构造全等三角形的常用方法
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
构造全等三角形的方法技巧
方法1 角形
利用“角平分线”构造全等三ห้องสมุดไป่ตู้
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备 全等的三个条件中的两个(角相等和公共 边相等)，故在处理角平分线问题时，常 作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
思1．如图，AB∥CD，BE平分 ∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD 上，求证：BC＝AB＋CD. 考
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是 ∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C，D，求证：PC＝ PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等 三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法 ：在某一条线段上截取一条线段与特定 线段相等，或将某条线段延长，使之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有 关性质加以说明．这种方法适用于证明 线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB， AC，CD三者之间的数量关系，并 说明理由．(想一想，你会几种方法)
方法3 利用“倍长中线法”构造全 等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长 一倍，然后利用SAS证三角形全等．
6．已知：如图，AD，AE分别是 △ABC和△ABD的中线，且BA＝ BD.求证：AE＝AC.
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
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拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
北师大版初二数学下册讲义《构造全等三角形的六种常用方法》
北师大版初二数学下册讲义《构造全等三角形的六种常用方法》【名师点睛】在进行几何题的证明或运算时，有时需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，比较溶液找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松的解决。
常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的差不多上构造全等三角形。
[方法1]翻折法1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C.解答：证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE∴AB=FB∴∠2=∠AFB∵∠AFB=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠C.[方法2]构造基础三角形法2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,∠ABC=45∘，点D为BC 的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC =∠BDF.解答：证明：作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示：∵∠CBG=90∘，CF⊥AD∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90∘∴∠CAD=∠BCG在△ACD和△CBG中∠CAD=∠BCGAC=BC∠ACD=∠CBG=90∘∴△ACD ≌△CBG(ASA)∴CD=BG ，∠CDA=∠CGB∵CD=BD∴BG=BD∵∠ABC=45∘∴∠FBD=∠GBF=21∠CBG在△BFG 和△BFD 中BG=BD∠FBD=∠GBFBF=BF∴△BFG ≌△BFD(SAS)∴∠FGB=∠FDB∴∠ADC=∠BDF.[方法3]旋转法3.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。
解答：延长EB 使得BG=DF ，连接AG ，在△ABG 和△ADF 中由AB=AD ，∠ABG=∠ADF=90∘，BG=DF可得△ABG ≌△ADF(SAS)∴∠DAF=∠BAG ，AF=AG又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG ，AE=AE在△AEG 和△AEF 中，AE=AE ，GE=FE ，AG=AF∴△AEG ≌△AEF(SSS)∴∠EAG=∠EAF∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90∘∴∠EAG+∠EAF=90∘∴∠EAF=45∘.[方法4]平行线法4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交B C于P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：A B+BP=BQ+AQ.解答：证明：过点O作OD∥BC交AB于点D.∵OD∥BC∴∠ADO=∠ABC∵∠BAC=60°，∠C=40°∴∠ABC=80°∴∠ADO=80°∵BQ平分∠ABC∴∠ABQ=∠QBC=40°∴∠AQB=∠C+∠QBC=80°∴∠ADO=∠AQB∵AP平分∠BAC∴∠DAO=∠QAO=30°又∵OA=OA∴△ADO≌△AQO∴OD=OQ，AD=AQ又∵OD∥BP∴∠PBO=∠DOB又∵∠PBO=∠DBO∴∠DBO=∠DOB∴△DOB是等腰三角形∴BD=OD∴BD=OQ∵∠BAP=30°，∠ABQ=40°∴∠BOP=70°∵∠BAP=30°，∠ABC=80°∴∠APB=70°∴∠BOP=∠APB∴△BOP是等腰三角形∴BO=BP∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ，即AB+BP=BQ+AQ.[方法5]倍长中线法5.如图，△ABC中，D为BC的中点。
全等三角形的构造技巧(2020版)
全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。
也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。
（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。
构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法有以下几种：
1. SSS（side-side-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的对应边长分别满足AB=DE，BC=EF，CA=FD，则可以得到两个全等三角形。
2. SAS（side-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对边长比值相等且夹角相等，即满足AB/DE = BC/EF，∠BAC = ∠EDF，则可以得到两个全等三角形。
3. ASA（angle-side-angle）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对边长相等，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，则可以得到两个全等三角形。
4. AAS（angle-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对角度之和为180，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC + ∠BCA = ∠DEF + ∠EFD = 180，AB/DE ≠BC/EF，则可以得到两个全等三角形。
5. HL（hypotenuse leg）法：该方法适用于直角三角形。
给定两个直角三角形ABC和DEF，若它们的斜边和一对对边分别相等，即满足AC = DF，BC = EF，则可以得到两个全等三角形。
需要注意的是，在构造全等三角形时，要保证条件足够充分，即满足对应的几个条件才能得到全等三角形。
初中数学——构造全等三角形的五种常用方法
所以∠1＝∠2. ∠1＝∠2，
在△ACD 和△CBG 中，AC＝CB， ∠ACD＝∠CBG＝90°，
所以△ACD≌△CBG(ASA)． 所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 CD＝BD.所以 BD＝BG. 因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. 因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD， 所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
在△AEH 和△AEF 中，AE＝AE， EH＝EF，
所以△AEH≌△AEF(SSS)．
所以∠EAH＝∠EAF.
