二次根式及其有意义的条件

【典例精析】
例题1下列各式中，是二次根式的有（ ）
， ， ， ，
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
思路导航： 的根指数为3； 的被开方数是负数，所以不是二次根式； ， ， 符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。
答案：C
点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。
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（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如 ， ， 。
（2）“ ”的根指数为2，即“ ”，我们一般省略根指数2，例如 写作 ，而 不是二次根式，所以 不能写作 。
2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a2≥0；②|a|≥0；③ ≥0（a≥0）。
例如： +（y－1）2+|z|=0， =0，（y－1）2=0，|z|=0，则x=－1，y=1，z=0。
2.D 解析：根据二次根式的意义，被开方数 ≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0。
3. D 解析：根据题意，得x－2＞0，解得x＞2，在数轴上表示为
故选D。
4. B 解析： 即 ，所以 ，即x=5，有1个值，故选B。
5. B 解析：∵ 是正整数，∴12－a>0，a<12，当 时，a=11，即为最大，故选B。
例题2当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；（2） ；（3）
思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。
答案：解：（1）因为（x－3）2≥0，所以无论x取任何实数， 都有意义；
（2）若 有意义，则必有4－3x≥0，即当x≤ 时， 有意义；
初中数学
二次根式及其有意义的条件
编稿老师
徐文涛
一校
杨雪
二校
黄楠
审核
隋冬梅
【考点精讲】
1. 二次根式：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为二次根号，“a”叫做被开方数。
2. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a＝0时， 表示0的算术平方根，因此 ＝0。
这就是说， （a≥0）是一个非负数。
7. 要使 有意义，则x应满足________。
8. 如果 的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a=____。
9.x取什么实数时，下列各式有意义？
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
10. 已知a、b、c为实数，且 ，求a、b、c的值。
1. A 解析：二次根式满足两个条件：①根指数是2；②被开方数为非负数，故选A。
6. 解析： ， ，所以 ，此时，m=－2。
7. 根据题意得：3－x≥0且2x－1＞0，解得： ＜x≤3。
8. ∵ =7 ，又7是质数，故要使 的值是一个整数，且a也是整数，∴a是一个完全平方数，∴a=1。
9. （1） （2） （3）任意实数 （4）
10. b=－2c=1
解：∵ ， ，
∴a=3，b=－2，c=1
答案：解：依题意得 ，所以x2=4，所以x=±2，又因为x－2是原式分母，所以x－2≠0，所以x≠2，所以x=－2，此时，y=－ ，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－ ）=－7。
点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。
【总结提升】
1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：
（3）若 有意义，则必有x－1＞0，即当x＞1时， 有意义。
点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。
例题3已知x、y为实数，y= ，试求3x+4y的值。
思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。
3. 如果将公式 （a≥0）逆用，即 （a≥0），就可以把一个非负数写成一个数的平方的形式。例如： ， 。（a－b≥0）
这一公式常用在因式分解中，如： 。
（答题时间：20分钟）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. － B. C. D.x
2. 要使 是二次根式，则应满足的条件是（ ）
A. a≥0且b≥0B. a≥0且b＞0
C. ＞0D. ≥0且b≠0
3.函数 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.wenku.baidu.com
4. 使式子 有意义的未知数x有（ ）个
A. 0 B.1 C. 2 D. 无数
5. 已知 是正整数，则实数a的最大值为（ ）
A. 12 B.11 C. 8 D. 3
6. 若 ，则ｍ=_______，ｎ＝。