, 那么二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析: 因为a, b, c成等差数列, 所以a＋c＝2b.又Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0,所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案: 1或2三、解答题9．在等差数列{a n}中, a1＋a6＝12, a4＝7.(1)求a9;(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解: (1)设首项为a1, 公差为d, 那么2a1＋5d＝12,a1＋3d＝7, 解得a1＝1, d＝2,所以a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知, a n＝2n－1, 由101＜a n＜1 000知101＜2n－1＜1 000,所以51＜n ＜1 0012.所以共有项数为500－51＝449.10．数列{a n }中, a 1＝12, 1a n ＋1＝1a n ＋13, 求a n .解: 由1a n ＋1＝1a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2, 公差为13的等差数列, 所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53. 所以a n ＝3n ＋5(n ∈N *)． B 级 能力提升一、选择题11．数列{a n }的首项为3, {b n }为等差数列, 且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *), 假设b 3＝－2, b 10＝12, 那么a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析: 由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6, d ＝2,所以b n ＝2n －8, 即a n ＋1－a n ＝2n －8, 由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.所以a 8＝a 1＝3. 答案: B12．等差数列{a n }中, 前三项依次为: 1x ＋1, 56x , 1x , 那么a 101等于( )A ．5013B ．1323C ．24D ．823解析: 由1x ＋1＋1x＝2×56x 解得x ＝2, 故知等差数列{a n }的首项为13, 公差d ＝112, 故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823. 答案: D13．?莱因德纸草书?是世界上最古老的数学著作之一, 书中有这样的一道题目, 把100个面包分给5个人, 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．那么最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析: 设这5份分别为a －2d , a －d , a , a ＋d , a ＋2d (d >0), 那么有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d , a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a＋2d ＝100, 故a ＝20, d ＝556, 那么最小的一份为a －2d ＝20－553＝53. 答案: A 二、填空题14．设数列{a n }, {b n }都是等差数列, 假设a 1＋b 1＝7, a 3＋b 3＝21, 那么a 5＋b 5＝________．解析: 因为{a n }, {b n }都是等差数列, 所以{a n ＋b n }也是等差数列, 其公差为21－72＝142＝7.所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案: 3515．递增的等差数列{a n }满足a 1＝1, a 3＝a 22－4, 那么a n ＝________．解析: 设等差数列公差为d , 那么由a 3＝a 22－4, 得1＋2d ＝(1＋d )2－4,所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列, 所以d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 答案: 2n －1(n ∈N *) 三、解答题16． "三个数成递减等差数列, 且三数和为18, 三数的积为66〞, 求这三个数．解: 法一: 设三个数分别为a 1, a 2, a 3.依题意, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18 a 1·a 2·a 3＝66所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18a 1· (a 1＋d )· (a 1＋2d )＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11 d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝5.因为数列{a n }是递减等差数列, 所以d <0. 所以d ＝－5, a 1＝11, 所以a 2＝6.a 3＝1. 所以这三个数为11, 6, 1.法二: 设等差数列{a n }的前三项依次为a －d , a , a ＋d ,那么⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋ (a ＋d )＝18 (a －d )·a · (a ＋d )＝66 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6 d ＝±5.又因为{a n }是递减等差数列, 所以d <0, 所以取a ＝6, d ＝－5. 所以这三个数分别为11, 6, 1.17．1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b是等差数列, 求证: a 2, b 2, c 2是等差数列．证明: 由条件, 得1b＋c＋1a＋b＝2c＋a,所以2b＋a＋c(b＋c ) (a＋b )＝2c＋a.所以(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．所以a2＋c2＝2b2, 即a2, b2, c2是等差数列．第2章数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n项和A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}中, S10＝120, 那么a1＋a10等于() A．12B．24C．36D．48解析: 根据等差数列的前n项和公式S n＝ (a1＋a n )n2,可得S10＝ (a1＋a10 )·102＝5(a1＋a10)＝120⇒a1＋a10＝24.答案: B2．在等差数列{a n}中, 前15项的和S15＝90, 那么a8等于() A．3 B．4 C．6 D．12答案: C3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设S 4＝20, S 2＝4, 那么公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析: 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4 S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4 4a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12 d ＝3.答案: B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( ) A.n (3n ＋8 )2B. (n ＋2 ) (3n ＋8 )2C. (n ＋3 ) (3n ＋8 )2D.n (3n －1 )2解析: 根据题意, 记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2, 那么1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝ (n ＋3 ) (3n ＋8 )2.答案: C5．假设等差数列{a n }的前三项和S 3＝9, 且a 1＝1, 那么a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: S 3＝3a 1＋3×22d ＝9, 且a 1＝1,所以d ＝2, 所以a 2＝a 1＋d ＝3. 答案: A 二、填空题6．假设一个等差数列{a n }的前3项和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 那么这个数列有________项．解析: a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180, 所以3(a 1＋a n )＝180, 即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390, 知n (a 1＋a n )2＝390,所以n ·602＝390, 解得n ＝13.答案: 137．