所以∠EAF＝12∠HAF＝45°.
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方 法 4 倍长中线法
4．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5， AC＝3，求AD长度的取值范围． 解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
第四章 三角形
构造全等三角形的五种常用方法
方 法 1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.
解：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻 折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)． 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠CBE. 因为BD⊥AD， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°.
所以∠D＝∠ABH＝90°. AB＝AD，
在△ABH 和△ADF 中，∠ABH＝∠D＝90°， BH＝DF，
典中点全等三角形专训4 构造全等三角形的五种常用方法
典中点全等三角形专训4 构造全等三角形的五种常用方法
◐名师点金◑
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较多易找到一些量之间的关系,使教学问题较轻松地解决。
常见的辅助线作法:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短法,其目的都是构造全等三角形。
分法1：翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE，垂足为D求证:∠2=∠1+∠C
方法2：构造法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交
AB于点F,连结DF。
求证:∠ADC=∠BDF
方法3：旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为CD边上一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数。
方法4：倍长中线法
4.如图,在△ABC中,D为BC的中点。
(1)求证:AB+AC>2AD
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围
方法5：截长(补短)法
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系并证明。
小专题(三) 构造全等三角形的常用方法
AB＝FB， ∠ABE＝∠FBE， BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(SAS)． ∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°. ∴∠BFE＋∠D＝180°. ∵∠BFE＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝∠D. 在△FCE和△DCE中，
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线 段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段 相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法 适用于证明线段的和、差、倍、分等题目．
2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点 E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
∠CFE＝∠D， ∠FCE＝∠DCE， CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE(AAS)． ∴CF＝CD. ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
3．(德州中考)问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°， ∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点，且 ∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使 DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE＋DF；
(2) 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD， ∠B＋∠D＝180°.E，F 分别是 BC，CD 上的点，
且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由． 解：EF＝BE＋DF仍然成立． 理由：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中，
全等三角形的构造方法
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或 中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线． 例 △ABC中，∠BAC=60°， ∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ 平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．
• 方法一 ：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD， 构造全等三角形，即“截长补短法 "． • ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： • ① 如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则 △ADO≌△ABO来解决． • ② 如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交 AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来 解决． • ③ 如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线 于D，则△APD≌△APC来解决． • ④ 如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则 △ABP≌△ADP来解决
4．倍长中线法
• 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造 全等三角形，从而将分散条件集中在一个 三角形内。 • 如图：AD是△ABC的中线，BE交AC于E， 交AD于F，且AE=BE． • 求证：AC=BF
• 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． 方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC， 在△BDF和△CDM中， BD＝CD ∠BDF＝∠CDM DF＝DM ∴△BDF≌△CDM（SAS）． ∴MC=BF，∠M=∠BFM． ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠MAC， ∴AC=MC， ∴BF=AC；
截长补短法（通常用来证明线 段和差相等）
如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E， 求证：AB+BE=AC．
• 方法一:补短法或补全法 延长AB至F使AF=AC， 证明:延长AB至F使AF=AC, ∵AE是∠BAC的平分线 ∴∠FAE=∠CAE ∵AF=AC ∵∠FAE=∠CAE AE=AE ∴△FAE≌△CAE ∴∠Eห้องสมุดไป่ตู้A=∠ECA=45° ∴△BFE是等腰直角三角形 ∴BE=BF ∴AF=AB+BF=AB+BE ∵AF=AC ∴AB+BE=AC解法 • 方法二：（截长法或分割法）在AC上截取 AG=AB
构造全等三角形的方法(优选.)
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全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。
判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
构造方法有：1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。
3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。
下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF．例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的NMAAMN正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．1.如图已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC ．2.(06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC BA4321FDOE CB A3.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.如图，四边形ABPC中，，，，求证：．FEDCBA2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例△ABC中，∠BAC=60°，∠C=440°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC 来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形．4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
证三角形全等的五种方法
证三角形全等的五种方法一、第一种方法是“边边边（SSS）”。
如果两个三角形的三边长度相应相等，那么我们就可以说这两个三角形全等。
比如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果AB=DE，BC=EF以及AC=DF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
这种全等的方式十分明确，只要各边对应长度一致，不论角度如何都可以判定为全等。
二、第二种方法是“边角边（SAS）”。
若两个三角形有两边和它们之间的夹角对应相等，那么这两个三角形就可以被证明为全等。
比如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果AB=DE，而且它们之间的夹角∠BAC=∠EDF，另外AC=DF，我们就可以断定三角形ABC和三角形DEF全等。
三、第三种方法是“角边角（ASA）”。
如果两个三角形的两个角和它们之间的边对应相等，那么他们就是全等的。
例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC=∠EDF，且他们之间的边AC=DF，以及∠BCA=∠FDE，那么我们就可以认为三角形ABC全等于三角形DEF。
四、第四种方法是“角角边（AAS）”。
若两个三角形有两个角和任一边对应相等，那么它们就是全等的。
例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC=∠EDF，∠BCA=∠FDE，并且边BC=EF，那么三角形ABC就全等于三角形DEF。
五、第五种方法是“右角三角形的斜边与一直角边（HL）”。
对于两个右角三角形，如果它们的斜边和一条直角边对应相等，那么我们就可以证明这两个三角形是全等的。
例如，对于三角形ABC和三角形DEF，如果∠BAC和∠EDF都是90°，且AC=DF（斜边），AB=DE（一条直角边），则三角形ABC和三角形DEF全等。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“ＳA Ｓ”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡＳ”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。
上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法，供同学们参考、１、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ＡBCD 中,∠BAC 得平分线交B Ｃ于E ，求证:A Ｂ+ＢE=AC 、 解法(一)(补短法或补全法)延长ＡB 至Ｆ使AF=ＡC ，由已知△ＡEF ≌△AEC,∴∠F ＝∠ACE=4５º， ∴BF ＝B Ｅ,∴ＡB+BE ＝A Ｂ+BF=AF=AC 、 解法(二)(截长法或分割法)在A Ｃ上截取ＡG=ＡＢ，由已知 △ AB Ｅ≌△AGE,∴EG=B Ｅ, ∠A ＧＥ＝∠ABE,∵∠ACE ＝４5º, ∴CG ＝EG, ∴ＡB ＋BE ＝ＡG+CG=ＡＣ、 2、平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠ＢAC=60°,∠C ＝40°A Ｐ平分∠ＢAC 交B Ｃ于Ｐ，B Ｑ平分∠ABC 交A Ｃ于Q, 求证:A Ｂ＋B Ｐ=ＢQ+A Ｑ、证明:如图(1),过O 作O Ｄ∥ＢC 交AB 于Ｄ,∴∠ADO ＝∠ＡBC=180°-6０°-40°＝8０°,又∵∠AQ Ｏ=∠C ＋∠QBC=８０°,∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DA Ｏ=∠QAO ，ＯA=AO, ∴△ADO ≌△ＡＱO,∴OD=O Ｑ,AD=AQ ，又∵ＯD ∥ＢP,∴∠ＰＢO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠D ＢO,∴∠ＤＢＯ=∠D ＯB,∴BD=O Ｄ,∴AB ＋BP=AD+DB+B Ｐ=A Ｑ+OQ+B Ｏ＝AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下： ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交ＡC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图（3)，过O 作D Ｅ∥BC 交AB 于Ｄ，交AC 于E,则△ADO≌△AQ Ｏ,△A ＢO ≌△AE Ｏ来解决、 ③ 如图(4)，过Ｐ作P Ｄ∥B Ｑ交A Ｂ得延长线于D,则△A ＰD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5)，过P 作ＰD ∥ＢQ 交A Ｃ于Ｄ， 则△AB Ｐ≌△ＡDP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