在项数为2n ＋1的等差数列中, 所有奇数项的和为165, 所有偶数项的和为150, 那么n ＝________．解析: (1)由S 奇S 偶＝ (n ＋1 )· (a 1＋a 2n ＋1 )2n · (a 2＋a 2n )2＝n ＋1n ＝165150.解得: n ＝10. 答案: 108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设a 1＝－11, a 4＋a 6＝－6, 那么当S n 取最小值时, n ＝________．解析: a 4＋a 6＝2a 5＝－6, 得a 5＝－3, 所以公差d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2.法一: 由d ＝2>0可知, 数列{a n }是递增数列． a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0, 得n ＝612.所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<…. 故数列{a n }的前6项和最小．法二: S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36.所以当n ＝6时, S n 最小．答案: 6 三、解答题9．等差数列51, 48, 45, …. (1)第几项开始为负? (2)前多少项的和最大?解: (1)易得a 1＝51, d ＝48－51＝－3, 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0, 且a 1>0, d <0, 故前17项或前18项的和最大． 10．数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2, 假设b n ＝2n －1a n , 求数列{a n }的通项公式．解: 当n ＝1时, b 1＝S 1＝9－6×12＝3,当n ≥2时, b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6, 当n ＝1时, b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式,所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n (n ≥2 ).又b n ＝2n －1a n ,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n 2n －1 (n ≥2 ).B 级 能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , S m －1＝－2, S m ＝0, S m ＋1＝3, 那么m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: a m ＝S m －S m －1＝2, a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3,所以公差d＝a m＋1－a m＝3－2＝1.由S m＝m (a1＋a m )2＝0得a1＝－a m＝－2,所以a m＝－2＋(m－1)·1＝2, 解得m＝5.答案: C12．设S n是等差数列{a n}的前n项和, 假设a5a3＝59, 那么S9S5等于()A．1 B．－1 C．2 D.1 2解析: S9S5＝92 (a1＋a9 )52 (a1＋a5 )＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.答案: A13．等差数列{a n}的前m项的和为10, 前2m项的和为100, 那么它的前3m项的和为()A．130 B．170 C．270 D．260解析: 因为S m＝10, S2m＝100, 故S2m－S m＝90, 故知S m, S2m －S m, S3m－S2m构成首项为10, 公差为80的等差数列, 所以S3m－S2m＝90＋80＝170.所以S3m＝100＋170＝270.答案: C二、填空题14．{a n}是等差数列, a1＝1, 公差d≠0, S n为其前n项和, 假设a1a5＝a22, 那么S8＝________．解析: 由a1a5＝a22得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2, 解得d＝2, 所以S8＝8a1＋8×72d＝8×1＋8×72×2＝64.答案: 6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感, 据资料记载, 11月1日, 该市新的流感病毒感染者有20人, 以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人, 那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析: 设从11月1日起, 第n 天的新感染者有a n 人, 那么a n ＋1－a n ＝50,那么每天的新感染者构成以a 1＝20, d ＝50的等差数列{a n }, 所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人．答案: 1 190 三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5, a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解: (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5, a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5 a 1＋9d ＝－9可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)． (2)由(1)知, S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25, 所以当n ＝5时, S n 取得最大值．第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．以下说法: ①公差为0的等差数列是等比数列; ②b2＝ac, 那么a, b, c成等比数列; ③2b＝a＋c, 那么a, b, c成等差数列; ④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 公差为0的非零数列是等比数列, 故①不正确; ②中只有a, b, c都不为0才正确; ④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案: B2．在等比数列{a n}中, a1＝8, a4＝64, 那么a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析: 因为a4＝a1q3＝8·q3＝64, 所以q3＝8, q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案: C3．等比数列x , 3x ＋3, 6x ＋6, …的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析: 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3, －6, －12, －24, ….答案: A4．{a n }是等比数列, 下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列; ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列; ④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 解析: 考查等比数列定义, 其中①②③为真． 答案: B5．等差数列{a n }的公差为3, 假设a 1, a 3, a 4成等比数列, 那么a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析: a 1＝a 2－3, a 3＝a 2＋3, a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6, 由于a 1, a 3, a 4成等比数列,那么a 23＝a 1a 4,所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6), 解得a 2＝－9. 答案: D 二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1, a 1, a 2, a 5成等比数列, 那么d ＝________．解析: 因为a 1, a 2, a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5, 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案: 0或27．在6和768之间插入6个数, 使它们组成共8项的等比数列, 那么这个等比数列的第6项是________．解析: 由条件得, 768＝6×q7, 解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案: 1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长, 那么第10年末的树木总量是今年的________倍．解析: 设这个林场今年的树木总量是m, 第n年末的树木总量为a n, 那么a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.那么a n＋1a n＝1.25.那么数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．那么a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案: 1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中:(1)a3＋a6＝36, a4＋a7＝18, a n＝12, 求n; (2)a5＝8, a7＝2, a n>0, 求a n.解: (1)法一: 因为a3＋a6＝36, a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36, ①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12, 所以14a1＋132a1＝36, 所以a1＝128,而a n ＝a 1q n －1, 所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1, 所以n ＝9.法二: 因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q , 所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12, 而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)．所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32.因为a n ＝a 3q n －3, 所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8, a 7＝a 1·q 6＝2, 所以q 2＝14, q ＝±12.又a n >0, 所以q ＝12.所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ;(2)设{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 求数列{b n }的通项公式．解: (1)因为{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21, 即a n ＝－2n ＋21, S n ＝19n ＋n (n －1 )2·(－2)＝－n 2＋20n ,即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 所以b n －a n＝3n －1,即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．{a n}是等比数列, 且a n＞0, a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25, 那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析: a2a4＝a23, a4a6＝a25, 故得(a3＋a5)2＝25, 又a n＞0, 所以a3＋a5＝5.答案: A12．设{a n}是由正数组成的等比数列, 且a5·a6＝81, 那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析: log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案: C13．在正项等比数列{a n}中, a3＝2－1, a5＝2＋1, 那么a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析: 因为a3a7＝a25, a2a6＝a3a5,所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案: C二、填空题14.(2021·安徽卷)如以下图, 在等腰直角三角形ABC中, 斜边BC ＝22, 过点A作BC的垂线, 垂足为A1, 过点A1作AC的垂线, 垂足为A 2; 过点A 2作A 1C 的垂线, 垂足为A 3....依此类推, 设BA ＝a 1, AA 1＝a 2, A 1A 2＝a 3, …, A 5A 6＝a 7, 那么a 7＝________．解析: 由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2, 公比q ＝22的等比数列, 所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案: 1415．(2021·广东卷)假设等比数列{a n }的各项均为正数, 且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5, 那么ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析: 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5, 所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案: 50 三、解答题16．等比数列{a n }各项均为正数, 且2a 1＋3a 2＝1, a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解: 由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6 2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24 2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎨⎧q ＝13a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。
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数学必修五-综合练习四A 卷一．选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分).1．如果R b a ∈,，并且b a >，那么下列不等式中不一定能成立的是（ ） A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >2 2．等比数列{}n a 中，5145=a a ，则111098a a a a =（ ）A.10B.25C.50D.75 3．在ABC ∆中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒4．已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，若2008=n a ，则n =（ ） A.667 B.668 C.669 D.670 5．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若,100,302==n n S S 则=n S 3（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 6．在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（ ）A.6B.2C.3D. 627．若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（ ） A.21 B. 23 C. 34 D. 35 8．关于x 的不等式x x x 352>--的解集是（ ）A.}1x 5{-≤≥或x xB.}1x 5{-<>或x xC.}5x 1{<<-xD.}5x 1{≤≤-x 9．在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060，塔基的俯角为045，那么这座塔吊的高是( ) A.)331(10+B.)31(10+C.)26(5+D.)26(2+ 10．已知+∈R b a ,且111=+ba ，则b a +的最小值为（ ） A.2 B.8 C. 4D. 111已知约束条件2828,x y x y x N y N +++≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数z=3x+y ，某学生求得x =38， y=38时，z max =323，这显然不合要求，正确答案应为( )A. x =3, y=3 , z max =12B. x =3, y=2 , z max =11.C. x =2, y= 3 , z max = 9.D. x =4, y= 0 , z max = 12. 二、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin =C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。
三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．(本题11分）已知数列{}n a 的前n 项和为,2n n S n +=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n b na n +=)21(，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