全等变换 构造全等三角形的常用方法 秦振
全等变换———构造全等三角形的常用方法秦 振(山东省枣庄市第九中学,277100) 全等三角形是平面几何的重要内容之一.证明三角形全等涉及的知识面广、难度大、技巧性强.下面介绍利用几何的全等变换构造全等三角形的常用方法,供大家参考.1 构造中心对称全等三角形一个三角形绕其某一点旋转180°,得到的三角形与原三角形是一对中心对称全等三角形.它的特点是对应边平行且相等或在同一直线上.其构造方法是将基本图形不完整部分补充完整,或过端点作平行线,或延长线段为原来的2倍.图1例1 如图1,■A BC 中,A D 为BC 的中线,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:EF <BE +CF .分析:可构造中心对称全等三角形,将欲证三线段放在一个基本图形内.证明:如图1,延长ED 至点N ,使ND =DE .联结NF 、NC .因为∠1=∠5,BD =CD ,ND =DE ,所以,■BDE■C DN .则EB =CN .因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∠1=∠2,∠3=∠4,所以,∠2+∠3=90°.则EF =NF .因为FN <CF +CN ,故EF <BE +CF .说明:当两线相交,交点为某线段中点时,可构造中心对称全等三角形.2 构造轴对称全等三角形把一个三角形沿着某条直线翻折180°与另一个三角形重合,这两个三角形就叫做轴对称全等三角形.满足下列条件可考虑构造轴对称全等三角形:相等线段或相等角关于某直线对称;有公共角;有对顶角;有角平分线或垂直平分线.图2例2 如图2,等腰Rt ■A BC 中,∠A =90°,D 为其内部一点,且∠A BD =30°,BD =BA .求证:A D =C D .分析:由于等腰直角三角形可看成是一条对角线将正方形分割而得的一半,因此可以以BC 为对称轴作轴对称全等三角形.证明:作点A 关于BC 的对称点A ′,联结A ′B 、A ′C 、A ′D .则四边形A BA ′C 为正方形.所以,BD =BA =BA ′=A ′C .又∠A ′B D =90°-30°=60°,所以,■BA ′D 为等边三角形.所以,BD =A ′D .由对称性知∠CA ′D =∠A B D .又A B =A ′C ,所以,■A ′C D■BA D .292006年第10期故A D =C D .说明:在三角形问题中,利用对称变换作辅助线构造对称全等三角形,将已知条件和要证明的结论集中在一起,建立某种联系,是解决此类问题的一条有效途径.3 构造平移型全等三角形把一个三角形沿某方向平移,得到的三角形与原三角形为平移型全等三角形.其特点是对应边平行且相等(或在同一直线上),对应角是同位角.图3例3 如图3,在■A BC 中,D 、E 为BC 边上的两点,且BD =EC .求证:A B +A C >A D +A E .分析:要证明的结论比较复杂,可利用三角形中的不等关系,构造全等三角形如下:将■A EC 平移到■A ′B D ,如图3,则线段A B 、AC 、A D 、A E 就集中在四边形A ′BDA 里.只要证明A B +A ′D >A D +A ′B 即可.证明:如图3,作BA ′∥EA ,则∠DBA ′=∠CEA ,BA ′=EA .联结A ′D ,交A B 于点F .因为B D =EC ,所以,■A ′BD■A EC .则A ′D =A C .因为FA ′+FB >A ′B ,FA +F D >A D ,所以,FA ′+FB +FA +F D >A ′B +A D ,A ′D +AB >A ′B +A D ,即 A B +AC >AD +AE .说明:一般地,有对应边平行或有同位角时可构造平移型全等三角形.4 构造旋转型全等三角形把一个三角形绕着某点旋转,得到的三角形与原三角形为旋转型全等三角形.用旋转法构造全等三角形,可以把分散的条件集中起来,易于找到条件与结论之间的关系.旋转时要注意确定旋转中心、旋转方向及旋转角度的大小.图4例4 如图4,D 、E 、F 分别为正■A BC 的边A B 、BC 、AC 的中点,P 为EC 上任意一点,■DPM 为正三角形.求证:EP =FM .分析:由题意,可以把■DM F 看成是■DPE 绕点D 逆时针旋转得到的.P 点转到M 点,E 点转到F 点,然后找到两个三角形全等的条件,进而得到结论.证明:如图4,联结DE 、DF .因为D 、E 、F 分别为正■A BC 的边A B 、BC 、A C 的中点,所以,DF ∥BC ,且DF =12BC ,DE ∥AC ,且DE =12AC .所以四边形DEC F 为平行四边形,且∠E DF =∠C =60°.又∠PD M =60°,所以,∠M DF =∠P DE .因为BC =AC ,所以,DF =DE .而DP =DM ,所以,■DFM■DEP .故EP =FM .说明:旋转法构造全等三角形常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中.30中学教与学。
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构造全等三角形的方法
方法一翻折法
1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.
方法二补形法
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
方法三旋转法
3、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE+DF=EF，求∠EAF.
方法四倍长中线法
4、如图，在△ABC中，D为BC的中点.（1）求证：AB+AC>2AD；（2）若AB=6，AC=2，求AD的取值范围.
方法五截长补短法
5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E、F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系并证明.
方法六作垂线法
6、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
方法七作平行线法
7、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC 交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ.。