15．（本题12分）在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求 ①角C 的度数②△ABC 周长的最小值。
16．（本题12分）某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？B 卷一．填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)17．已知数列{n a }的前n 项和为S n ，若a 1 = -2 ,a 2=２, 且a n + 2－a n ＝１＋(-1)n则S 50 =18．已知三角形两边长分别为2和23，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为 19.不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是 二．解答题(本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 20.( 12分)在△ABC 中，sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求① tanA 的值 ; ② △ABC 的面积..21. (本小题满分12分)过点P （1，4）作直线L ，直线L 与x,y 的正半轴分别交于A,B 两点，O 为原点, ① △ABO 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； ② ②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L 的方程22. (本小题满分14分) 已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和S n =9-6n ．（1）求数列}{n a 的通项公式．（2）设)3||log 3(2n n a n b -=，求数列}1{n b 的前n 项和．2009届六安二中高三文1、2、8必修五综合练习3答案 2008-5-30一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分).二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 12．060 ； 13．3520； 三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14．解：（1）当1=n 时，,21=a ………………………1分当2≥n 时，,2)1()1(221n n n n n S S a n n n =----+=-=-也适合1=n 时， ∴n a n 2= …………………………5分（2）n n b n a n n+=+=)41()21(，………………………6分∴2)1(411))41(1(41)21()41()41(412++--=+++++++=n n n T n n n ……9分 2)1())41(1(31++-=n n n ……11分 15．解：①02322=--x x 21,221-==∴x x ……2分又C cos 是方程02322=--x x 的一个根 21cos -=∴C ，在△ABC 中∴C = 120度…6分② 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙-+=2222212 即：()()7551010022+-=--=a a a c ……8分 当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a ……10分∴ △ABC 周长的最小值为3510+……12分16．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y)个，绘画标牌(2x ＋y)个．2由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+04252y x y x y x …………5分所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图，…………8分在一组平行直线3x ＋2y ＝t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2，1)，∴最优解为：x ＝2，y ＝1………10分 ∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． ………12分B 卷一、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)17．600． 18． 2 ． 19．文：（-2 ，3 ）二、解答题(本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20(本小题满分12分)解：①∵sinA+cosA=2cos(A －45°)=22， ∴cos(A －45°)= 21.………2分 又0°<A<180°, ∴A －45°=60°，A=105°. ……… 4分 ∴tanA=tan(45°+60°)=3131-+=－2－3.………6分② sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+.……… 9分 ∴S ABC =21AC ·AbsinA=21·2·3·462+=43(2+6).……… 12分（此题还有其它解法，类似给分）21. (本小题满分12分)解：依题意可设直线l 的方程为:1x ya b+=(a>0 , b>0 ) 则A(a , 0 ), B(0,b ), 直线L 过点P （1，4）, ∴141a b+= , ……………2分 又a>0 , b>0∴1414,16ab a b +=≥=≥≥ 111168222ABO S OA OB ab ∆∴==⨯≥⨯=………………4分 当且仅当141,2,2b a b ===即a ＝8时取等号, S 的最小值为8此时直线方程为：182=+yx ，即：4x + y - 8＝0…………………6分 ②|OA|+|OB|= a + b = (a + b )(14a b+)=5 + 459b a a b +≥+=……8分 当且仅当414,13,b a b a b a b=+=∴=即b=2a,又a ＝6时取等号, ……10分 |OA|+|OB|的值最小, 此时直线方程为：136x y+=即：2x + y - 6＝0……12分法二：①依题意可设直线l 的方程为:y-4 = k ( x -1 ) ( k<0 ) 令 x = 0 , 则y = 4 – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y = 0 , 则x =k 4-+1 ,A (k4-+1, 0)…2分 S =21(4-k)( k 4-+1)= 21(k16-- k + 8 )≥8 ，…………4分 当且仅当-16/k = -k 时，即 k = -4时取等号, S 的最小值为8 ， 此时直线方程为：y-4 = -4( x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分 ②|OA|+|OB|=( k 4-+1) + (4-k) = k4--k + 5 ≥4 + 5 =9 ，……8分 当且仅当k4-= -k 时，即 k = -2时取等号, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分 此时直线方程为：:y-4 = -2 ( x -1 ) 即：2x + y - 6＝0……………12分22. (本小题满分14分)解：（1）1=n 时，32110==⋅S a ∴31=a ………理1分，文2分2≥n 时，6211-=-=⋅--n n n n S S a ∴223--=n n a ………理3分，文5分 ∴通项公式231322n n n a n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩………理5分，文7分（2）当1=n 时，333log 321=-=b ∴3111=b ………理6分，文9分2≥n 时，223(3log )(1)32n n b n n n -=-=+⋅ ∴)1(11+=n n b n ………理7分，文11分 ∴)1(1431321*********+++⨯+⨯+=++++n n b b b b n)1(6151165+-=+-=n n n ………理9分，文14分 （3）∵5|,|222212=∴=-=C a C C n 时, (10),232221--+=≥n n n C C n 时两边同时乘以2n,得,1224211+⨯=--n n n n C C 即),42(4)42(11+⨯=+--n n n n C C ∴数列{n n C 2+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，n n C 2+4 = 6×4n-1，∴n n n C ---⨯=21223（n ≥2） (13)又C 1=1, 满足上式∴通项公式n n n C ---⨯=21223 (14)法二:(迭代法)2322123)232(22322-----++=+=≥n n n n n n C C C n 时=2322232232---+⨯+n n n C = …… =2324322232232232232-----+⨯++⨯+⨯+n n n n n C ==--⨯⨯+⨯----2244221212325nn n n n ---⨯21223 又C 1=1, 满足上式 ∴通项公式n n n C ---⨯=21223。